Soporte Frölicher-Nijenhuis

En matemáticas , el corchete de Frölicher-Nijenhuis es una extensión del corchete de Lie de campos vectoriales a formas diferenciales con valores vectoriales en una variedad diferenciable .

Es útil en el estudio de conexiones , en particular la conexión de Ehresmann , así como en el estudio más general de proyecciones en el fibrado tangente . Fue introducido por Alfred Frölicher y Albert Nijenhuis (1956) y está relacionado con el trabajo de Schouten (1940).

Está relacionado con el corchete Nijenhuis-Richardson y el corchete Schouten-Nijenhuis , pero no es igual a ellos .

Definición

Sea Ω*( M ) el haz de álgebras exteriores de formas diferenciales en una variedad suave M . Esta es un álgebra graduada en la que las formas se gradúan por grado:

${\displaystyle \Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Omega ^{k}(M).}$

Una derivación graduada de grado ℓ es una aplicación

${\displaystyle D:\Omega ^{*}(M)\to \Omega ^{*+l}(M)}$

que es lineal con respecto a las constantes y satisface

${\displaystyle D(\alpha \wedge \beta )=D(\alpha )\wedge \beta +(-1)^{\ell \deg(\alpha )}\alpha \wedge D(\beta ).}$

Así, en particular, el producto interior con un vector define una derivación graduada de grado ℓ = −1, mientras que la derivada exterior es una derivación graduada de grado ℓ = 1.

El espacio vectorial de todas las derivaciones de grado ℓ se denota por Der _ℓ Ω*( M ). La suma directa de estos espacios es un espacio vectorial graduado cuyos componentes homogéneos consisten en todas las derivaciones graduadas de un grado dado; se denota

${\displaystyle \mathrm {Der} \,\Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=-\infty }^{\infty }\mathrm {Der} _{k}\,\Omega ^{*}(M).}$

Esto forma una superálgebra de Lie graduada bajo el anticonmutador de derivaciones definidas en derivaciones homogéneas D ₁ y D ₂ de grados d ₁ y d ₂ , respectivamente, por

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-(-1)^{d_{1}d_{2}}D_{2}\circ D_{1}.}$

Cualquier forma diferencial vectorial K en Ω ^k ( M , T M ) con valores en el fibrado tangente de M define una derivación graduada de grado k  − 1, denotada por i _K , y llamada operador de inserción. Para ω ∈ Ω ^ℓ ( M ),

${\displaystyle i_{K}\,\omega (X_{1},\dots ,X_{k+\ell -1})={\frac {1}{k!(\ell -1)!}}\sum _{\sigma \in {S}_{k+\ell -1}}{\textrm {sign}}\,\sigma \cdot \omega (K(X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (k)}),X_{\sigma (k+1)},\dots ,X_{\sigma (k+\ell -1)})}$

La derivada de Nijenhuis-Lie a lo largo de K  ∈ Ω ^k ( M , T M ) se define por

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]=i_{K}\,{\circ }\,d-(-1)^{k-1}d\,{\circ }\,i_{K}}$

donde d es la derivada exterior e i _K es el operador de inserción.

El corchete de Frölicher-Nijenhuis se define como la única forma diferencial con valor vectorial

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{FN}:\Omega ^{k}(M,\mathrm {T} M)\times \Omega ^{\ell }(M,\mathrm {T} M)\to \Omega ^{k+\ell }(M,\mathrm {T} M):(K,L)\mapsto [K,L]_{FN}}$

de tal manera que

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[K,L]_{FN}}=[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{L}].}$

Por eso,

${\displaystyle [K,L]_{FN}=-(-1)^{kl}[L,K]_{FN}.}$

Si k  = 0, de modo que K  ∈ Ω ⁰ ( M , T M ) es un campo vectorial, se recupera la fórmula de homotopía habitual para la derivada de Lie.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]=i_{K}\,{\circ }\,d+d\,{\circ }\,i_{K}.}$

Si k = ℓ =1, de modo que K,L  ∈ Ω ¹ ( M , T M ), se tiene para cualesquiera campos vectoriales X e Y

${\displaystyle [K,L]_{FN}(X,Y)=[KX,LY]+[LX,KY]+(KL+LK)[X,Y]-K([LX,Y]+[X,LY])-L([KX,Y]+[X,KY]).}$

Si k = 0 y ℓ = 1, de modo que K=Z ∈ Ω ⁰ ( M , T M ) es un campo vectorial y L  ∈ Ω ¹ ( M , T M ), se tiene para cualquier campo vectorial X

${\displaystyle [Z,L]_{FN}(X)=[Z,LX]-L[Z,X].}$

Una fórmula explícita para el corchete de Frölicher–Nijenhuis de y (para las formas φ y ψ y los campos vectoriales X e Y ) está dada por ${\displaystyle \phi \otimes X}$ ${\displaystyle \psi \otimes Y}$

${\displaystyle \left.\right.[\phi \otimes X,\psi \otimes Y]_{FN}=\phi \wedge \psi \otimes [X,Y]+\phi \wedge {\mathcal {L}}_{X}\psi \otimes Y-{\mathcal {L}}_{Y}\phi \wedge \psi \otimes X+(-1)^{\deg(\phi )}(d\phi \wedge i_{X}(\psi )\otimes Y+i_{Y}(\phi )\wedge d\psi \otimes X).}$

Derivaciones del anillo de formas

Cada derivación de Ω ^* ( M ) se puede escribir como

${\displaystyle i_{L}+{\mathcal {L}}_{K}}$

para elementos únicos K y L de Ω ^* ( M , T M ). El corchete de Lie de estas derivaciones se da como sigue.

• Las derivaciones de la forma forman la superálgebra de Lie de todas las derivaciones que conmutan con d . El corchete está dado por ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}}$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{K_{1}},{\mathcal {L}}_{K_{2}}]={\mathcal {L}}_{[K_{1},K_{2}]}}$

donde el corchete de la derecha es el corchete de Frölicher–Nijenhuis. En particular, el corchete de Frölicher–Nijenhuis define una estructura de álgebra de Lie graduada en , que extiende el corchete de Lie de los campos vectoriales . ${\displaystyle \Omega (M,\mathrm {T} M)}$

• Las derivaciones de la forma forman la superálgebra de Lie de todas las derivaciones que se desvanecen en las funciones Ω ⁰ ( M ). El corchete está dado por ${\displaystyle i_{L}}$

${\displaystyle [i_{L_{1}},i_{L_{2}}]=i_{[L_{1},L_{2}]^{\land }}}$

donde el corchete de la derecha es el corchete Nijenhuis-Richardson .

• El soporte de derivaciones de diferentes tipos viene dado por

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{K},i_{L}]=i_{[K,L]}-(-1)^{kl}{\mathcal {L}}_{i_{L}K}}$

para K en Ω ^k ( M , T M ), L en Ω ^l+1 ( M , T M ).

Aplicaciones

El tensor de Nijenhuis de una estructura casi compleja J es el corchete de Frölicher–Nijenhuis de J consigo mismo. Una estructura casi compleja es una estructura compleja si y solo si el tensor de Nijenhuis es cero.

Con el corchete de Frölicher–Nijenhuis es posible definir la curvatura y cocurvatura de una 1-forma con valor vectorial que es una proyección . Esto generaliza el concepto de curvatura de una conexión .

Existe una generalización común del grupo Schouten-Nijenhuis y el grupo Frölicher-Nijenhuis; para obtener más detalles, consulte el artículo sobre el soporte Schouten-Nijenhuis .

Referencias

• Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1956), "Teoría de las formas diferenciales valoradas por vectores. Parte I", Indagationes Mathematicae , 18 : 338–360, doi :10.1016/S1385-7258(56)50046-7.
• Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1960), "Invariancia de operaciones de forma vectorial bajo asignaciones", Commentarii Mathematici Helvetici , 34 : 227–248, doi :10.1007/bf02565938, S2CID  122349574.
• PW Michor (2001) [1994], "Corchete de Frölicher–Nijenhuis", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Schouten, JA (1940), "Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen", Indagationes Mathematicae , 2 : 449–452.