En matemáticas , los operadores de Fredholm son ciertos operadores que surgen en la teoría de ecuaciones integrales de Fredholm . Llevan el nombre en honor a Erik Ivar Fredholm . Por definición, un operador de Fredholm es un operador lineal acotado T : X → Y entre dos espacios de Banach con núcleo de dimensión finita y cokernel (algebraico) de dimensión finita , y con rango cerrado . La última condición es realmente redundante. [1]
El índice de un operador de Fredholm es el número entero.
o en otras palabras,
Intuitivamente, los operadores de Fredholm son aquellos operadores que son invertibles "si se ignoran los efectos de dimensión finita". A continuación se presenta la afirmación formalmente correcta. Un operador acotado T : X → Y entre los espacios de Banach X e Y es Fredholm si y sólo si se trata de operadores compactos de módulo invertibles , es decir, si existe un operador lineal acotado
tal que
son operadores compactos en X e Y respectivamente.
Si un operador de Fredholm se modifica ligeramente, sigue siendo Fredholm y su índice sigue siendo el mismo. Formalmente: el conjunto de operadores de Fredholm de X a Y está abierto en el espacio de Banach L( X , Y ) de operadores lineales acotados, equipado con la norma del operador , y el índice es localmente constante. Más precisamente, si T 0 es Fredholm de X a Y , existe ε > 0 tal que cada T en L( X , Y ) con || T − T 0 || < ε es Fredholm, con el mismo índice que el de T 0 .
Cuando T es Fredholm de X a Y y U Fredholm de Y a Z , entonces la composición es Fredholm de X a Z y
Cuando T es Fredholm, el operador transpuesto (o adjunto) T ′ es Fredholm de Y ′ a X ′ , e ind( T ′) = −ind( T ) . Cuando X e Y son espacios de Hilbert , la misma conclusión es válida para el adjunto hermitiano T ∗ .
Cuando T es Fredholm y K un operador compacto, entonces T + K es Fredholm. El índice de T permanece sin cambios bajo perturbaciones tan compactas de T. Esto se desprende del hecho de que el índice i ( s ) de T + s K es un número entero definido para cada s en [0, 1], y i ( s ) es localmente constante, por lo tanto i (1) = i (0) .
La invariancia por perturbación es cierta para clases más grandes que la clase de operadores compactos. Por ejemplo, cuando U es Fredholm y T es un operador estrictamente singular , entonces T + U es Fredholm con el mismo índice. [2] La clase de operadores no esenciales , que contiene propiamente la clase de operadores estrictamente singulares, es la "clase de perturbación" para los operadores de Fredholm. Esto significa que un operador no es esencial si y sólo si T+U es Fredholm para cada operador de Fredholm .
Sea un espacio de Hilbert con una base ortonormal indexada por los números enteros no negativos. El operador de desplazamiento (derecho) S en H está definido por
Este operador S es inyectivo (en realidad, isométrico) y tiene un rango cerrado de codimensión 1, por lo tanto S es Fredholm con . Las potencias , , son Fredholm con índice . El S* adjunto es el desplazamiento a la izquierda,
El desplazamiento a la izquierda S* es Fredholm con índice 1.
Si H es el espacio clásico de Hardy en el círculo unitario T en el plano complejo, entonces el operador de desplazamiento con respecto a la base ortonormal de exponenciales complejas
es el operador de multiplicación M φ con la función . De manera más general, sea φ una función continua compleja en T que no desaparece en , y sea T φ el operador de Toeplitz con símbolo φ , igual a la multiplicación por φ seguida de la proyección ortogonal :
Entonces T φ es un operador de Fredholm en , con índice relacionado con el número de devanado alrededor de 0 del camino cerrado : el índice de T φ , tal como se define en este artículo, es el opuesto de este número de devanado.
Cualquier operador elíptico puede ampliarse a un operador de Fredholm. El uso de operadores de Fredholm en ecuaciones diferenciales parciales es una forma abstracta del método parametrix .
El teorema del índice de Atiyah-Singer ofrece una caracterización topológica del índice de ciertos operadores en variedades.
El teorema de Atiyah-Jänich identifica la teoría K K ( X ) de un espacio topológico compacto X con el conjunto de clases de homotopía de aplicaciones continuas de X al espacio de operadores de Fredholm H → H , donde H es el espacio de Hilbert separable y el El conjunto de estos operadores lleva la norma del operador.
Un operador lineal acotado T se llama semi-Fredholm si su rango es cerrado y al menos uno de , es de dimensión finita. Para un operador semi-Fredholm, el índice está definido por
También se pueden definir operadores de Fredholm ilimitados. Sean X e Y dos espacios de Banach.
Como se señaló anteriormente, el rango de un operador cerrado es cerrado siempre que el cokernel sea de dimensión finita (Edmunds y Evans, Teorema I.3.2).