Un número palindrómico (también conocido como palíndromo numérico o palíndromo numérico ) es un número (como 16461) que permanece igual cuando se invierten sus dígitos. En otras palabras, tiene simetría reflexiva a lo largo de un eje vertical. El término palindrómico se deriva de palíndromo , que se refiere a una palabra (como rotor o coche de carreras ) cuya ortografía no cambia cuando se invierten sus letras. Los primeros 30 números palindrómicos (en decimal ) son:
Los números palindrómicos reciben mayor atención en el ámbito de las matemáticas recreativas . Un problema típico solicita números que posean una determinada propiedad y sean palindrómicos. Por ejemplo:
Es obvio que en cualquier base hay infinitos números palindrómicos, ya que en cualquier base la secuencia infinita de números escrita (en esa base) como 101, 1001, 10001, 100001, etc. se compone únicamente de números palindrómicos.
Aunque los números palindrómicos se consideran con mayor frecuencia en el sistema decimal , el concepto de palindrómico se puede aplicar a los números naturales en cualquier sistema numérico . Considere un número n > 0 en base b ≥ 2, donde está escrito en notación estándar con k +1 dígitos a i como:
con, como de costumbre, 0 ≤ a i < b para todo i y a k ≠ 0. Entonces n es palindrómico si y sólo si a i = a k − i para todo i . Cero se escribe 0 en cualquier base y también es palindrómico por definición.
Todos los números de un dígito son palindrómicos, por lo que en base 10 hay diez números palindrómicos de un dígito:
Hay 9 números palindrómicos de dos dígitos:
Todos los números palindrómicos con un número par de dígitos son divisibles por 11 . [1]
Hay 90 números palindrómicos con tres dígitos (usando la regla del producto : 9 opciones para el primer dígito, que también determina el tercer dígito, multiplicado por 10 opciones para el segundo dígito):
También hay 90 números palindrómicos con cuatro dígitos (nuevamente, 9 opciones para el primer dígito multiplicadas por diez opciones para el segundo dígito. Los otros dos dígitos están determinados por la elección de los dos primeros):
entonces hay 199 números palindrómicos menores que 10 4 .
Hay 1099 números palindrómicos menores que 10 5 y para otros exponentes de 10 n tenemos: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,... (secuencia A070199 en la OEIS ). A continuación se enumeran los números palindrómicos que tienen alguna otra propiedad:
Hay muchas potencias palindrómicas perfectas n k , donde n es un número natural y k es 2, 3 o 4.
Los primeros nueve términos de la secuencia 1 2 , 11 2 , 111 2 , 1111 2 , ... forman los palíndromos 1, 121, 12321, 1234321, ... (secuencia A002477 en el OEIS )
El único número no palindrómico conocido cuyo cubo es un palíndromo es 2201, y es una conjetura que la raíz cuarta de todos los palíndromos de cuarta potencia son un palíndromo con 100000...000001 (10 n + 1).
GJ Simmons conjeturó que no existen palíndromos de la forma n k para k > 4 (y n > 1). [3]
Los números palindrómicos pueden considerarse en sistemas de numeración distintos al decimal . Por ejemplo, los números palindrómicos binarios son aquellos que tienen las representaciones binarias:
o en decimal:
Los primos de Fermat y los primos de Mersenne forman un subconjunto de los primos palindrómicos binarios.
Cualquier número es palindrómico en todas las bases con (trivialmente, porque entonces es un número de un solo dígito), y también en base (porque entonces es ). Incluso excluyendo los casos en los que el número es menor que la base, la mayoría de los números son palindrómicos en más de una base. Por ejemplo, , . Un número nunca es palindrómico en base si . Además, un número primo nunca es palindrómico en base si .
Un número que no es palindrómico en todas las bases b en el rango 2 ≤ b ≤ n − 2 puede denominarse número estrictamente no palindrómico . Por ejemplo, el número 6 se escribe como "110" en base 2, "20" en base 3 y "12" en base 4, ninguno de los cuales son palíndromos. Todos los números estrictamente no palindrómicos mayores que 6 son primos. De hecho, si es compuesto, entonces , para algunos , en cuyo caso n es el palíndromo "aa" en base , o es un cuadrado perfecto , en cuyo caso n es el palíndromo "121" en base (excepto en el caso especial de ). [4] [5]
Los primeros números estrictamente no palindrómicos (secuencia A016038 en la OEIS ) son:
Si los dígitos de un número natural no solo tienen que invertirse en orden, sino también restarse para obtener nuevamente la secuencia original, entonces se dice que el número es antipalíndrómico . Formalmente, en la descomposición habitual de un número natural en sus dígitos en base , un número es antipalíndrómico iff . [6]
Los números no palindrómicos se pueden emparejar con los palindrómicos mediante una serie de operaciones. Primero, se invierte el número no palindrómico y el resultado se suma al número original. Si el resultado no es un número palindrómico, se repite hasta obtener un número palindrómico. Tal número se llama "el palíndromo retrasado".
No se sabe si todos los números no palindrómicos pueden emparejarse con números palindrómicos de esta manera. Si bien no se ha demostrado que ningún número esté desemparejado, muchos no parecen estarlo. Por ejemplo, 196 no produce un palíndromo incluso después de 700.000.000 de iteraciones. Cualquier número que nunca llegue a ser palindrómico de esta manera se conoce como número de Lychrel .
El 24 de enero de 2017, el número 1.999.291.987.030.606.810 se publicó en OEIS como A281509 y se anunció "El palíndromo más retrasado más grande conocido". La secuencia de 125 palíndromos más retrasados de 261 pasos que preceden a 1.999.291.987.030.606.810 y no se informaron antes se publicó por separado como A281508.
La suma de los recíprocos de los números palindrómicos es una serie convergente, cuyo valor es aproximadamente 3,37028... (secuencia A118031 en la OEIS ).
Los números de Scheherazade son un conjunto de números identificados por Buckminster Fuller en su libro Synergetics . [7] Fuller no da una definición formal para este término, pero a partir de los ejemplos que da, se puede entender que son aquellos números que contienen un factor del primorial n #, donde n ≥13 y es el mayor factor primo en el número. Fuller llamó a estos números números de Scheherazade porque deben tener un factor de 1001. Scheherazade es la narradora de Las mil y una noches y cuenta una nueva historia cada noche para retrasar su ejecución. Dado que n debe ser al menos 13, el primorial debe ser al menos 1·2·3·5·7·11·13 y 7×11×13 = 1001. Fuller también se refiere a potencias de 1001 como números de Scheherazade. El primorial más pequeño que contiene el número de Scheherazade es 13# = 30.030.
Fuller señaló que algunos de estos números son palindrómicos por grupos de dígitos. Por ejemplo, 17# = 510,510 muestra una simetría de grupos de tres dígitos. Fuller llamó a tales números Scheherazade Sublimely Rememberable Comprehensive Dividends , o números SSRCD. Fuller señala que 1001 elevado a una potencia no sólo produce números sublimemente recordables que son palindrómicos en grupos de tres dígitos, sino que también los valores de los grupos son los coeficientes binomiales . Por ejemplo,
Esta secuencia falla en (1001) 13 porque en algunos grupos hay un dígito de acarreo incluido en el grupo de la izquierda. Fuller sugiere escribir estos efectos indirectos en una línea separada. Si se hace esto, utilizando más líneas de desbordamiento según sea necesario, la simetría se conserva indefinidamente a cualquier potencia. [8] Muchos otros números de Scheherazade muestran simetrías similares cuando se expresan de esta manera. [9]
En 2018, se publicó un artículo que demuestra que cada número entero positivo se puede escribir como la suma de tres números palindrómicos en cada sistema numérico con base 5 o mayor. [10]
