Volatilidad local

Modelo de fijación de precios de opciones

Un modelo de volatilidad local , en finanzas matemáticas e ingeniería financiera , es un modelo de fijación de precios de opciones que trata la volatilidad como una función tanto del nivel actual de activos como del tiempo . Como tal, es una generalización del modelo de Black-Scholes , donde la volatilidad es una constante (es decir, una función trivial de y ). Los modelos de volatilidad local a menudo se comparan con los modelos de volatilidad estocástica , donde la volatilidad instantánea no es solo una función del nivel de activos sino que también depende de una nueva aleatoriedad "global" que proviene de un componente aleatorio adicional. ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}}$

Formulación

En finanzas matemáticas , se supone generalmente que el activo S _t que subyace a un derivado financiero sigue una ecuación diferencial estocástica de la forma

${\displaystyle dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma _{t}S_{t}\,dW_{t}}$,

bajo la medida de neutralidad de riesgo, donde es la tasa instantánea libre de riesgo , que da una dirección local promedio a la dinámica, y es un proceso de Wiener , que representa la entrada de aleatoriedad en la dinámica. La amplitud de esta aleatoriedad se mide por la volatilidad instantánea . En el modelo más simple, es decir, el modelo de Black-Scholes , se supone que es constante, o como máximo una función determinista del tiempo; en realidad, la volatilidad realizada de un subyacente en realidad varía con el tiempo y con el subyacente mismo. ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$

Cuando dicha volatilidad tiene una aleatoriedad propia (que a menudo se describe mediante una ecuación diferente impulsada por una W diferente) , el modelo anterior se denomina modelo de volatilidad estocástica . Y cuando dicha volatilidad es simplemente una función del nivel actual del activo subyacente S _t y del tiempo t , tenemos un modelo de volatilidad local. El modelo de volatilidad local es una simplificación útil del modelo de volatilidad estocástica.

"Volatilidad local" es, por tanto, un término utilizado en finanzas cuantitativas para denotar el conjunto de coeficientes de difusión, , que son consistentes con los precios de mercado de todas las opciones sobre un subyacente dado, lo que produce un modelo de precios de activos del tipo ${\displaystyle \sigma _{t}=\sigma (S_{t},t)}$

${\displaystyle dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma (S_{t},t)S_{t}\,dW_{t}.}$

Este modelo se utiliza para calcular valoraciones de opciones exóticas que sean consistentes con los precios observados de las opciones tradicionales .

Desarrollo

El concepto de una volatilidad local totalmente consistente con los mercados de opciones fue desarrollado cuando Bruno Dupire ^[1] y Emanuel Derman e Iraj Kani ^[2] observaron que existe un proceso de difusión único consistente con las densidades neutrales al riesgo derivadas de los precios del mercado de opciones europeas.

Derman y Kani describieron e implementaron una función de volatilidad local para modelar la volatilidad instantánea. Utilizaron esta función en cada nodo de un modelo de precios de opciones binomiales . El árbol produjo con éxito valoraciones de opciones consistentes con todos los precios de mercado a lo largo de los strikes y vencimientos. ^[2] El modelo Derman-Kani se formuló así con pasos discretos de tiempo y precio de las acciones. (Derman y Kani produjeron lo que se llama un " árbol binomial implícito "; con Neil Chriss lo extendieron a un árbol trinomial implícito . El proceso de ajuste del árbol binomial implícito era numéricamente inestable).

Las ecuaciones clave de tiempo continuo utilizadas en los modelos de volatilidad local fueron desarrolladas por Bruno Dupire ^[1] en 1994. La ecuación de Dupire establece

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial T}}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(K,T;S_{0})K^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial K^{2}}}-(r-d)K{\frac {\partial C}{\partial K}}-dC}$

Para calcular las derivadas parciales, existen algunas parametrizaciones conocidas de la superficie de volatilidad implícita basadas en el modelo de Heston: Schönbucher, SVI y gSVI. Otras técnicas incluyen la mezcla de distribución lognormal y colocación estocástica. ^[3]

Derivación

Dado el precio del activo regido por el SDE neutral al riesgo ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}=(r-d)S_{t}dt+\sigma (t,S_{t})S_{t}dW_{t}}$

La probabilidad de transición condicional satisface la ecuación de Kolmogorov hacia adelante (también conocida como ecuación de Fokker-Planck ) ${\displaystyle p(t,S_{t})}$ ${\displaystyle S_{0}}$

${\displaystyle p_{t}=-[(r-d)s\,p]_{s}+{\frac {1}{2}}[(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$

donde, para abreviar, la notación denota la derivada parcial de la función f con respecto a x y donde la notación denota la derivada parcial de segundo orden de la función f con respecto a x. Por lo tanto, es la derivada parcial de la densidad con respecto a t y por ejemplo es la segunda derivada de con respecto a S. p denotará , y dentro de la integral . ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle f_{xx}}$ ${\displaystyle p_{t}}$ ${\displaystyle p(t,S)}$ ${\displaystyle [(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$ ${\displaystyle (\sigma (t,S)S)^{2}p(t,S)}$ ${\displaystyle p(t,S)}$ ${\displaystyle p(t,s)}$

Debido al teorema de fijación de precios de Martingala , el precio de una opción de compra con vencimiento y ejercicio es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}[(S_{T}-K)^{+}]\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)\,p\,ds\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds-K\,e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\,ds\end{aligned}}}$

Diferenciar el precio de una opción de compra con respecto a ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C_{K}=-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\;ds}$

y reemplazando en la fórmula el precio de una opción de compra y reordenando los términos

${\displaystyle e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds=C-K\,C_{K}}$

Diferenciar el precio de una opción call con respecto al doble ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C_{KK}=e^{-rT}p}$

Diferenciar el precio de una opción de compra con respecto a los rendimientos ${\displaystyle T}$

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)p_{T}ds}$

utilizando la ecuación de Kolmogorov hacia adelante

${\displaystyle C_{T}=-r\,C-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)[(r-d)s\,p]_{s}\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)[(\sigma s)^{2}\,p]_{ss}\,ds}$

integrando por partes la primera integral una vez y la segunda integral dos veces

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+(r-d)e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}(\sigma K)^{2}\,p}$

utilizando las fórmulas derivadas diferenciando el precio de una opción de compra con respecto a ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{T}&=-r\,C+(r-d)(C-K\,C_{K})+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\\&=-(r-d)K\,C_{K}-d\,C+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\end{aligned}}}$

Modelos paramétricos de volatilidad local

El enfoque de Dupire no es paramétrico. Requiere interpolar previamente los datos para obtener un continuo de precios negociados y la elección de un tipo de interpolación. ^[1] Como alternativa, se pueden formular modelos paramétricos de volatilidad local. A continuación se presentan algunos ejemplos.

Modelo Bachelier

El modelo de Bachelier se inspiró en el trabajo de Louis Bachelier de 1900. Este modelo, al menos para activos con deriva cero, por ejemplo, precios a futuro o tasas de interés a futuro bajo su medida a futuro, puede verse como un modelo de volatilidad local.

${\displaystyle dF_{t}=v\,dW_{t}}$.

En el modelo de Bachelier, el coeficiente de difusión es una constante , por lo que tenemos , lo que implica . A medida que las tasas de interés se volvieron negativas en muchas economías, ^[4] el modelo de Bachelier se volvió interesante, ya que puede modelar tasas forward negativas F a través de su distribución gaussiana. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \sigma (F_{t},t)F_{t}=v}$ ${\displaystyle \sigma (F_{t},t)=v/F_{t}}$

Modelo de difusión desplazada

Este modelo fue introducido por Mark Rubinstein . ^[5] Para el precio de una acción, sigue la dinámica

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma (S_{t}-\beta e^{rt})\,dW_{t}}$

donde, para simplificar, suponemos un rendimiento de dividendos cero. El modelo se puede obtener con un cambio de variable a partir de un modelo Black-Scholes estándar de la siguiente manera. Al establecerlo, es inmediato ver que Y sigue un modelo Black-Scholes estándar ${\displaystyle Y_{t}=S_{t}-\beta e^{rt}}$

${\displaystyle dY_{t}=rY_{t}\,dt+\sigma Y_{t}\,dW_{t}.}$

Como la SDE para es un movimiento browniano geométrico , tiene una distribución lognormal y dado que el modelo S también se llama modelo lognormal desplazado, el desplazamiento en el momento t es . Para fijar el precio de una opción de compra con precio de ejercicio K en S, uno simplemente escribe el pago donde H es el nuevo precio de ejercicio . Como Y sigue un modelo de Black Scholes, el precio de la opción se convierte en un precio de Black Scholes con precio de ejercicio modificado y es fácil de obtener. El modelo produce una curva de sonrisa de volatilidad monótona, cuyo patrón es decreciente para valores negativos . ^[6] Además, para valores negativos , de se deduce que el activo S puede tomar valores negativos con probabilidad positiva. Esto es útil, por ejemplo, en el modelado de tasas de interés, donde las tasas negativas han estado afectando a varias economías. ^[4] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$ ${\displaystyle \beta e^{rt}}$ ${\displaystyle (S_{T}-K)^{+}=(Y_{T}+\beta e^{rT}-K)^{+}=(Y_{T}-H)^{+}}$ ${\displaystyle H=K-\beta e^{rT}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$

Modelo CEV

El modelo de elasticidad constante de varianza (CEV) es un modelo de volatilidad local donde la dinámica de las acciones es, bajo la medida de neutralidad de riesgo y asumiendo que no hay dividendos,

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=rS_{t}\mathrm {d} t+\sigma S_{t}^{\gamma }\mathrm {d} W_{t},}$

para una tasa de interés constante r, una constante positiva y un exponente de modo que en este caso ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \gamma \geq 0,}$

${\displaystyle \sigma (S_{t},t)=\sigma S_{t}^{\gamma -1}.}$

El modelo se clasifica a veces como un modelo de volatilidad estocástica , aunque según la definición dada aquí, es un modelo de volatilidad local, ya que no hay aleatoriedad nueva en el coeficiente de difusión. Este modelo y las referencias relacionadas se muestran en detalle en la página relacionada .

El modelo de dinámica de mezcla lognormal

Este modelo ha sido desarrollado desde 1998 hasta 2021 en varias versiones por Damiano Brigo , Fabio Mercurio y coautores. Carol Alexander estudió los efectos de la sonrisa a corto y largo plazo. ^[7] El punto de partida es la fórmula básica de Black Scholes, que proviene de la dinámica neutral al riesgo con volatilidad determinista constante y con función de densidad de probabilidad lognormal denotada por . En el modelo de Black Scholes, el precio de una opción europea no dependiente de la trayectoria se obtiene mediante la integración del pago de la opción contra esta densidad lognormal al vencimiento. La idea básica del modelo de dinámica de mezcla lognormal ^[8] es considerar densidades lognormales, como en el modelo de Black Scholes, pero para un número de posibles volatilidades deterministas constantes , donde llamamos , la densidad lognormal de un modelo de Black Scholes con volatilidad . Al modelar el precio de una acción, Brigo y Mercurio ^[9] construyen un modelo de volatilidad local ${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p_{t,\sigma }^{lognormal}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ ${\displaystyle p_{i,t}=p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma _{mix}(t,S_{t})S_{t}\ dW_{t},}$

donde se define de manera que la distribución de la mezcla requerida de densidades lognormales sea neutral al riesgo , de modo que la densidad del precio de las acciones resultante sea donde y . Las son los pesos de las diferentes densidades incluidas en la mezcla. La volatilidad instantánea se define como ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,S_{t})}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle p_{i,t}}$ ${\displaystyle p_{S_{t}}(y)=:p_{t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}(y)}$ ${\displaystyle \lambda _{i}\in (0,1)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}=1}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle p_{i,t}}$

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {1}{\sum _{j}\lambda _{j}p_{j,t}(y)}}\sum _{i}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}p_{i,t}(y),}$o más en detalle

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}\ {\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{i}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{i}^{2}t\right]^{2}\right\}}{\sum _{j=1}^{N}\lambda _{j}{\frac {1}{\sigma _{j}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{j}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{j}^{2}t\right]^{2}\right\}}}}$

para ; para El modelo original tiene una regularización del coeficiente de difusión en un pequeño intervalo de tiempo inicial . ^[9] Con este ajuste, la SDE con tiene una única solución fuerte cuya densidad marginal es la mezcla deseada. Se puede escribir además donde y . Esto muestra que es un ``promedio ponderado'' de los con pesos ${\displaystyle (t,y)>(0,0)}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)=\sigma _{0}}$ ${\displaystyle (t,y)=(0,s_{0}).}$ ${\displaystyle [0,\epsilon ]}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}}$ ${\displaystyle p_{S_{t}}=\sum _{i}\lambda _{i}p_{i,t}.}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)=\sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)\sigma _{i}^{2},}$ ${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)\in (0,1)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)=1}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)={\frac {\lambda _{i}\ p_{i,t}(y)}{\sum _{j}\lambda _{j}\ p_{j,t}(y)}}.}$

El precio de una opción en este modelo es muy sencillo de calcular. Si denota la expectativa neutral al riesgo, por el teorema de fijación de precios de martingala, un precio de opción de compra en S con strike K y vencimiento T viene dado por donde es el precio de compra correspondiente en un modelo de Black Scholes con volatilidad . El precio de la opción viene dado por una fórmula de forma cerrada y es una combinación convexa lineal de los precios de Black Scholes de opciones de compra con volatilidades ponderadas por . Lo mismo se aplica a las opciones de venta y a todos los demás reclamos contingentes simples. La misma combinación convexa se aplica también a varias opciones griegas como Delta, Gamma, Rho y Theta. La dinámica de mezcla es un modelo flexible, ya que se puede seleccionar el número de componentes según la complejidad de la sonrisa. Optimizar los parámetros y , y un posible parámetro de desplazamiento, permite reproducir la mayoría de las sonrisas del mercado. El modelo se ha utilizado con éxito en los mercados de acciones, ^[10] divisas, ^[11] y tipos de interés. ^{[6] [12]} ${\displaystyle \mathbb {E} ^{Q}}$ ${\displaystyle V_{mix}^{Call}(K,T)=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}\left\{(S_{T}-K)^{+}\right\}}$ ${\displaystyle =e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}p_{S_{T}}(y)dy=e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,T}(y)dy}$ ${\displaystyle =\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}e^{-rT}\int (y-K)^{+}p_{i,T}(y)dy=\sum _{{i=1}^{N}}{\lambda _{i}}V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$ ${\displaystyle V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

En el modelo de dinámica de mezclas, se puede demostrar que la curva de sonrisa de volatilidad resultante tendrá un mínimo para K igual al precio a plazo en el momento del precio . Esto se puede evitar, y se puede permitir que la sonrisa sea más general, combinando las ideas de dinámica de mezclas y difusión desplazada, lo que conduce a la dinámica de mezcla lognormal desplazada. ^[8] ${\displaystyle S_{0}e^{rT}}$

El modelo también se ha aplicado con volatilidades en los componentes de la mezcla que dependen del tiempo, para calibrar la estructura del término smile. ^[10] Se ha estudiado una extensión del modelo donde las diferentes densidades de mezcla tienen medias diferentes, ^[12] mientras se preserva la deriva final sin arbitraje en la dinámica. Una extensión adicional ha sido la aplicación al caso multivariado, donde se ha formulado un modelo multivariado que es consistente con una mezcla de densidades lognormales multivariadas, posiblemente con cambios, y donde los activos individuales también se distribuyen como mezclas, ^[13] reconciliando el modelado de los activos individuales smile con el smile en un índice de estos activos. Una segunda aplicación de la versión multivariada ha sido la triangulación de los smile de volatilidad de FX. ^[11] Finalmente, el modelo está vinculado a un modelo de volatilidad incierta donde, en términos generales, la volatilidad es una variable aleatoria que toma los valores con probabilidades . Técnicamente, se puede demostrar que la dinámica de la mezcla lognormal de volatilidad local es la proyección markoviana del modelo de volatilidad incierto. ^[14] ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$

Usar

Los modelos de volatilidad local son útiles en cualquier mercado de opciones en el que la volatilidad del subyacente sea predominantemente una función del nivel del subyacente, por ejemplo, los derivados de tasas de interés. Las volatilidades locales invariantes en el tiempo supuestamente son incompatibles con la dinámica de la superficie de volatilidad implícita del índice bursátil ^[15] , pero véase Crepey (2004), ^[16] quien afirma que dichos modelos proporcionan la mejor cobertura promedio para las opciones sobre índices bursátiles, y observa que los modelos como la dinámica de mezclas permiten volatilidades locales dependientes del tiempo, calibrando también la estructura temporal de la sonrisa. Los modelos de volatilidad local también son útiles en la formulación de modelos de volatilidad estocástica ^{[17] .}

Los modelos de volatilidad local tienen una serie de características atractivas. ^[18] Debido a que la única fuente de aleatoriedad es el precio de las acciones, los modelos de volatilidad local son fáciles de calibrar. Se han desarrollado numerosos métodos de calibración para tratar los procesos McKean-Vlasov, incluido el enfoque de partículas y bins más utilizado. ^[19] Además, conducen a mercados completos donde la cobertura puede basarse solo en el activo subyacente. Como se insinuó anteriormente, el enfoque no paramétrico general de Dupire es problemático, ya que es necesario preinterpolar arbitrariamente la superficie de volatilidad implícita de entrada antes de aplicar el método. Los enfoques paramétricos alternativos con una parametrización rica y sólida, como los modelos de volatilidad local dinámicos de mezcla manejables anteriores, pueden ser una alternativa. Dado que en los modelos de volatilidad local la volatilidad es una función determinista del precio aleatorio de las acciones, los modelos de volatilidad local no se utilizan muy bien para fijar el precio de las opciones cliquet o las opciones de inicio a plazo , cuyos valores dependen específicamente de la naturaleza aleatoria de la volatilidad en sí. En tales casos, se prefieren los modelos de volatilidad estocástica .

Referencias

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6. Brigo, Damiano; Mercurio, Fabio (2006). Modelos de tasas de interés: teoría y práctica . Heidelberg: Springer-Verlag.
7. Carol Alexander (2004). "Difusión de mezcla normal con volatilidad incierta: modelado de efectos de sonrisa a corto y largo plazo". Journal of Banking & Finance . 28 (12).
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