Arrastre de fotogramas

Efecto de la relatividad general

El arrastre de marco es un efecto en el espacio-tiempo , predicho por la teoría general de la relatividad de Albert Einstein , que se debe a distribuciones estacionarias no estáticas de masa-energía . Un campo estacionario es uno que está en un estado estable, pero las masas que causan ese campo pueden ser no estáticas ⁠— rotatorias, por ejemplo. De manera más general, el tema que trata los efectos causados ​​por las corrientes de masa-energía se conoce como gravitoelectromagnetismo , que es análogo al magnetismo del electromagnetismo clásico .

El primer efecto de arrastre de marco fue derivado en 1918, en el marco de la relatividad general, por los físicos austríacos Josef Lense y Hans Thirring , y también se conoce como efecto Lense-Thirring . ^{[1] [2] [3]} Ellos predijeron que la rotación de un objeto masivo distorsionaría la métrica del espacio-tiempo , haciendo que la órbita de una partícula de prueba cercana precesara . Esto no sucede en la mecánica newtoniana para la cual el campo gravitatorio de un cuerpo depende solo de su masa, no de su rotación. El efecto Lense-Thirring es muy pequeño: aproximadamente una parte en unos pocos billones. Para detectarlo, es necesario examinar un objeto muy masivo o construir un instrumento que sea muy sensible.

En 2015, se formularon nuevas extensiones relativistas generales de las leyes de rotación de Newton para describir el arrastre geométrico de marcos que incorpora un efecto antiarrastre recientemente descubierto. ^[4]

Efectos

El efecto Lense-Thirring aparece en el principio general de la relatividad y teorías similares en la proximidad de objetos masivos en rotación . Según el efecto Lense-Thirring, el marco de referencia en el que un reloj hace tictac más rápido es aquel que gira alrededor del objeto visto por un observador distante. Esto también significa que la luz que viaja en la dirección de rotación del objeto pasará más allá del objeto masivo más rápido que la luz que se mueve en contra de la rotación, vista por un observador distante. Actualmente es el efecto de arrastre de marco más conocido, en parte gracias al experimento Gravity Probe B. Cualitativamente, el arrastre de marco puede considerarse como el análogo gravitacional de la inducción electromagnética .

Además, una región interior se arrastra más que una región exterior. Esto produce interesantes sistemas de coordenadas que giran localmente. Por ejemplo, imaginemos que una patinadora sobre hielo orientada de norte a sur, en órbita sobre el ecuador de un agujero negro giratorio y en reposo rotacional con respecto a las estrellas, extiende sus brazos. El brazo extendido hacia el agujero negro se "torsionará" hacia el giro debido a la inducción gravitomagnética ("torsionará" está entre comillas porque los efectos gravitacionales no se consideran "fuerzas" bajo la RG ). Del mismo modo, el brazo extendido lejos del agujero negro se torcerá en sentido contrario al giro. Por lo tanto, se acelerará rotacionalmente, en un sentido de contrarrotación respecto del agujero negro. Esto es lo opuesto de lo que ocurre en la experiencia cotidiana. Existe una tasa de rotación particular que, si estuviera girando inicialmente a esa tasa cuando extiende sus brazos, los efectos inerciales y los efectos de arrastre de sistemas de coordenadas se equilibrarán y su tasa de rotación no cambiará. Debido al principio de equivalencia , los efectos gravitacionales son localmente indistinguibles de los efectos inerciales, por lo que esta velocidad de rotación, a la que cuando extiende sus brazos no sucede nada, es su referencia local para la no rotación. Este marco está rotando con respecto a las estrellas fijas y contrarrotando con respecto al agujero negro. Este efecto es análogo a la estructura hiperfina en los espectros atómicos debido al giro nuclear. Una metáfora útil es un sistema de engranajes planetarios donde el agujero negro es el engranaje solar, el patinador sobre hielo es un engranaje planetario y el universo exterior es el engranaje anular. Véase el principio de Mach .

Otra consecuencia interesante es que, para un objeto restringido en una órbita ecuatorial, pero no en caída libre, pesa más si orbita en sentido contrario al giro, y menos si orbita en sentido contrario al giro. Por ejemplo, en una bolera ecuatorial suspendida, una bola de bolos que se lance en sentido contrario al giro pesará más que la misma bola que se lance en sentido contrario al giro. Nótese que el arrastre del marco no acelerará ni frenará la bola de bolos en ninguna dirección. No es una "viscosidad". De manera similar, una plomada estacionaria suspendida sobre el objeto giratorio no se inclinará. Colgará verticalmente. Si comienza a caer, la inducción la empujará en sentido contrario al giro. Sin embargo, si una plomada "yoyo" (con eje perpendicular al plano ecuatorial) se baja lentamente, sobre el ecuador, hacia el límite estático, el yoyo girará en sentido contrario a la rotación. Curiosamente, los habitantes del yoyo no sentirán ningún par de torsión y no experimentarán ningún cambio percibido en el momento angular.

El arrastre lineal de los marcos de referencia es el resultado igualmente inevitable del principio general de la relatividad, aplicado al momento lineal . Aunque podría decirse que tiene la misma legitimidad teórica que el efecto "rotacional", la dificultad de obtener una verificación experimental del efecto significa que recibe mucho menos discusión y a menudo se omite en los artículos sobre el arrastre de marcos de referencia (pero véase Einstein, 1921). ^[5]

El aumento de la masa estática es un tercer efecto observado por Einstein en el mismo artículo. ^[6] El efecto es un aumento de la inercia de un cuerpo cuando se colocan otras masas cerca. Si bien no es estrictamente un efecto de arrastre de marco (Einstein no utiliza el término arrastre de marco), Einstein demostró que se deriva de la misma ecuación de la relatividad general. También es un efecto minúsculo que es difícil de confirmar experimentalmente.

Pruebas experimentales

En 1976, Van Patten y Everitt ^{[7] [8]} propusieron implementar una misión dedicada a medir la precesión del nodo Lense-Thirring de un par de naves espaciales contra-orbitales que se colocarían en órbitas polares terrestres con un aparato libre de arrastre. Una versión algo equivalente y menos costosa de tal idea fue presentada en 1986 por Ciufolini ^[9] quien propuso lanzar un satélite geodésico pasivo en una órbita idéntica a la del satélite LAGEOS , lanzado en 1976, excepto los planos orbitales que deberían haber sido desplazados 180 grados: la llamada configuración mariposa. La cantidad medible fue, en este caso, la suma de los nodos de LAGEOS y de la nueva nave espacial, posteriormente llamada LAGEOS III, LARES , WEBER-SAT.

Limitando el alcance a los escenarios que involucran cuerpos en órbita existentes, la primera propuesta para usar el satélite LAGEOS y la técnica Satellite Laser Ranging ( SLR ) para medir el efecto Lense-Thirring data de 1977-1978. ^[10] Las pruebas comenzaron a realizarse de manera efectiva utilizando los satélites LAGEOS y LAGEOS II en 1996, ^[11] de acuerdo con una estrategia ^[12] que implica el uso de una combinación adecuada de los nodos de ambos satélites y el perigeo de LAGEOS II. Las últimas pruebas con los satélites LAGEOS se han realizado en 2004-2006 ^{[13] [14]} descartando el perigeo de LAGEOS II y utilizando una combinación lineal. ^[15] Recientemente, se publicó en la literatura una descripción general completa de los intentos de medir el efecto Lense-Thirring con satélites artificiales. ^[16] La precisión general alcanzada en las pruebas con los satélites LAGEOS está sujeta a cierta controversia. ^{[17] [18] [19]}

El experimento Gravity Probe B ^{[20] [21]} fue una misión basada en satélites de un grupo de Stanford y la NASA, utilizada para medir experimentalmente otro efecto gravitomagnético, la precesión de Schiff de un giroscopio, ^{[22] [23] [24]} con una precisión esperada del 1% o mejor. Desafortunadamente, tal precisión no se logró. Los primeros resultados preliminares publicados en abril de 2007 apuntaban a una precisión de ^[25] 256-128%, con la esperanza de alcanzar alrededor del 13% en diciembre de 2007. ^[26] En 2008, el Informe de Revisión Senior de las Misiones Operativas de la División de Astrofísica de la NASA afirmó que era poco probable que el equipo de Gravity Probe B pudiera reducir los errores al nivel necesario para producir una prueba convincente de aspectos actualmente no probados de la Relatividad General (incluido el arrastre de marco). ^{[27] [28]} El 4 de mayo de 2011, el grupo de análisis con sede en Stanford y la NASA anunciaron el informe final, ^[29] y en él los datos de GP-B demostraron el efecto de arrastre de marco con un error de alrededor del 19 por ciento, y el valor predicho por Einstein estaba en el centro del intervalo de confianza. ^{[30] [31]}

La NASA publicó afirmaciones de éxito en la verificación del arrastre de marcos para los satélites gemelos GRACE ^[32] y Gravity Probe B ^[33] , ambas afirmaciones aún son de conocimiento público. Un grupo de investigación en Italia ^[34] , EE. UU. y el Reino Unido también afirmó haber tenido éxito en la verificación del arrastre de marcos con el modelo de gravedad Grace, publicado en una revista revisada por pares. Todas las afirmaciones incluyen recomendaciones para futuras investigaciones con mayor precisión y otros modelos de gravedad.

En el caso de las estrellas que orbitan cerca de un agujero negro supermasivo giratorio, el arrastre de trama debería provocar que el plano orbital de la estrella se mueva en precesión alrededor del eje de rotación del agujero negro. Este efecto debería ser detectable en los próximos años mediante el seguimiento astrométrico de las estrellas en el centro de la Vía Láctea. ^[35]

Comparando la velocidad de precesión orbital de dos estrellas en órbitas diferentes, es posible en principio probar los teoremas de no-cabello de la relatividad general, además de medir el giro del agujero negro. ^[36]

Evidencia astronómica

Los chorros relativistas pueden proporcionar evidencia de la realidad del arrastre de marco. Las fuerzas gravitomagnéticas producidas por el efecto Lense-Thirring (arrastre de marco) dentro de la ergosfera de agujeros negros en rotación ^{[37] [38]} combinadas con el mecanismo de extracción de energía de Penrose ^[39] se han utilizado para explicar las propiedades observadas de los chorros relativistas . El modelo gravitomagnético desarrollado por Reva Kay Williams predice las partículas de alta energía observadas (~GeV) emitidas por cuásares y núcleos galácticos activos ; la extracción de rayos X, rayos γ y pares e ⁻ – e ⁺ relativistas ; los chorros colimados sobre el eje polar; y la formación asimétrica de chorros (en relación con el plano orbital).

El efecto Lense-Thirring se ha observado en un sistema binario que consta de una enana blanca masiva y un púlsar . ^[40]

Derivación matemática

El arrastre de marcos se puede ilustrar más fácilmente utilizando la métrica de Kerr , ^{[41] [42]} que describe la geometría del espacio-tiempo en la vecindad de una masa M que rota con un momento angular J , y las coordenadas de Boyer-Lindquist (ver el enlace para la transformación):

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}=&\left(1-{\frac {r_{s}r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{\Lambda ^{2}}}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}\\&{}-\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{s}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}+{\frac {2r_{s}r\alpha c\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}d\phi dt\end{aligned}}}$

donde r _s es el radio de Schwarzschild

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

y donde se han introducido las siguientes variables abreviadas para abreviar

${\displaystyle \alpha ={\frac {J}{Mc}}}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta \,\!}$

${\displaystyle \Lambda ^{2}=r^{2}-r_{s}r+\alpha ^{2}\,\!}$

En el límite no relativista donde M (o, equivalentemente, r _s ) tiende a cero, la métrica de Kerr se convierte en la métrica ortogonal para las coordenadas esferoidales oblatas.

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}+\alpha ^{2}}}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}-\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

Podemos reescribir la métrica de Kerr en la siguiente forma

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(g_{tt}-{\frac {g_{t\phi }^{2}}{g_{\phi \phi }}}\right)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\left(d\phi +{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}dt\right)^{2}}$

Esta métrica es equivalente a un marco de referencia co-rotativo que gira con una velocidad angular Ω que depende tanto del radio r como de la colatitud θ

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{s}\alpha rc}{\rho ^{2}\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)+r_{s}\alpha ^{2}r\sin ^{2}\theta }}}$

En el plano del ecuador esto se simplifica a: ^[43]

${\displaystyle \Omega ={\frac {r_{s}\alpha c}{r^{3}+\alpha ^{2}r+r_{s}\alpha ^{2}}}}$

De este modo, un marco de referencia inercial es arrastrado por la masa central giratoria para participar en la rotación de esta última; esto es arrastre de marco.

Las dos superficies en las que la métrica de Kerr parece tener singularidades; la superficie interna es el horizonte de eventos con forma de esferoide oblato , mientras que la superficie externa tiene forma de calabaza. ^{[44] [45]} La ergosfera se encuentra entre estas dos superficies; dentro de este volumen, el componente puramente temporal g _tt es negativo, es decir, actúa como un componente métrico puramente espacial. En consecuencia, las partículas dentro de esta ergosfera deben co-rotar con la masa interna, si han de conservar su carácter temporal.

Una versión extrema del arrastre de marco ocurre dentro de la ergosfera de un agujero negro giratorio . La métrica de Kerr tiene dos superficies en las que parece ser singular. La superficie interna corresponde a un horizonte de eventos esférico similar al observado en la métrica de Schwarzschild ; esto ocurre en

${\displaystyle r_{\text{inner}}={\frac {r_{s}+{\sqrt {r_{s}^{2}-4\alpha ^{2}}}}{2}}}$

donde el componente puramente radial g _rr de la métrica tiende al infinito. La superficie exterior puede aproximarse mediante un esferoide achatado con parámetros de espín más bajos, y se asemeja a una forma de calabaza ^{[44] [45]} con parámetros de espín más altos. Toca la superficie interior en los polos del eje de rotación, donde la colatitud θ es igual a 0 o π; su radio en coordenadas de Boyer-Lindquist se define mediante la fórmula

${\displaystyle r_{\text{outer}}={\frac {r_{s}+{\sqrt {r_{s}^{2}-4\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

donde el componente puramente temporal g _tt de la métrica cambia de signo de positivo a negativo. El espacio entre estas dos superficies se llama ergosfera . Una partícula en movimiento experimenta un tiempo propio positivo a lo largo de su línea de mundo , su camino a través del espacio-tiempo . Sin embargo, esto es imposible dentro de la ergosfera, donde g _tt es negativo, a menos que la partícula esté co-rotando con la masa interior M con una velocidad angular de al menos Ω. Sin embargo, como se vio anteriormente, el arrastre de marco ocurre alrededor de cada masa rotatoria y en cada radio r y colatitud θ , no solo dentro de la ergosfera.

Efecto de lente-escalofrío dentro de una carcasa giratoria

El efecto Lense-Thirring dentro de una capa giratoria fue tomado por Albert Einstein no solo como un apoyo, sino como una reivindicación del principio de Mach , en una carta que escribió a Ernst Mach en 1913 (cinco años antes del trabajo de Lense y Thirring, y dos años antes de que hubiera alcanzado la forma final de la relatividad general ). Se puede encontrar una reproducción de la carta en Misner, Thorne, Wheeler . ^[46] El efecto general ampliado a distancias cosmológicas, todavía se utiliza como apoyo al principio de Mach. ^[46]

Dentro de una carcasa esférica giratoria la aceleración debida al efecto Lense-Thirring sería ^[47]

${\displaystyle {\bar {a}}=-2d_{1}\left({\bar {\omega }}\times {\bar {v}}\right)-d_{2}\left[{\bar {\omega }}\times \left({\bar {\omega }}\times {\bar {r}}\right)+2\left({\bar {\omega }}{\bar {r}}\right){\bar {\omega }}\right]}$

donde los coeficientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {4MG}{3Rc^{2}}}\\d_{2}&={\frac {4MG}{15Rc^{2}}}\end{aligned}}}$

para MG ≪ Rc ² o más precisamente,

${\displaystyle d_{1}={\frac {4\alpha (2-\alpha )}{(1+\alpha )(3-\alpha )}},\qquad \alpha ={\frac {MG}{2Rc^{2}}}}$

El espacio-tiempo dentro de la envoltura esférica giratoria no será plano. Un espacio-tiempo plano dentro de una envoltura de masa giratoria es posible si se permite que la envoltura se desvíe de una forma esférica precisa y se permite que varíe la densidad de masa dentro de la envoltura. ^[48]

Véase también

• Portal de física

• Efecto geodésico
• Experimento sobre recuperación de la gravedad y clima
• Gravitomagnetismo
• Principio de Mach
• Línea K de hierro ancho

Referencias

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2. Sediento, H. (1921). "Berichtigung zu meiner Arbeit: 'Über die Wirkung rotierender Massen in der Einsteinschen Gravitationstheorie'". Physikalische Zeitschrift . 22 : 29. Bibcode : 1921PhyZ...22...29T.[Corrección a mi artículo "Sobre el efecto de la rotación de masas distantes en la teoría de la gravitación de Einstein"]
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Lectura adicional

• Renzetti, G. (mayo de 2013). "Historia de los intentos de medir el arrastre orbital con satélites artificiales". Revista Central Europea de Física . 11 (5): 531–544. Bibcode :2013CEJPh..11..531R. doi : 10.2478/s11534-013-0189-1 .
• Ginzburg, VL (mayo de 1959). "Satélites artificiales y la teoría de la relatividad". Scientific American . 200 (5): 149–160. Código Bibliográfico :1959SciAm.200e.149G. doi :10.1038/scientificamerican0559-149.

Enlaces externos

• COMUNICADO DE LA NASA: 04-351 El mundo gira y arrastra el espacio y el tiempo Archivado el 19 de junio de 2008 en Wayback Machine