Cuantificador generalizado

En semántica formal , un cuantificador generalizado ( GQ ) es una expresión que denota un conjunto de conjuntos . Ésta es la semántica estándar asignada a los sintagmas nominales cuantificados . Por ejemplo, el cuantificador generalizado cada niño denota el conjunto de conjuntos del que cada niño es miembro:

$${\displaystyle \{X\mid \forall x(x{\text{ is a boy}}\to x\in X)\}}$$

Este tratamiento de los cuantificadores ha sido esencial para lograr una semántica composicional para oraciones que contienen cuantificadores. ^{[1] [2]}

Teoría de tipos

A menudo se utiliza una versión de la teoría de tipos para hacer explícita la semántica de diferentes tipos de expresiones. La construcción estándar define el conjunto de tipos de forma recursiva de la siguiente manera:

1. e y t son tipos.
2. Si a y b son ambos tipos, entonces también lo es ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$
3. Nada es un tipo, excepto lo que se puede construir sobre la base de las líneas 1 y 2 anteriores.

Dada esta definición, tenemos los tipos simples e y t , pero también una infinidad contable de tipos complejos, algunos de los cuales incluyen:

$${\displaystyle \langle e,t\rangle ;\qquad \langle t,t\rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle ;\qquad \langle e,\langle e,t\rangle \rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle ;\qquad \ldots }$$

• Las expresiones de tipo e denotan elementos del universo del discurso , el conjunto de entidades de las que trata el discurso. Este conjunto suele escribirse como . Ejemplos de expresiones de tipo e incluyen John y he . ${\displaystyle D_{e}}$
• Las expresiones de tipo t denotan un valor de verdad , generalmente representado como el conjunto , donde 0 significa "falso" y 1 significa "verdadero". Ejemplos de expresiones que a veces se dice que son del tipo t son oraciones o proposiciones . ${\displaystyle \{0,1\}}$
• Las expresiones de tipo denotan funciones desde el conjunto de entidades hasta el conjunto de valores de verdad. Este conjunto de funciones se representa como . Estas funciones son funciones características de los conjuntos . Mapean a cada individuo que es un elemento del conjunto como "verdadero" y todo lo demás como "falso". Es común decir que denotan conjuntos más que funciones características, aunque, estrictamente hablando, esto último es más exacto. Ejemplos de expresiones de este tipo son los predicados , los sustantivos y algunos tipos de adjetivos . ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$ ${\displaystyle D_{t}^{D_{e}}}$
• En general, las expresiones de tipos complejos denotan funciones desde el conjunto de entidades de tipo hasta el conjunto de entidades de tipo , una construcción que podemos escribir de la siguiente manera: . ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D_{b}^{D_{a}}}$

Ahora podemos asignar tipos a las palabras de nuestra oración anterior (Todos los niños duermen) de la siguiente manera.

• Tipo (niño) = ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• Tipo(duerme) = ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• Tipo(cada) = ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle }$
• Tipo (todos los niños) = ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

y entonces podemos ver que el cuantificador generalizado en nuestro ejemplo es de tipo ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

Por tanto, cada denota una función de un conjunto a una función de un conjunto a un valor de verdad. Dicho de otra manera, denota una función de un conjunto a un conjunto de conjuntos. Es aquella función que para dos conjuntos cualesquiera A,B , cada ( A )( B )= 1 si y solo si . ${\displaystyle A\subseteq B}$

Cálculo lambda mecanografiado

Una forma útil de escribir funciones complejas es el cálculo lambda . Por ejemplo, se puede escribir el significado de duerme como la siguiente expresión lambda, que es una función de un individuo x a la proposición de que x duerme .

$${\displaystyle \lambda x.\mathrm {sleep} '(x)}$$

xfunción de identidad ${\displaystyle D_{e}}$

$${\displaystyle \lambda x.x}$$

Ahora podemos escribir el significado de cada con el siguiente término lambda, donde X,Y son variables de tipo : ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$

$${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y}$$

Si abreviamos el significado de niño y duerme como " B " y " S ", respectivamente, tenemos que la frase todo niño duerme ahora significa lo siguiente:

$${\displaystyle (\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y)(B)(S)}$$

reducción β

$${\displaystyle (\lambda Y.B\subseteq Y)(S)}$$

$${\displaystyle B\subseteq S}$$

La expresión cada es un determinante . Combinado con un sustantivo , produce un cuantificador de tipo generalizado . ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

Propiedades

monotonicidad

GQ crecientes monótonos

Se dice que un cuantificador generalizado GQ es monótono creciente (también llamado implicación ascendente) si, para cada par de conjuntos X e Y , se cumple lo siguiente:

si , entonces GQ( X ) implica GQ( Y ). ${\displaystyle X\subseteq Y}$

El GQ de cada niño es monótono y aumenta. Por ejemplo, el conjunto de cosas que corren rápido es un subconjunto del conjunto de cosas que corren . Por lo tanto, la primera oración a continuación implica la segunda:

1. Todos los niños corren rápido.
2. Todos los niños corren.

GQ monótonos decrecientes

Se dice que un GQ es monótono decreciente (también llamado implicación descendente ) si, para cada par de conjuntos X e Y , se cumple lo siguiente:

Si , entonces GQ( Y ) implica GQ( X ). ${\displaystyle X\subseteq Y}$

Un ejemplo de un GQ monótono decreciente es no boy . Para este GQ tenemos que la primera oración a continuación implica la segunda.

1. Ningún niño corre.
2. Ningún niño corre rápido.

El término lambda para el determinante no es el siguiente. Dice que los dos conjuntos tienen una intersección vacía .

$${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\cap Y=\emptyset }$$

elemento de polaridad negativacualquier

1. Bueno: ningún chico tiene dinero .
2. Malo: *Todos los chicos tienen dinero .

GQ no monótonos

Se dice que un GQ es no monótono si no es monótono creciente ni monótono decreciente. Un ejemplo de este tipo de GQ son exactamente tres niños . Ninguna de las siguientes oraciones implica la otra.

1. Exactamente tres estudiantes corrieron.
2. Exactamente tres estudiantes corrieron rápido.

La primera frase no implica la segunda. El hecho de que el número de estudiantes que corrieron sea exactamente tres no implica que cada uno de estos estudiantes corrió rápido , por lo que el número de estudiantes que lo hicieron puede ser menor que 3. Por el contrario, la segunda oración no implica la primera. La afirmación de que exactamente tres estudiantes corrieron rápido puede ser cierta, aunque el número de estudiantes que simplemente corrieron (es decir, no tan rápido) sea mayor que 3.

El término lambda para el determinante (complejo) exactamente tres es el siguiente. Dice que la cardinalidad de la intersección entre los dos conjuntos es igual a 3.

$${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3}$$

Conservatividad

Un determinante D se dice que es conservador si se cumple la siguiente equivalencia:

$${\displaystyle D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)}$$

1. Todos los niños duermen.
2. Cada niño es un niño que duerme.

Se ha propuesto que todos los determinantes (en todo lenguaje natural) son conservadores. ^[2] La expresión únicamente no es conservadora. Las dos oraciones siguientes no son equivalentes. Pero, de hecho, no es común analizarlo sólo como determinante . Más bien, se trata de forma estándar como un adverbio sensible al foco .

1. Sólo los niños duermen.
2. Sólo los niños son niños que duermen.

Ver también

• Alcance (semántica formal)
• Cuantificador de Lindström
• Cuantificador de ramificación

Referencias

1. Montague, Richard (1974). "El tratamiento adecuado de la cuantificación en inglés". En Kulas, J.; Fetzer, JH; Rankin, TL (eds.). Filosofía, Lenguaje e Inteligencia Artificial (PDF) . Estudios en Sistemas Cognitivos. vol. 2. Springer, Dordrecht. págs. 141-162. doi :10.1007/978-94-009-2727-8_7.
2. Barwise, Jon ; Cooper, Robin (1981). "Cuantificadores generalizados y lenguaje natural". Lingüística y Filosofía . 4 (2): 159–219. doi :10.1007/BF00350139.

Otras lecturas

• Stanley Peters; Dag Westerståhl (2006). Cuantificadores en lenguaje y lógica . Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-929125-0.
• Antonio Badía (2009). Cuantificadores en acción: cuantificación generalizada en lenguajes de consulta, lógicos y naturales . Saltador. ISBN 978-0-387-09563-9.
• Wągiel M (2021). Cuantificación subatómica (pdf) . Berlín: Language Science Press. doi : 10.5281/zenodo.5106382 . ISBN 978-3-98554-011-2.

enlaces externos

• Dag Westerståhl, 2011. 'Cuantificadores generalizados'. Enciclopedia de Filosofía de Stanford .