bulbo de mandel

Fractal tridimensional

Un video de Mandelbulb 3D en 4K UHD

Una imagen de marcha de rayos del bulbo de Mandel 3D para la iteración v ↦ v ⁸ + c

El Mandelbulb es un fractal tridimensional , construido por primera vez en 1997 por Jules Ruis y desarrollado en 2009 por Daniel White y Paul Nylander utilizando coordenadas esféricas .

No existe un conjunto de Mandelbrot tridimensional canónico , ya que no existe un análogo tridimensional del espacio bidimensional de números complejos . Es posible construir conjuntos de Mandelbrot en 4 dimensiones utilizando cuaterniones y números bicomplejos .

La fórmula de White y Nylander para la " potencia n " del vector en ℝ ³ es ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle x,y,z\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ),\cos(n\theta )\rangle ,}$

dónde

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}$

${\displaystyle \phi =\arctan {\frac {y}{x}}=\arg(x+yi),}$

${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}=\arccos {\frac {z}{r}}.}$

El bulbo de Mandel se define entonces como el conjunto de aquellos en ℝ ³ para los cuales la órbita de bajo la iteración está acotada. ^[1] Para n  > 3, el resultado es una estructura tridimensional tipo bulbo con detalle de superficie fractal y una cantidad de "lóbulos" que depende de n . Muchas de sus representaciones gráficas utilizan n  = 8. Sin embargo, las ecuaciones se pueden simplificar en polinomios racionales cuando n es impar . Por ejemplo, en el caso de n  = 3, la tercera potencia se puede simplificar en la forma más elegante : ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \langle 0,0,0\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} ^{n}+\mathbf {c} }$

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{3}=\left\langle {\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})x(x^{2}-3y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})y(3x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},z(z^{2}-3x^{2}-3y^{2})\right\rangle .}$

El Mandelbulb dado por la fórmula anterior es en realidad uno de una familia de fractales dados por parámetros ( p ,  q ) dados por

${\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}\langle \sin(p\theta )\cos(q\phi ),\sin(p\theta )\sin(q\phi ),\cos(p\theta )\rangle .}$

Dado que p y q no necesariamente tienen que ser iguales a n para que se cumpla la identidad | v ⁿ | = | v | ⁿ , se pueden encontrar fractales más generales estableciendo

${\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}{\big \langle }\sin {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}\cos {\big (}g(\theta ,\phi ){\big )},\sin {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}\sin {\big (}g(\theta ,\phi ){\big )},\cos {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}{\big \rangle }}$

para las funciones f y g .

Fórmula cúbica

Fractal cúbico

Otras fórmulas provienen de identidades que parametrizan la suma de cuadrados para dar una potencia de la suma de cuadrados, como

${\displaystyle (x^{3}-3xy^{2}-3xz^{2})^{2}+(y^{3}-3yx^{2}+yz^{2})^{2}+(z^{3}-3zx^{2}+zy^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3},}$

que podemos considerar como una forma de elevar al cubo un triplete de números de modo que el módulo sea elevado al cubo. Esto da, por ejemplo,

${\displaystyle x\to x^{3}-3x(y^{2}+z^{2})+x_{0}}$

${\displaystyle y\to -y^{3}+3yx^{2}-yz^{2}+y_{0}}$

${\displaystyle z\to z^{3}-3zx^{2}+zy^{2}+z_{0}}$

u otras permutaciones.

Esto se reduce al fractal complejo cuando z  = 0 y cuando y  = 0. ${\displaystyle w\to w^{3}+w_{0}}$ ${\displaystyle w\to {\overline {w}}^{3}+w_{0}}$

Hay varias formas de combinar dos de estas transformaciones "cúbicas" para obtener una transformación de potencia 9, que tiene un poco más de estructura.

Fórmula quíntica

Bulbo de Mandel de Quinto

Bulbo de Mandel de Quinto con C  = 2

Otra forma de crear bulbos de Mandel con simetría cúbica es tomando la fórmula de iteración compleja para algún entero m y agregando términos para hacerlo simétrico en 3 dimensiones, pero manteniendo las secciones transversales como el mismo fractal bidimensional. (El 4 proviene del hecho de que ). Por ejemplo, tomemos el caso de . En dos dimensiones, donde , esto es ${\displaystyle z\to z^{4m+1}+z_{0}}$ ${\displaystyle i^{4}=1}$ ${\displaystyle z\to z^{5}+z_{0}}$ ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle x\to x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}+x_{0},}$

${\displaystyle y\to y^{5}-10y^{3}x^{2}+5yx^{4}+y_{0}.}$

Esto puede luego extenderse a tres dimensiones para dar

${\displaystyle x\to x^{5}-10x^{3}(y^{2}+Ayz+z^{2})+5x(y^{4}+By^{3}z+Cy^{2}z^{2}+Byz^{3}+z^{4})+Dx^{2}yz(y+z)+x_{0},}$

${\displaystyle y\to y^{5}-10y^{3}(z^{2}+Axz+x^{2})+5y(z^{4}+Bz^{3}x+Cz^{2}x^{2}+Bzx^{3}+x^{4})+Dy^{2}zx(z+x)+y_{0},}$

${\displaystyle z\to z^{5}-10z^{3}(x^{2}+Axy+y^{2})+5z(x^{4}+Bx^{3}y+Cx^{2}y^{2}+Bxy^{3}+y^{4})+Dz^{2}xy(x+y)+z_{0}}$

para constantes arbitrarias A , B , C y D , que dan diferentes Mandelbulb (normalmente fijados en 0). El caso da un Mandelbulb más similar al primer ejemplo, donde n  = 9. Se obtiene un resultado más agradable para la quinta potencia si se basa en la fórmula . ${\displaystyle z\to z^{9}}$ ${\displaystyle z\to -z^{5}+z_{0}}$

Fractal basado en z  → − z ⁵

Fórmula de potencia nueve

Fractal con secciones transversales de Mandelbrot z ⁹

Este fractal tiene secciones transversales del fractal de Mandelbrot de potencia 9. Tiene 32 bulbos pequeños que brotan de la esfera principal. Se define, por ejemplo, por:

${\displaystyle x\to x^{9}-36x^{7}(y^{2}+z^{2})+126x^{5}(y^{2}+z^{2})^{2}-84x^{3}(y^{2}+z^{2})^{3}+9x(y^{2}+z^{2})^{4}+x_{0},}$

${\displaystyle y\to y^{9}-36y^{7}(z^{2}+x^{2})+126y^{5}(z^{2}+x^{2})^{2}-84y^{3}(z^{2}+x^{2})^{3}+9y(z^{2}+x^{2})^{4}+y_{0},}$

${\displaystyle z\to z^{9}-36z^{7}(x^{2}+y^{2})+126z^{5}(x^{2}+y^{2})^{2}-84z^{3}(x^{2}+y^{2})^{3}+9z(x^{2}+y^{2})^{4}+z_{0}.}$

Estas fórmulas se pueden escribir de forma más corta:

${\displaystyle x\to {\frac {1}{2}}\left(x+i{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\right)^{9}+{\frac {1}{2}}\left(x-i{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\right)^{9}+x_{0}}$

y equivalentemente para las otras coordenadas.

Detalle fractal de potencia nueve

Fórmula esférica

Una fórmula esférica perfecta se puede definir como una fórmula

${\displaystyle (x,y,z)\to {\big (}f(x,y,z)+x_{0},g(x,y,z)+y_{0},h(x,y,z)+z_{0}{\big )},}$

dónde

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n}=f(x,y,z)^{2}+g(x,y,z)^{2}+h(x,y,z)^{2},}$

donde f , g y h son trinomios racionales de potencia n y n es un entero. El fractal cúbico anterior es un ejemplo.

Usos en los medios

• En la película animada de 2014 Big Hero 6 , el clímax tiene lugar en medio de un agujero de gusano , que está representado por el interior estilizado de un Mandelbulb. ^{[2] [3]}
• En la película de terror de ciencia ficción de 2018 Aniquilación , un ser extraterrestre aparece en forma de un Mandelbulb parcial. ^[4]
• En el webcomic Unsounded, el reino espiritual de los khert está representado por un mandelbulb dorado estilizado.

Véase también

• Caja de cartón
• Lista de fractales según la dimensión de Hausdorff

Referencias

1. "Mandelbulb: El desenlace del verdadero fractal de Mandelbrot en 3D".ver sección "fórmula".
2. Desowitz, Bill (30 de enero de 2015). "Inmerso en el cine: entrando en el portal de 'Big Hero 6'". Animation Scoop . Indiewire. Archivado desde el original el 3 de mayo de 2015. Consultado el 3 de mayo de 2015 .
3. Hutchins, David; Riley, Olun; Erickson, Jesse; Stomakhin, Alexey; Habel, Ralf; Kaschalk, Michael (2015). "Big Hero 6: Into the portal". Charlas ACM SIGGRAPH 2015. SIGGRAPH '15. Nueva York, NY, EE. UU.: ACM. págs. 52:1. doi :10.1145/2775280.2792521. ISBN . 9781450336369.S2CID 7488766  .
4. Gaudette, Emily (26 de febrero de 2018). "¿Qué son el Área X y el Resplandor en 'Aniquilación'? El supervisor de efectos visuales explica la solución matemática de la película de terror". Newsweek . Consultado el 9 de marzo de 2018 .

6. http://www.fractal.org El Navegador Fractal de Jules Ruis

Enlaces externos

• Por el primer uso de la fórmula de Mandelbulb en el sitio web www.fractal.org Jules Ruis
• Mandelbulb: El desenlace del verdadero fractal 3D de Mandelbrot, en el sitio web de Daniel White
• Varias variantes del bulbo de Mandel, en el sitio web de Paul Nylander
• Un renderizador fractal de código abierto que se puede utilizar para crear imágenes del bulbo de Mandel
• Fórmula para el bulbo de Mandel/bulbo de Julia/bulbo de Jules Ruis
• Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb con ejemplos de objetos 3D reales
• Vídeo: Vista del bulbo de Mandel
• Vídeo: Explorando el bulbo de Mandel. Animación fractal en 3D
• El hilo de discusión en Fractalforums.com que condujo al Mandelbulb
• Vídeo sobre el mundo animado de Mandelbulb
• Software de código abierto Mandelbulber v2: explore fractales trigonométricos, hipercomplejos, Mandelbox, IFS y muchos otros fractales 3D.