Lista de identidades y relaciones de conjuntos

Equalities for combinations of sets

En este artículo se enumeran las propiedades y leyes matemáticas de los conjuntos , que incluyen las operaciones de unión , intersección y complementación de la teoría de conjuntos , así como las relaciones de igualdad e inclusión de conjuntos . También se proporcionan procedimientos sistemáticos para evaluar expresiones y realizar cálculos que involucren estas operaciones y relaciones.

Las operaciones binarias de unión de conjuntos ( ) e intersección ( ) satisfacen muchas identidades. Varias de estas identidades o "leyes" tienen nombres bien establecidos. ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$

Notación

En este artículo, las letras mayúsculas (como y ) denotarán conjuntos. En el lado izquierdo de una identidad, por lo general, ${\displaystyle A,B,C,L,M,R,S,}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle L}$Será el conjunto más a la izquierda  ,
• ${\displaystyle M}$será el  conjunto medio , y
• ${\displaystyle R}$Será el conjunto más correcto  .

Esto es para facilitar la aplicación de identidades a expresiones que son complicadas o que utilizan los mismos símbolos que la identidad. ^{[nota 1]} Por ejemplo, la identidad puede leerse como: $${\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R~=~(L\,\setminus \,R)\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)}$$ $${\displaystyle ({\text{Left set}}\,\setminus \,{\text{Middle set}})\,\setminus \,{\text{Right set}}~=~({\text{Left set}}\,\setminus \,{\text{Right set}})\,\setminus \,({\text{Middle set}}\,\setminus \,{\text{Right set}}).}$$

Operaciones elementales con conjuntos

Para los conjuntos y se define: y donde la diferencia simétrica a veces se denota por y es igual a: ^{[1] [2]} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\cup R&&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ or }}\;\,&&\;x\in R~\}\\L\cap R&&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ and }}&&\;x\in R~\}\\L\setminus R&&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ and }}&&\;x\notin R~\}\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle L\triangle R~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x{\text{ belongs to exactly one of }}L{\text{ and }}R~\}}$$ ${\displaystyle L\triangle R}$ ${\displaystyle L\ominus R}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\;\triangle \;R~&=~(L~\setminus ~&&R)~\cup ~&&(R~\setminus ~&&L)\\~&=~(L~\cup ~&&R)~\setminus ~&&(L~\cap ~&&R).\end{alignedat}}}$$

Se dice que un conjunto interseca a otro conjunto si Los conjuntos que no se intersecan se dicen disjuntos . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\cap R\neq \varnothing .}$

El conjunto potencia de es el conjunto de todos los subconjuntos de y se denotará por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \wp (X)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~L~:~L\subseteq X~\}.}$$

Notación de conjunto y complemento del universo

La notación puede utilizarse si es un subconjunto de algún conjunto que se entiende (por ejemplo, a partir del contexto o porque se indica claramente qué es el superconjunto). Se enfatiza que la definición de depende del contexto. Por ejemplo, si se hubiera declarado como un subconjunto de con los conjuntos y no necesariamente relacionados entre sí de ninguna manera, entonces probablemente significaría en lugar de $${\displaystyle L^{\complement }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\setminus L.}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{\complement }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{\complement }}$ ${\displaystyle Y\setminus L}$ ${\displaystyle X\setminus L.}$

Si es necesario, a menos que se indique lo contrario, se debe suponer que denota el conjunto del universo , lo que significa que todos los conjuntos que se utilizan en la fórmula son subconjuntos de En particular, el complemento de un conjunto se denotará por donde a menos que se indique lo contrario, se debe suponer que denota el complemento de en (el universo) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{\complement }}$ ${\displaystyle L^{\complement }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X.}$

Un subconjunto involucrado

Asumir ${\displaystyle L\subseteq X.}$

Identidad : ^[3]

Definición : se llama elemento identidad izquierdo de un operador binario si para todos y se llama elemento identidad derecho de si para todos Un elemento identidad izquierdo que también es un elemento identidad derecho si se llama elemento identidad . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ ${\displaystyle e\,\ast \,R=R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ ${\displaystyle L\,\ast \,e=L}$ ${\displaystyle L.}$

El conjunto vacío es un elemento identidad de la unión binaria y de la diferencia simétrica y también es un elemento identidad derecho de la resta de conjuntos. ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \triangle ,}$ ${\displaystyle \,\setminus :}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\cap X&\;=\;&&L&\;=\;&X\cap L~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\cup \varnothing &\;=\;&&L&\;=\;&\varnothing \cup L\\[1.4ex]L\,\triangle \varnothing &\;=\;&&L&\;=\;&\varnothing \,\triangle L\\[1.4ex]L\setminus \varnothing &\;=\;&&L\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$pero no es un elemento de identidad de izquierda ya que si y sólo si ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \,\setminus \,}$ $${\displaystyle \varnothing \setminus L=\varnothing }$$ ${\textstyle \varnothing \setminus L=L}$ ${\displaystyle L=\varnothing .}$

Idempotencia ^[3] y Nilpotencia : ${\displaystyle L\ast L=L}$ ${\displaystyle L\ast L=\varnothing }$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\cup L&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Idempotence)}}\\[1.4ex]L\cap L&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Idempotence)}}\\[1.4ex]L\,\triangle \,L&\;=\;&&\varnothing &&\quad {\text{ (Nilpotence of index 2)}}\\[1.4ex]L\setminus L&\;=\;&&\varnothing &&\quad {\text{ (Nilpotence of index 2)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Dominación ^[3] / Elemento absorbente :

Definición : se denomina elemento absorbente izquierdo de un operador binario si para todos y se denomina elemento absorbente derecho de si para todos Un elemento absorbente izquierdo que también es un elemento absorbente derecho si se denomina elemento absorbente . Los elementos absorbentes también se denominan a veces elementos aniquiladores o elementos cero . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ ${\displaystyle z\,\ast \,R=z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ ${\displaystyle L\,\ast \,z=z}$ ${\displaystyle L.}$

Un conjunto universo es un elemento absorbente de la unión binaria. El conjunto vacío es un elemento absorbente de la intersección binaria y del producto cartesiano binario y también es un elemento absorbente izquierdo de la resta de conjuntos. ${\displaystyle \cup .}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \times ,}$ ${\displaystyle \,\setminus :}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\cup L&\;=\;&&X&\;=\;&L\cup X~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]\varnothing \cap L&\;=\;&&\varnothing &\;=\;&L\cap \varnothing \\[1.4ex]\varnothing \times L&\;=\;&&\varnothing &\;=\;&L\times \varnothing \\[1.4ex]\varnothing \setminus L&\;=\;&&\varnothing &\;\;&\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$pero no es un elemento absorbente de la resta de conjuntos ya que si y sólo si ${\displaystyle \varnothing }$ $${\displaystyle L\setminus \varnothing =L}$$ ${\textstyle L\setminus \varnothing =\varnothing }$ ${\textstyle L=\varnothing .}$

Ley de doble complemento o involución :

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\setminus (X\setminus L)&=L&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&\left(L^{\complement }\right)^{\complement }=L&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\quad {\text{ (Double complement/Involution law)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle L\setminus \varnothing =L}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varnothing &=L&&\setminus L\\&=\varnothing &&\setminus L\\&=L&&\setminus X~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\\end{alignedat}}}$$^[3]

$${\displaystyle L^{\complement }=X\setminus L\quad {\text{ (definition of notation)}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\,\cup (X\setminus L)&=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\cup L^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\,\triangle (X\setminus L)&=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\,\triangle L^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\,\cap (X\setminus L)&=\varnothing &&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\cap L^{\complement }=\varnothing &&\quad &&\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$^[3]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\setminus \varnothing &=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&\varnothing ^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ (Complement laws for the empty set))}}\\[1.4ex]X\setminus X&=\varnothing &&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&X^{\complement }=\varnothing &&\quad &&{\text{ (Complement laws for the universe set)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Dos conjuntos involucrados

En los lados izquierdos de las siguientes identidades, es el  conjunto más a la izquierda y es el  conjunto más a la derecha . Supongamos que ambos son subconjuntos de algún conjunto del universo. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L{\text{ and }}R}$ ${\displaystyle X.}$

Fórmulas para operaciones de conjuntos binarios ⋂, ⋃, \ y ∆

En los lados izquierdos de las siguientes identidades, es el  conjunto más a la izquierda y es el conjunto más a la derecha  . Siempre que sea necesario, se debe suponer que ambos son subconjuntos de algún conjunto del universo de modo que ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L{\text{ and }}R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L^{\complement }:=X\setminus L{\text{ and }}R^{\complement }:=X\setminus R.}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}L\cap R&=L&&\,\,\setminus \,&&(L&&\,\,\setminus &&R)\\&=R&&\,\,\setminus \,&&(R&&\,\,\setminus &&L)\\&=L&&\,\,\setminus \,&&(L&&\,\triangle \,&&R)\\&=L&&\,\triangle \,&&(L&&\,\,\setminus &&R)\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}L\cup R&=(&&L\,\triangle \,R)&&\,\,\cup &&&&L&&&&\\&=(&&L\,\triangle \,R)&&\,\triangle \,&&(&&L&&\cap \,&&R)\\&=(&&R\,\setminus \,L)&&\,\,\cup &&&&L&&&&~~~~~{\text{ (union is disjoint)}}\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}L\,\triangle \,R&=&&R\,\triangle \,L&&&&&&&&\\&=(&&L\,\cup \,R)&&\,\setminus \,&&(&&L\,\,\cap \,R)&&\\&=(&&L\,\setminus \,R)&&\cup \,&&(&&R\,\,\setminus \,L)&&~~~~~{\text{ (union is disjoint)}}\\&=(&&L\,\triangle \,M)&&\,\triangle \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&~~~~~{\text{ where }}M{\text{ is an arbitrary set. }}\\&=(&&L^{\complement })&&\,\triangle \,&&(&&R^{\complement })&&\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}L\setminus R&=&&L&&\,\,\setminus &&(L&&\,\,\cap &&R)\\&=&&L&&\,\,\cap &&(L&&\,\triangle \,&&R)\\&=&&L&&\,\triangle \,&&(L&&\,\,\cap &&R)\\&=&&R&&\,\triangle \,&&(L&&\,\,\cup &&R)\\\end{alignedat}}}$$

Leyes de De Morgan

Las leyes de De Morgan establecen que para ${\displaystyle L,R\subseteq X:}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\setminus (L\cap R)&=(X\setminus L)\cup (X\setminus R)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&(L\cap R)^{\complement }=L^{\complement }\cup R^{\complement }&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex]X\setminus (L\cup R)&=(X\setminus L)\cap (X\setminus R)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&(L\cup R)^{\complement }=L^{\complement }\cap R^{\complement }&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Conmutatividad

Las uniones, intersecciones y diferencias simétricas son operaciones conmutativas : ^[3]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\cup R&\;=\;&&R\cup L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]L\cap R&\;=\;&&R\cap L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]L\,\triangle R&\;=\;&&R\,\triangle L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

La resta de conjuntos no es conmutativa. Sin embargo, la conmutatividad de la resta de conjuntos puede caracterizarse: de ello se sigue que: Dicho de otra manera, si símbolos distintos siempre representaran conjuntos distintos, entonces las únicas fórmulas verdaderas de la forma que podrían escribirse serían aquellas que involucraran un solo símbolo; es decir, aquellas de la forma: Pero tales fórmulas son necesariamente verdaderas para cada operación binaria (porque debe cumplirse por definición de igualdad ), y por lo tanto, en este sentido, la resta de conjuntos es tan diametralmente opuesta a ser conmutativa como es posible para una operación binaria. La resta de conjuntos tampoco es alternativa a la izquierda ni alternativa a la derecha ; en cambio, si y solo si si y solo si La resta de conjuntos es cuasi conmutativa y satisface la identidad de Jordan . ${\displaystyle (L\,\setminus \,R)\cap (R\,\setminus \,L)=\varnothing }$ $${\displaystyle L\,\setminus \,R=R\,\setminus \,L\quad {\text{ if and only if }}\quad L=R.}$$ ${\displaystyle \,\cdot \,\,\setminus \,\,\cdot \,=\,\cdot \,\,\setminus \,\,\cdot \,}$ ${\displaystyle S\,\setminus \,S=S\,\setminus \,S.}$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ ${\displaystyle x\,\ast \,x=x\,\ast \,x}$ ${\displaystyle (L\setminus L)\setminus R=L\setminus (L\setminus R)}$ ${\displaystyle L\cap R=\varnothing }$ ${\displaystyle (R\setminus L)\setminus L=R\setminus (L\setminus L).}$

Otras identidades que involucran dos conjuntos

Leyes de absorción :

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\cup (L\cap R)&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Absorption)}}\\[1.4ex]L\cap (L\cup R)&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Absorption)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Otras propiedades

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\setminus R&=L\cap (X\setminus R)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\setminus R=L\cap R^{\complement }&&\quad &&{\text{ where }}L,R\subseteq X\\[1.4ex]X\setminus (L\setminus R)&=(X\setminus L)\cup R&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&(L\setminus R)^{\complement }=L^{\complement }\cup R&&\quad &&{\text{ where }}R\subseteq X\\[1.4ex]L\setminus R&=(X\setminus R)\setminus (X\setminus L)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\setminus R=R^{\complement }\setminus L^{\complement }&&\quad &&{\text{ where }}L,R\subseteq X\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Intervalos :

$${\displaystyle (a,b)\cap (c,d)=(\max\{a,c\},\min\{b,d\})}$$ $${\displaystyle [a,b)\cap [c,d)=[\max\{a,c\},\min\{b,d\})}$$

Subconjuntos ⊆ y superconjuntos ⊇

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para cualquier ^[3] ${\displaystyle L,R\subseteq X:}$

1. ${\displaystyle L\subseteq R}$
   • Definición de subconjunto : si entonces ${\displaystyle l\in L}$ ${\displaystyle l\in R}$
3. ${\displaystyle L\cap R=L}$
4. ${\displaystyle L\cup R=R}$
5. ${\displaystyle L\,\triangle \,R=R\setminus L}$
6. ${\displaystyle L\,\triangle \,R\subseteq R\setminus L}$
7. ${\displaystyle L\setminus R=\varnothing }$
8. ${\displaystyle L}$y son disjuntos (es decir, ) ${\displaystyle X\setminus R}$ ${\displaystyle L\cap (X\setminus R)=\varnothing }$
9. ${\displaystyle X\setminus R\subseteq X\setminus L\qquad }$(eso es, ) ${\displaystyle R^{\complement }\subseteq L^{\complement }}$

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para cualquier ${\displaystyle L,R\subseteq X:}$

1. ${\displaystyle L\not \subseteq R}$
2. Existe alguna ${\displaystyle l\in L\setminus R.}$

Igualdad de conjuntos

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle L=R}$
2. ${\displaystyle L\,\triangle \,R=\varnothing }$
3. ${\displaystyle L\,\setminus \,R=R\,\setminus \,L}$

• Si entonces si y sólo si ${\displaystyle L\cap R=\varnothing }$ ${\displaystyle L=R}$ ${\displaystyle L=\varnothing =R.}$
• Unicidad de los complementos : Si entonces ${\textstyle L\cup R=X{\text{ and }}L\cap R=\varnothing }$ ${\displaystyle R=X\setminus L}$

Conjunto vacío

Un conjunto está vacío si la oración es verdadera, donde la notación es una abreviatura de ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \forall x(x\not \in L)}$ ${\displaystyle x\not \in L}$ ${\displaystyle \lnot (x\in L).}$

Si es cualquier conjunto entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle L}$

1. ${\displaystyle L}$no está vacío, lo que significa que la oración es verdadera (literalmente, la negación lógica de " está vacío" es verdadera). ${\displaystyle \lnot [\forall x(x\not \in L)]}$ ${\displaystyle L}$
2. (En matemáticas clásicas ) está habitado , es decir: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \exists x(x\in L)}$
   • En matemáticas constructivas , "no vacío" y "habitado" no son equivalentes: todo conjunto habitado no está vacío, pero no siempre se garantiza lo contrario; es decir, en matemáticas constructivas, un conjunto que no está vacío (donde, por definición, " está vacío" significa que la afirmación es verdadera) podría no tener un habitante (que es un tal que ). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \forall x(x\not \in L)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in L}$
3. ${\displaystyle L\not \subseteq R}$para algún conjunto ${\displaystyle R}$

Si es cualquier conjunto entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle L}$

1. ${\displaystyle L}$está vacío ( ), lo que significa: ${\displaystyle L=\varnothing }$ ${\displaystyle \forall x(x\not \in L)}$
2. ${\displaystyle L\cup R\subseteq R}$Para cada conjunto ${\displaystyle R}$
3. ${\displaystyle L\subseteq R}$Para cada conjunto ${\displaystyle R}$
4. ${\displaystyle L\subseteq R\setminus L}$para algunos/cada conjunto ${\displaystyle R}$
5. ${\displaystyle \varnothing /L=L}$

Dados los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle x,}$

1. ${\textstyle x\not \in L\setminus R}$
2. ${\textstyle x\in L\cap R\;{\text{ or }}\;x\not \in L.}$
3. ${\textstyle x\in R\;{\text{ or }}\;x\not \in L.}$

Además, $${\displaystyle (L\setminus R)\cap R=\varnothing \qquad {\text{ always holds}}.}$$

Propiedades de encuentros, uniones y retículas

La inclusión es un orden parcial : Explícitamente, esto significa que la inclusión , que es una operación binaria , tiene las siguientes tres propiedades: ^[3] ${\displaystyle \,\subseteq ,\,}$

• Reflexividad : ${\textstyle L\subseteq L}$
• Antisimetría : ${\textstyle (L\subseteq R{\text{ and }}R\subseteq L){\text{ if and only if }}L=R}$
• Transitividad : ${\textstyle {\text{If }}L\subseteq M{\text{ and }}M\subseteq R{\text{ then }}L\subseteq R}$

La siguiente proposición dice que para cualquier conjunto el conjunto potencia de ordenado por inclusión, es una red acotada , y por lo tanto, junto con las leyes distributiva y complementaria anteriores, demuestra que es un álgebra de Boole . ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$

Existencia de un elemento mínimo y un elemento máximo : $${\displaystyle \varnothing \subseteq L\subseteq X}$$

Las uniones /supremas existen : ^[3] $${\displaystyle L\subseteq L\cup R}$$

La unión es la unión/suprema de y con respecto a porque: ${\displaystyle L\cup R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

1. ${\displaystyle L\subseteq L\cup R}$y y ${\displaystyle R\subseteq L\cup R,}$
2. si es un conjunto tal que y entonces ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L\subseteq Z}$ ${\displaystyle R\subseteq Z}$ ${\displaystyle L\cup R\subseteq Z.}$

La intersección es la unión/suprema de y con respecto a ${\displaystyle L\cap R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$

Existen encuentros /ínfimos : ^[3] $${\displaystyle L\cap R\subseteq L}$$

La intersección es el encuentro/ínfimo de y con respecto a porque: ${\displaystyle L\cap R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

1. si y y ${\displaystyle L\cap R\subseteq L}$ ${\displaystyle L\cap R\subseteq R,}$
2. si es un conjunto tal que y entonces ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\subseteq L}$ ${\displaystyle Z\subseteq R}$ ${\displaystyle Z\subseteq L\cap R.}$

La unión es el encuentro/ínfimo de y con respecto a ${\displaystyle L\cup R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$

Otras propiedades de inclusión :

$${\displaystyle L\setminus R\subseteq L}$$ $${\displaystyle (L\setminus R)\cap L=L\setminus R}$$

• Si entonces ${\displaystyle L\subseteq R}$ ${\displaystyle L\,\triangle \,R=R\setminus L.}$
• Si y entonces ^[3] ${\displaystyle L\subseteq X}$ ${\displaystyle R\subseteq Y}$ ${\displaystyle L\times R\subseteq X\times Y}$

Tres conjuntos involucrados

En los lados izquierdos de las siguientes identidades, es el  conjunto más a la izquierda , es el conjunto más a la derecha  y es el conjunto más a la derecha  . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Reglas de precedencia

No existe un acuerdo universal sobre el orden de precedencia de los operadores de conjuntos básicos. Sin embargo, muchos autores utilizan reglas de precedencia para los operadores de conjuntos, aunque estas reglas varían según el autor.

Una convención común es asociar la intersección con la conjunción lógica (y) y asociar la unión con la disyunción lógica (o) y luego transferir la precedencia de estos operadores lógicos (donde tiene precedencia sobre ) a estos operadores de conjunto, dando así precedencia sobre Entonces, por ejemplo, significaría ya que estaría asociado con la declaración lógica y de manera similar, significaría ya que estaría asociado con ${\displaystyle L\cap R=\{x:(x\in L)\land (x\in R)\}}$ ${\displaystyle L\land R}$ ${\displaystyle L\cup R=\{x:(x\in L)\lor (x\in R)\}}$ ${\displaystyle L\lor R,}$ ${\displaystyle \,\land \,}$ ${\displaystyle \,\lor \,}$ ${\displaystyle \,\cap \,}$ ${\displaystyle \,\cup .\,}$ ${\displaystyle L\cup M\cap R}$ ${\displaystyle L\cup (M\cap R)}$ ${\displaystyle L\lor M\land R~=~L\lor (M\land R)}$ ${\displaystyle L\cup M\cap R\cup Z}$ ${\displaystyle L\cup (M\cap R)\cup Z}$ ${\displaystyle L\lor M\land R\lor Z~=~L\lor (M\land R)\lor Z.}$

A veces, el complemento de conjunto (resta) también se asocia con el complemento lógico (no) , en cuyo caso tendrá la mayor precedencia. Más específicamente, se reescribe de modo que, por ejemplo, significaría ya que se reescribiría como el enunciado lógico que es igual a Para otro ejemplo, porque significa que es igual tanto a como ( donde se reescribió como ), la fórmula se referiría al conjunto además, ya que este conjunto también es igual a (otras identidades de conjuntos se pueden deducir de manera similar a partir de identidades de cálculo proposicional de esta manera). Sin embargo, debido a que la resta de conjuntos no es asociativa , una fórmula como sería ambigua; por esta razón, entre otras, a la resta de conjuntos a menudo no se le asigna ninguna precedencia. ${\displaystyle \,\setminus \,}$ ${\displaystyle \,\lnot ,\,}$ ${\displaystyle L\setminus R=\{x:(x\in L)\land \lnot (x\in R)\}}$ ${\displaystyle L\land \lnot R}$ ${\displaystyle L\cup M\setminus R}$ ${\displaystyle L\cup (M\setminus R)}$ ${\displaystyle L\lor M\land \lnot R}$ ${\displaystyle L\lor (M\land \lnot R).}$ ${\displaystyle L\land \lnot M\land R}$ ${\displaystyle L\land (\lnot M)\land R,}$ ${\displaystyle (L\land (\lnot M))\land R}$ ${\displaystyle L\land ((\lnot M)\land R)~=~L\land (R\land (\lnot M))}$ ${\displaystyle (\lnot M)\land R}$ ${\displaystyle R\land (\lnot M)}$ ${\displaystyle L\setminus M\cap R}$ ${\displaystyle (L\setminus M)\cap R=L\cap (R\setminus M);}$ ${\displaystyle L\land (\lnot M)\land R=(L\land R)\land \lnot M,}$ ${\displaystyle (L\cap R)\setminus M}$ ${\displaystyle (L\setminus M)\setminus R\neq L\setminus (M\setminus R),}$ ${\displaystyle L\setminus M\setminus R}$

La diferencia simétrica a veces se asocia con la disyunción exclusiva o (xor) (también a veces denotada por ), en cuyo caso, si el orden de precedencia de mayor a menor es entonces el orden de precedencia (de mayor a menor) para los operadores de conjunto sería No existe un acuerdo universal sobre la precedencia de la disyunción exclusiva con respecto a los otros conectivos lógicos, por lo que a la diferencia simétrica a menudo no se le asigna una precedencia. ${\displaystyle L\triangle R=\{x:(x\in L)\oplus (x\in R)\}}$ ${\displaystyle L\oplus R}$ ${\displaystyle \,\veebar }$ ${\displaystyle \,\lnot ,\,\oplus ,\,\land ,\,\lor \,}$ ${\displaystyle \,\setminus ,\,\triangle ,\,\cap ,\,\cup .}$ ${\displaystyle \,\oplus \,}$ ${\displaystyle \,\triangle \,}$

Asociatividad

Definición : Un operador binario se denomina asociativo si siempre se cumple. ${\displaystyle \,\ast \,}$ ${\displaystyle (L\,\ast \,M)\,\ast \,R=L\,\ast \,(M\,\ast \,R)}$

Los siguientes operadores de conjuntos son asociativos: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(L\cup M)\cup R&\;=\;\;&&L\cup (M\cup R)\\[1.4ex](L\cap M)\cap R&\;=\;\;&&L\cap (M\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle M)\,\triangle R&\;=\;\;&&L\,\triangle (M\,\triangle R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Para la resta de conjuntos, en lugar de asociatividad, siempre se garantiza solo lo siguiente: donde la igualdad se cumple si y solo si (esta condición no depende de ). Por lo tanto, si y solo si donde la única diferencia entre las igualdades de conjuntos del lado izquierdo y derecho es que las ubicaciones de se han intercambiado. $${\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R\;~~{\color {red}{\subseteq }}~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)}$$ ${\displaystyle L\cap R=\varnothing }$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle \;(L\setminus M)\setminus R=L\setminus (M\setminus R)\;}$ ${\displaystyle \;(R\setminus M)\setminus L=R\setminus (M\setminus L),\;}$ ${\displaystyle L{\text{ and }}R}$

Distributividad

Definición : Si son operadores binarios , entonces la izquierda distribuye sobre si mientras que la derecha distribuye sobre si El operador distribuye sobre si distribuye tanto a la izquierda como a la derecha. En las definiciones anteriores, para transformar un lado en el otro, el operador más interno (el operador dentro de los paréntesis) se convierte en el operador más externo y el operador más externo se convierte en el operador más interno. ${\displaystyle \ast {\text{ and }}\bullet }$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ ${\displaystyle \,\bullet \,}$ $${\displaystyle L\,\ast \,(M\,\bullet \,R)~=~(L\,\ast \,M)\,\bullet \,(L\,\ast \,R)\qquad \qquad {\text{ for all }}L,M,R}$$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ ${\displaystyle \,\bullet \,}$ $${\displaystyle (L\,\bullet \,M)\,\ast \,R~=~(L\,\ast \,R)\,\bullet \,(M\,\ast \,R)\qquad \qquad {\text{ for all }}L,M,R.}$$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ ${\displaystyle \,\bullet \,}$ ${\displaystyle \,\bullet \,.\,}$

Distributividad derecha : ^[3]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}(L\,\cap \,M)\,\cup \,R~&~~=~~&&(L\,\cup \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\cup \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\cup \,R~&~~=~~&&(L\,\cup \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\cup \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\setminus \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)&&\,\triangle \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)&&\,\setminus \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]~&~~=~~&&~~\;~~\;~~\;~L&&\,\setminus \,&&(M\cup R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Distributividad izquierda : ^[3]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\cup (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\cup M)\cap (L\cup R)\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cup (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\cup M)\cup (L\cup R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\cup (L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\cap (L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\,\triangle \,R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cap (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cup (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\,\setminus R)&\;=\;\;&&(L\times M)\,\setminus (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\,\triangle R)&\;=\;\;&&(L\times M)\,\triangle (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Distributividad y diferencia simétrica ∆

La intersección se distribuye sobre la diferencia simétrica: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)~&~~=~~&&(L\,\cap \,M)\,\triangle \,(L\,\cap \,R)~&&~\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(L\,\triangle \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,\triangle \,(M\,\cap \,R)~&&~\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

La unión no se distribuye sobre la diferencia simétrica porque en general solo se garantiza lo siguiente: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\cup (M\,\triangle \,R)~~{\color {red}{\supseteq }}~~\color {black}{\,}(L\cup M)\,\triangle \,(L\cup R)~&~=~&&(M\,\triangle \,R)\,\setminus \,L&~=~&&(M\,\setminus \,L)\,\triangle \,(R\,\setminus \,L)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

La diferencia simétrica no se distribuye sobre sí misma: y, en general, para cualquier conjunto (donde representa ), podría no ser un subconjunto, ni un superconjunto, de (y lo mismo es cierto para ). $${\displaystyle L\,\triangle \,(M\,\triangle \,R)~~{\color {red}{\neq }}~~\color {black}{\,}(L\,\triangle \,M)\,\triangle \,(L\,\triangle \,R)~=~M\,\triangle \,R}$$ ${\displaystyle L{\text{ and }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M\,\triangle \,R}$ ${\displaystyle L\,\triangle \,A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$

Distributividad y resta de conjuntos

Fallo de la resta de conjuntos para distribuir por la izquierda :

La resta de conjuntos es distributiva por la derecha sobre sí misma. Sin embargo, la resta de conjuntos no es distributiva por la izquierda sobre sí misma porque en general solo se garantiza lo siguiente: donde la igualdad se cumple si y solo si lo cual sucede si y solo si $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)&~~{\color {red}{\supseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\setminus \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\cap R\,\setminus \,M\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle L\,\setminus \,M=L\,\cap \,R,}$ ${\displaystyle L\cap M\cap R=\varnothing {\text{ and }}L\setminus M\subseteq R.}$

Para la diferencia simétrica, los conjuntos y son siempre disjuntos. Por lo tanto, estos dos conjuntos son iguales si y solo si ambos son iguales a Además, si y solo si ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\triangle \,R)}$ ${\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\triangle \,(L\,\setminus \,R)=L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)}$ ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\triangle \,R)=\varnothing }$ ${\displaystyle L\cap M\cap R=\varnothing {\text{ and }}L\subseteq M\cup R.}$

Para investigar la distributividad izquierda de la sustracción de conjuntos sobre uniones o intersecciones, considere cómo los conjuntos involucrados en (ambas) leyes de De Morgan están relacionados: siempre se cumple (las igualdades de la izquierda y la derecha son leyes de De Morgan) pero la igualdad no está garantizada en general (es decir, la contención podría ser estricta). La igualdad se cumple si y solo si, lo que sucede si y solo si $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~~=~~(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle {\color {red}{\subseteq }}}$ ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\;\subseteq \;L\,\setminus \,(M\,\cup \,R),}$ ${\displaystyle L\,\cap \,M=L\,\cap \,R.}$

Esta observación sobre las leyes de De Morgan muestra que no se deja distributivo sobre o porque solo se garantizan en general los siguientes: donde la igualdad se cumple para una (o equivalentemente, para ambas) de las dos fórmulas de inclusión anteriores si y solo si ${\displaystyle \,\setminus \,}$ ${\displaystyle \,\cup \,}$ ${\displaystyle \,\cap \,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~&~~{\color {red}{\supseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle L\,\cap \,M=L\,\cap \,R.}$

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle L\cap M\,=\,L\cap R}$
2. ${\displaystyle L\,\setminus \,M\,=\,L\,\setminus \,R}$
3. ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)=(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R);}$Es decir, la izquierda se distribuye para estos tres conjuntos particulares. ${\displaystyle \,\setminus \,}$ ${\displaystyle \,\cap \,}$
4. ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)=(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R);}$Es decir, la izquierda se distribuye para estos tres conjuntos particulares. ${\displaystyle \,\setminus \,}$ ${\displaystyle \,\cup \,}$
5. ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\,=\,L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)}$
6. ${\displaystyle L\cap (M\cup R)\,=\,L\cap M\cap R}$
7. ${\displaystyle L\cap (M\cup R)~\subseteq ~M\cap R}$
8. ${\displaystyle L\cap R~\subseteq ~M\;}$y ${\displaystyle \;L\cap M~\subseteq ~R}$
9. ${\displaystyle L\setminus (M\setminus R)\,=\,L\setminus (R\setminus M)}$
10. ${\displaystyle L\setminus (M\setminus R)\,=\,L\setminus (R\setminus M)\,=\,L}$

Cuasi-conmutatividad : siempre se cumple, pero en general, Sin embargo,si y solo sisi y solo si $${\displaystyle (L\setminus M)\setminus R~=~(L\setminus R)\setminus M\qquad {\text{ (Quasi-commutative)}}}$$ $${\displaystyle L\setminus (M\setminus R)~~{\color {red}{\neq }}~~L\setminus (R\setminus M).}$$ ${\displaystyle L\setminus (M\setminus R)~\subseteq ~L\setminus (R\setminus M)}$ ${\displaystyle L\cap R~\subseteq ~M}$ ${\displaystyle L\setminus (R\setminus M)~=~L.}$

Complejidad de la resta de conjuntos : para gestionar las numerosas identidades que implican la resta de conjuntos, esta sección se divide en función de la ubicación de la operación de resta de conjuntos y de los paréntesis en el lado izquierdo de la identidad. La gran variedad y complejidad (relativa) de las fórmulas que implican la resta de conjuntos (en comparación con las que no la implican) se debe en parte al hecho de que la resta de conjuntos y la resta de conjuntos no son asociativas ni conmutativas y tampoco son distributivas por la izquierda ni sobre sí mismas. ${\displaystyle \,\cup ,\,\cap ,}$ ${\displaystyle \triangle ,\,}$ ${\displaystyle \,\cup ,\,\cap ,\,\triangle ,}$

Restas de dos conjuntos

La resta de conjuntos no es asociativa en general, ya que siempre se garantiza lo siguiente: $${\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R\;~~{\color {red}{\neq }}~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)}$$ $${\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R\;~~{\color {red}{\subseteq }}~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R).}$$

(L\M)\R

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)\setminus R&=&&L\setminus (M\cup R)\\[0.6ex]&=(&&L\setminus R)\setminus M\\[0.6ex]&=(&&L\setminus M)\cap (L\setminus R)\\[0.6ex]&=(&&L\setminus R)\setminus M\\[0.6ex]&=(&&L\,\setminus \,R)\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

L\(M\R)

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\setminus (M\setminus R)&=(L\setminus M)\cup (L\cap R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

• Si ${\displaystyle L\subseteq M{\text{ then }}L\setminus (M\setminus R)=L\cap R}$
• ${\textstyle L\setminus (M\setminus R)\subseteq (L\setminus M)\cup R}$con igualdad si y sólo si ${\displaystyle R\subseteq L.}$

Resta de un conjunto

(L\M) ⁎ R

Establezca la resta a la izquierda y los paréntesis a la izquierda.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\setminus M\right)\cup R&=(L\cup R)\setminus (M\setminus R)\\&=(L\setminus (M\cup R))\cup R~~~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)\cap R&=(&&L\cap R)\setminus (M\cap R)~~~{\text{ (Distributive law of }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap R)\setminus M\\&=&&L\cap (R\setminus M)\\\end{alignedat}}}$^[4]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~~=~~(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)~\triangle ~R&=(L\setminus (M\cup R))\cup (R\setminus L)\cup (L\cap M\cap R)~~~{\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle (L\,\setminus M)\times R=(L\times R)\,\setminus (M\times R)~~~~~{\text{ (Distributivity)}}}$$

L\(M⁎R)

Establezca la resta a la izquierda y los paréntesis a la derecha.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}L\setminus (M\cup R)&=(L\setminus M)&&\,\cap \,(&&L\setminus R)~~~~{\text{ (De Morgan's law) }}\\&=(L\setminus M)&&\,\,\setminus &&R\\&=(L\setminus R)&&\,\,\setminus &&M\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\setminus (M\cap R)&=(L\setminus M)\cup (L\setminus R)~~~~{\text{ (De Morgan's law) }}\\\end{alignedat}}}$$donde los dos conjuntos anteriores que son sujetos de las leyes de De Morgan siempre satisfacen ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~~{\color {red}{\subseteq }}~~\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R).}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\setminus (M~\triangle ~R)&=(L\setminus (M\cup R))\cup (L\cap M\cap R)~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\\end{alignedat}}}$$

(Izq. M.)\Derecha

Establezca la resta a la derecha y los paréntesis a la izquierda.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\cup M)\setminus R&=(L\setminus R)\cup (M\setminus R)\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\cap M)\setminus R&=(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\&=&&L&&\cap (M\setminus R)\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\,\triangle \,M)\setminus R&=(L\setminus R)~&&\triangle ~(M\setminus R)\\&=(L\cup R)~&&\triangle ~(M\cup R)\\\end{alignedat}}}$$

L ⁎ (M\R)

Establezca la resta a la derecha y los paréntesis a la derecha.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}L\cup (M\setminus R)&=&&&&L&&\cup \;&&(M\setminus (R\cup L))&&~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\&=[&&(&&L\setminus M)&&\cup \;&&(R\cap L)]\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\&=&&(&&L\setminus (M\cup R))\;&&\;\cup &&(R\cap L)\,\,\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\cap (M\setminus R)&=(&&L\cap M)&&\setminus (L\cap R)~~~{\text{ (Distributive law of }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap M)&&\setminus R\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\&=(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\\end{alignedat}}}$^[4]

$${\displaystyle L\times (M\,\setminus R)=(L\times M)\,\setminus (L\times R)~~~~~{\text{ (Distributivity)}}}$$

Tres operaciones en tres conjuntos

(Izq. • M) ⁎ (Mr. • Der.)

Operaciones de la forma ${\displaystyle (L\bullet M)\ast (M\bullet R)}$ :

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}(L\cup M)&\,\cup \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&L\cup M\cup R\\[1.4ex](L\cup M)&\,\cap \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\cap R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\setminus \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus \,(M\cup R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\triangle \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus \,(M\cup R))\,\cup \,(R\,\setminus \,(L\cup M))\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cup \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\cap R)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cap \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&L\cap M\cap R\\[1.4ex](L\cap M)&\,\setminus \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\setminus \,R\\[1.4ex](L\cap M)&\,\triangle \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&[(L\,\cap M)\cup (M\,\cap R)]\,\setminus \,(L\,\cap M\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cup \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup M)\,\setminus (M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cap \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&\varnothing \\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\setminus \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus M\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\triangle \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus M)\cup (M\,\setminus R)\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup M)\setminus (M\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cup \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup \,M\,\cup \,R)\,\setminus \,(L\,\cap \,M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cap \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&((L\,\cap \,R)\,\setminus \,M)\,\cup \,(M\,\setminus \,(L\,\cup \,R))\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\setminus \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus \,(M\,\cup \,R))\,\cup \,((M\,\cap \,R)\,\setminus \,L)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\triangle \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&L\,\triangle \,R\\[1.7ex]\end{alignedat}}}$$

(L • M) ⁎ (R\M)

Operaciones de la forma ${\displaystyle (L\bullet M)\ast (R\,\setminus \,M)}$ :

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}(L\cup M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cup M\cup R\\[1.4ex](L\cup M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\cup M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\,\setminus \,R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\,\triangle \,R)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&[L\cap (M\cup R)]\cup [R\,\setminus \,(L\cup M)]\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(R\,\setminus \,M)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&\varnothing \\[1.4ex](L\cap M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cap M\\[1.4ex](L\cap M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\cup (R\,\setminus \,M)\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cup R\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus \,(M\cup R)\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cup M\cup R)\,\setminus \,(L\cap M)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&[L\,\setminus \,(M\cup R)]\cup (M\,\setminus \,L)\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,M)\setminus (L\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\,\triangle \,(M\cup R)\\[1.7ex]\end{alignedat}}}$$

(Izq. y Der.) ⁎ (Izq. y Der.)

Operaciones de la forma ${\displaystyle (L\,\setminus \,M)\ast (L\,\setminus \,R)}$ :

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}(L\,\setminus M)&\,\cup \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cap \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\setminus \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&(L\,\cap \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\triangle \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&\;=\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(L\cap R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Otras simplificaciones

Otras propiedades :

$${\displaystyle L\cap M=R\;{\text{ and }}\;L\cap R=M\qquad {\text{ if and only if }}\qquad M=R\subseteq L.}$$

• Si entonces ^[4] ${\displaystyle L\subseteq M}$ ${\displaystyle L\setminus R=L\cap (M\setminus R).}$
• ${\displaystyle L\times (M\,\setminus R)=(L\times M)\,\setminus (L\times R)}$
• Si entonces ${\displaystyle L\subseteq R}$ ${\displaystyle M\setminus R\subseteq M\setminus L.}$
• ${\displaystyle L\cap M\cap R=\varnothing }$si y solo si para cualquier pertenece a lo sumo a dos de los conjuntos ${\displaystyle x\in L\cup M\cup R,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L,M,{\text{ and }}R.}$

Diferencia simétrica ∆ de un número finito de conjuntos

Dado un número finito de conjuntos, algo pertenece a su diferencia simétrica si y solo si pertenece a un número impar de estos conjuntos. Explícitamente, para cualquier si y solo si la cardinalidad es impar. (Recuerde que la diferencia simétrica es asociativa, por lo que no se necesitan paréntesis para el conjunto ). ${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{n},}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x\in L_{1}\triangle \cdots \triangle L_{n}}$ ${\displaystyle \left|\left\{i:x\in L_{i}\right\}\right|}$ ${\displaystyle L_{1}\triangle \cdots \triangle L_{n}}$

En consecuencia, la diferencia simétrica de tres conjuntos satisface: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\,\triangle \,M\,\triangle \,R&=(L\cap M\cap R)\cup \{x:x{\text{ belongs to exactly one of the sets }}L,M,R\}~~~~~~{\text{ (the union is disjoint) }}\\&=[L\cap M\cap R]\cup [L\setminus (M\cup R)]\cup [M\setminus (L\cup R)]\cup [R\setminus (L\cup M)]~~~~~~~~~{\text{ (all 4 sets enclosed by [ ] are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}}$$

Productos cartesianos ⨯ de un número finito de conjuntos

El binario ⨯ se distribuye sobre ⋃ y ⋂ y \ y ∆

El producto cartesiano binario ⨯ se distribuye sobre uniones, intersecciones, resta de conjuntos y diferencia simétrica:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}(L\,\cap \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\setminus \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\times (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cap (L\times R)\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cup (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\setminus R)&\;=\;\;&&(L\times M)\setminus (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\triangle R)&\;=\;\;&&(L\times M)\triangle (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Pero en general, ⨯ no se distribuye sobre sí mismo: $${\displaystyle L\times (M\times R)~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~(L\times M)\times (L\times R)}$$ $${\displaystyle (L\times M)\times R~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~(L\times R)\times (M\times R).}$$

Binario ⋂ de finito ⨯

$${\displaystyle (L\times R)\cap \left(L_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}$$ $${\displaystyle (L\times M\times R)\cap \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}$$

Binario ⋃ de finito ⨯

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\cup ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\setminus L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[\left(L_{2}\setminus L\right)\times R_{2}\right]~\cup ~\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\\[0.5ex]~&=~\left[L\times \left(R\setminus R_{2}\right)\right]~\cup ~\left[L_{2}\times \left(R_{2}\setminus R\right)\right]~\cup ~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}$$

Diferencia \ de finito ⨯

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\setminus ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}$$y $${\displaystyle (L\times M\times R)~\setminus ~\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times M\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times M\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]}$$

Finito ⨯ de diferencias \

$${\displaystyle \left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)~=~\left(L\times R\right)\,\setminus \,\left[\left(L_{2}\times R\right)\cup \left(L\times R_{2}\right)\right]}$$

$${\displaystyle \left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)~=~\left(L\times M\times R\right)\,\setminus \,\left[\left(L_{2}\times M\times R\right)\cup \left(L\times M_{2}\times R\right)\cup \left(L\times M\times R_{2}\right)\right]}$$

Diferencia simétrica ∆ y finita ⨯

$${\displaystyle L\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~=~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\,\cup \,\left[L\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]}$$ $${\displaystyle \left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times R~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\times R\right]}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~&=~&&&&\,\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\;\setminus \;\left[\left(\left(L\cap L_{2}\right)\times R\right)\;\cup \;\left(L\times \left(R\cap R_{2}\right)\right)\right]\\[0.7ex]&=~&&&&\,\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\cup \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(M\,\triangle \,M_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(M\cup M_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\;\setminus \;\left[\left(\left(L\cap L_{2}\right)\times M\times R\right)\;\cup \;\left(L\times \left(M\cap M_{2}\right)\times R\right)\;\cup \;\left(L\times M\times \left(R\cap R_{2}\right)\right)\right]\\\end{alignedat}}}$$

En general, no necesita ser un subconjunto ni un superconjunto de ${\displaystyle \left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left(L\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times R_{2}\right).}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~&&\left(L\times R\right)\cup \left(L_{2}\times R_{2}\right)\;\setminus \;\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\times M\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~&=~&&\left(L\times M\times R\right)\cup \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)\;\setminus \;\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Familias arbitrarias de conjuntos

Sean y familias indexadas de conjuntos . Siempre que se necesite la suposición, se supone que todos los conjuntos indexados , como y , no están vacíos. ${\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(R_{j}\right)_{j\in J},}$ ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J,}$

Definiciones

Una familia de conjuntos o (más brevemente) una familia se refiere a un conjunto cuyos elementos son conjuntos.

Una familia indexada de conjuntos es una función de algún conjunto, llamado su conjunto de indexación , en alguna familia de conjuntos. Una familia indexada de conjuntos se denotará por donde esta notación asigna el símbolo para el conjunto de indexación y para cada índice asigna el símbolo al valor de la función en La función en sí puede entonces denotarse por el símbolo que se obtiene de la notación reemplazando el índice con un símbolo de viñeta explícitamente, es la función: que puede resumirse escribiendo ${\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle L_{\bullet },}$ ${\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \bullet \,;}$ ${\displaystyle L_{\bullet }}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L_{\bullet }:\;&&I&&\;\to \;&\left\{L_{i}:i\in I\right\}\\[0.3ex]&&i&&\;\mapsto \;&L_{i}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i\in I}.}$

Cualquier familia indexada dada de conjuntos (que es una función ) puede ser asociada canónicamente con su imagen/rango (que es una familia de conjuntos). A la inversa, cualquier familia dada de conjuntos puede ser asociada con la familia de conjuntos indexada - que es técnicamente la función identidad. Sin embargo, esta no es una correspondencia biyectiva porque no se requiere que una familia indexada de conjuntos sea inyectiva (es decir, pueden existir índices distintos como ), lo que en particular significa que es posible que distintas familias indexadas de conjuntos (que son funciones) estén asociadas con la misma familia de conjuntos (al tener la misma imagen/rango). ${\displaystyle L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} L_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{L_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (B)_{B\in {\mathcal {B}}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle L_{i}=L_{j}}$

Uniones arbitrarias definidas ^[3]

Si entonces lo que se llama algo así como convención de unión nula (a pesar de ser llamada convención, esta igualdad se sigue de la definición). ${\displaystyle I=\varnothing }$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in \varnothing }L_{i}=\{x~:~{\text{ there exists }}i\in \varnothing {\text{ such that }}x\in L_{i}\}=\varnothing ,}$

Si es una familia de conjuntos entonces denota el conjunto: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \bigcup {\mathcal {B}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x~:~{\text{ there exists }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ such that }}x\in B\}.}$$

Intersecciones arbitrarias definidas

Si entonces ^[3] ${\displaystyle I\neq \varnothing }$

Si es una familia no vacía de conjuntos entonces denota el conjunto: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \cap {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \bigcap {\mathcal {B}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcap _{B\in B}B~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x~:~x\in B{\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}}\}~=~\{x~:~{\text{ for all }}B,{\text{ if }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}x\in B\}.}$$

Intersecciones nulas

Si entonces, donde cada cosa posible en el universo satisface vagamente la condición: "si entonces ". En consecuencia, consiste en todo lo que hay en el universo. ${\displaystyle I=\varnothing }$ $${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }L_{i}=\{x~:~{\text{ for all }}i,{\text{ if }}i\in \varnothing {\text{ then }}x\in L_{i}\}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i\in \varnothing }$ ${\displaystyle x\in L_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}=\{x:{\text{ true }}\}}$

Entonces si y: ${\displaystyle I=\varnothing }$

1. Si estás trabajando en un modelo en el que existe algún conjunto de universos , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}=\{x~:~x\in L_{i}{\text{ for every }}i\in \varnothing \}~=~X.}$
2. de lo contrario, si estás trabajando en un modelo en el que "la clase de todas las cosas " no es un conjunto (de lejos la situación más común), entonces no está definido porque consta de todo , lo que constituye una clase propia y no un conjunto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}}$

Suposición : De ahora en adelante, siempre que una fórmula requiera que algún conjunto de indexación no esté vacío para que una intersección arbitraria esté bien definida, esto se asumirá automáticamente sin mencionarlo.

Una consecuencia de esto es la siguiente suposición/definición:

Una intersección finita de conjuntos o una intersección de un número finito de conjuntos se refiere a la intersección de una colección finita de uno o más conjuntos.

Algunos autores adoptan la llamada convención de intersección nularia , que es la convención de que una intersección vacía de conjuntos es igual a algún conjunto canónico. En particular, si todos los conjuntos son subconjuntos de algún conjunto, entonces algún autor puede declarar que la intersección vacía de estos conjuntos es igual a Sin embargo, la convención de intersección nularia no es tan comúnmente aceptada como la convención de unión nularia y este artículo no la adoptará (esto se debe al hecho de que a diferencia de la unión vacía, el valor de la intersección vacía depende de por lo que si hay múltiples conjuntos bajo consideración, lo que es comúnmente el caso, entonces el valor de la intersección vacía corre el riesgo de volverse ambiguo). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Conjuntos de índices múltiples $${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcup _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}}$$ $${\displaystyle \bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcap _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}}$$

Distribuyendo uniones e intersecciones

⋂ binario de ⋃ arbitrarios

y ^[4]

• Si todos son disjuntos entre sí y todos también son disjuntos entre sí, entonces también lo son todos (es decir, si entonces ). ${\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(R_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle \left(L_{i}\cap R_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ ${\displaystyle (i,j)\neq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left(L_{i}\cap R_{j}\right)\cap \left(L_{i_{2}}\cap R_{j_{2}}\right)=\varnothing }$

• Es importante destacar que , si entonces en general, (un ejemplo de esto se da a continuación). La unión única en el lado derecho debe ser sobre todos los pares. Lo mismo suele ser cierto para otras igualdades de conjuntos no triviales similares y relaciones que dependen de dos conjuntos de indexación (potencialmente no relacionados) y (como la ecuación 4b o la ecuación 7g ^[4] ). Dos excepciones son la ecuación 2c (uniones de uniones) y la ecuación 2d (intersecciones de intersecciones), pero ambas se encuentran entre las igualdades de conjuntos más triviales (aunque incluso para estas igualdades todavía hay algo que debe probarse ^{[nota 2]} ). ${\displaystyle I=J}$ $${\displaystyle ~\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)~}$$ ${\displaystyle (i,j)\in I\times I:}$ $${\displaystyle ~\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~~=~~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}\left(L_{i}\cap R_{j}\right).~}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$
• Ejemplo donde falla la igualdad : Seay seaSeay seaEntoncesAdemás, ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle I=\{1,2\}.}$ ${\displaystyle L_{1}\colon =R_{2}\colon =X}$ ${\displaystyle L_{2}\colon =R_{1}\colon =\varnothing .}$ $${\displaystyle X=X\cap X=\left(L_{1}\cup L_{2}\right)\cap \left(R_{2}\cup R_{2}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~\neq ~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)=\left(L_{1}\cap R_{1}\right)\cup \left(L_{2}\cap R_{2}\right)=\varnothing \cup \varnothing =\varnothing .}$$ $${\displaystyle \varnothing =\varnothing \cup \varnothing =\left(L_{1}\cap L_{2}\right)\cup \left(R_{2}\cap R_{2}\right)=\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~\neq ~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cup R_{i}\right)=\left(L_{1}\cup R_{1}\right)\cap \left(L_{2}\cup R_{2}\right)=X\cap X=X.}$$

⋃ binario de ⋂ arbitrarios

y ^[4]

• Es importante destacar que , si entonces, en general (un ejemplo de esto se da arriba), la intersección única en el lado derecho debe estar sobre todos los pares ${\displaystyle I=J}$ $${\displaystyle ~\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cup R_{i}\right)~}$$ ${\displaystyle (i,j)\in I\times I:}$ $${\displaystyle ~\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~~=~~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}\left(L_{i}\cup R_{j}\right).~}$$

⋂ arbitrarios y ⋃ arbitrarios

Distribuir incorrectamente intercambiando ⋂ y ⋃

Intercambiando ingenuamente puede producirse un conjunto diferente ${\displaystyle \;{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\;}$ ${\displaystyle \;{\textstyle \bigcap \limits _{j\in J}}\;}$

La siguiente inclusión siempre se cumple:

En general, no es necesario que se cumpla la igualdad y, además, el lado derecho depende de cómo se etiqueten los conjuntos para cada valor fijo; y, análogamente, el lado izquierdo depende de cómo se etiqueten los conjuntos para cada valor fijo . A continuación se ofrece un ejemplo que demuestra esto. ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle j\in J,}$ ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{i\in I}}$

• Ejemplo de dependencia del etiquetado y fallo de igualdad : Para ver por qué la igualdad no tiene por qué cumplirse cuando y se intercambian, sea y sea y Entonces Si y se intercambian mientras y no cambian, lo que da lugar a los conjuntos y entonces En particular, el lado izquierdo ya no es lo que muestra que el lado izquierdo depende de cómo se etiqueten los conjuntos. Si en cambio y se intercambian mientras y no cambian, lo que da lugar a los conjuntos y entonces tanto el lado izquierdo como el lado derecho son iguales a lo que muestra que el lado derecho también depende de cómo se etiqueten los conjuntos. ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle I\colon =J\colon =\{1,2\},}$ ${\displaystyle S_{11}=\{1,2\},~S_{12}=\{1,3\},~S_{21}=\{3,4\},}$ ${\displaystyle S_{22}=\{2,4\}.}$ $${\displaystyle \{1,4\}=\{1\}\cup \{4\}=\left(S_{11}\cap S_{12}\right)\cup \left(S_{21}\cap S_{22}\right)=\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~\neq ~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)=\left(S_{11}\cup S_{21}\right)\cap \left(S_{12}\cup S_{22}\right)=\{1,2,3,4\}.}$$ ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{21}}$ ${\displaystyle S_{12}}$ ${\displaystyle S_{22}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{11}\colon =\{3,4\},~{\hat {S}}_{12}\colon =\{1,3\},~{\hat {S}}_{21}\colon =\{1,2\},}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{22}\colon =\{2,4\},}$ $${\displaystyle \{2,3\}=\{3\}\cup \{2\}=\left({\hat {S}}_{11}\cap {\hat {S}}_{12}\right)\cup \left({\hat {S}}_{21}\cap {\hat {S}}_{22}\right)=\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}{\hat {S}}_{i,j}\right)~\neq ~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}{\hat {S}}_{i,j}\right)=\left({\hat {S}}_{11}\cup {\hat {S}}_{21}\right)\cap \left({\hat {S}}_{12}\cup {\hat {S}}_{22}\right)=\{1,2,3,4\}.}$$ ${\displaystyle \{1,4\},}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\;{\textstyle \bigcap \limits _{j\in J}}S_{i,j}}$ ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{12}}$ ${\displaystyle S_{21}}$ ${\displaystyle S_{22}}$ ${\displaystyle {\overline {S}}_{11}\colon =\{1,3\},~{\overline {S}}_{12}\colon =\{1,2\},~{\overline {S}}_{21}\colon =\{3,4\},}$ ${\displaystyle {\overline {S}}_{22}\colon =\{2,4\},}$ ${\displaystyle \{1,4\},}$

Igualdad en la inclusión 1 ∪∩ es un subconjunto de ∩∪ puede cumplirse en determinadas circunstancias, como en 7e , que es el caso especial donde es (es decir, con los mismos conjuntos de indexación y ), o como en 7f , que es el caso especial donde es (es decir, con los conjuntos de indexación y intercambiados). Para una fórmula correcta que extienda las leyes distributivas, se necesita un enfoque distinto al de simplemente intercambiar y . ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ ${\displaystyle \left(L_{i}\setminus R_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ ${\displaystyle S_{i,j}\colon =L_{i}\setminus R_{j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ ${\displaystyle \left(L_{i}\setminus R_{j}\right)_{(j,i)\in J\times I}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{j,i}\colon =L_{i}\setminus R_{j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$

Leyes distributivas correctas

Supóngase que para cada es un conjunto de índices no vacíos y para cada sea cualquier conjunto (por ejemplo, para aplicar esta ley a use para todos y use para todos y todos ). Sea denotar el producto cartesiano , que puede interpretarse como el conjunto de todas las funciones tales que para cada Tal función también puede denotarse usando la notación de tupla donde para cada y a la inversa, una tupla es simplemente notación para la función con dominio cuyo valor en es ambas notaciones pueden usarse para denotar los elementos de Entonces ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle j\in J_{i},}$ ${\displaystyle T_{i,j}}$ ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},}$ ${\displaystyle J_{i}\colon =J}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle T_{i,j}\colon =S_{i,j}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle j\in J_{i}=J}$ $${\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{i\in I}J_{i}}$$ ${\displaystyle f~:~I~\to ~{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}J_{i}}$ ${\displaystyle f(i)\in J_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(i)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle f_{i};}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }.}$

dónde ${\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}.}$

Aplicación de las leyes distributivas

Ejemplo de aplicación : En el caso particular donde todosson iguales (es decir,para todos, como es el caso de la familia, por ejemplo), entonces, dejandodenotar este conjunto común, el producto cartesiano seráque es el conjunto de todas las funciones de la formaLas igualdades de conjuntos anteriores , Ec. 5 ∩∪ a ∪∩ y Ec. 6 ∪∩ a ∩∪ , respectivamente, se convierten en: ^[3] ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle J_{i}=J_{i_{2}}}$ ${\displaystyle i,i_{2}\in I,}$ ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J=J^{I},}$ ${\displaystyle f~:~I~\to ~J.}$ $${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}=\bigcup _{f\in J^{I}}\;\bigcap _{i\in I}S_{i,f(i)}}$$ $${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}S_{i,j}=\bigcap _{f\in J^{I}}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,f(i)}}$$

que cuando se combina con Inclusión 1 ∪∩ es un subconjunto de ∩∪ implica: donde $${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}S_{i,j}~=~\bigcap _{f\in J^{I}}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,f(i)}~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\bigcup _{g\in I^{J}}\;\bigcap _{j\in J}S_{g(j),j}~=~\bigcap _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,j}}$$

• en el lado izquierdo, los índices varían sobre (por lo que los subíndices de rango varían sobre ) ${\displaystyle f{\text{ and }}i}$ ${\displaystyle f\in J^{I}{\text{ and }}i\in I}$ ${\displaystyle S_{i,f(i)}}$ ${\displaystyle i\in I{\text{ and }}f(i)\in f(I)\subseteq J}$
• en el lado derecho, los índices varían sobre (por lo tanto los subíndices de rango varían sobre ). ${\displaystyle g{\text{ and }}j}$ ${\displaystyle g\in I^{J}{\text{ and }}j\in J}$ ${\displaystyle S_{g(j),j}}$ ${\displaystyle j\in J{\text{ and }}g(j)\in g(J)\subseteq I}$

Ejemplo de aplicación : Para aplicar la fórmula general al caso deyusey seapara todosy seapara todos Cada mapapuede identificarse biyectivamente con el par(la inversa envíaal mapadefinido poryesto es técnicamente solo un cambio de notación). Recuerde que la ecuación 5 ∩∪ a ∪∩ era Expandiendo y simplificando el lado izquierdo se obtiene y haciendo lo mismo con el lado derecho se obtiene: ${\displaystyle \left(C_{k}\right)_{k\in K}}$ ${\displaystyle \left(D_{l}\right)_{l\in L},}$ ${\displaystyle I\colon =\{1,2\},}$ ${\displaystyle J_{1}\colon =K,}$ ${\displaystyle J_{2}\colon =L,}$ ${\displaystyle T_{1,k}\colon =C_{k}}$ ${\displaystyle k\in J_{1}}$ ${\displaystyle T_{2,l}\colon =D_{l}}$ ${\displaystyle l\in J_{2}.}$ ${\displaystyle f\in {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}=J_{1}\times J_{2}=K\times L}$ ${\displaystyle \left(f(1),f(2)\right)\in K\times L}$ ${\displaystyle (k,l)\in K\times L}$ ${\displaystyle f_{(k,l)}\in {\textstyle \prod }J_{\bullet }}$ ${\displaystyle 1\mapsto k}$ ${\displaystyle 2\mapsto l;}$ $${\displaystyle ~\bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J_{i}}T_{i,j}=\bigcup _{f\in {\textstyle \prod }J_{\bullet }}\;\bigcap _{i\in I}T_{i,f(i)}.~}$$ $${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J_{i}}T_{i,j}=\left(\bigcup _{j\in J_{1}}T_{1,j}\right)\cap \left(\;\bigcup _{j\in J_{2}}T_{2,j}\right)=\left(\bigcup _{k\in K}T_{1,k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}T_{2,l}\right)=\left(\bigcup _{k\in K}C_{k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}D_{l}\right)}$$ $${\displaystyle \bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\;\bigcap _{i\in I}T_{i,f(i)}=\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\left(T_{1,f(1)}\cap T_{2,f(2)}\right)=\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\left(C_{f(1)}\cap D_{f(2)}\right)=\bigcup _{(k,l)\in K\times L}\left(C_{k}\cap D_{l}\right)=\bigcup _{\stackrel {k\in K,}{l\in L}}\left(C_{k}\cap D_{l}\right).}$$

Por lo tanto, la identidad general Eq. 5 ∩∪ a ∪∩ se reduce a la igualdad de conjuntos dada previamente Eq. 3b : $${\displaystyle \left(\bigcup _{k\in K}C_{k}\right)\cap \;\bigcup _{l\in L}D_{l}=\bigcup _{\stackrel {k\in K,}{l\in L}}\left(C_{k}\cap D_{l}\right).}$$

Distribuir la resta sobre ⋃ y ⋂

Las siguientes identidades se conocen como leyes de De Morgan . ^[4]

Las siguientes cuatro igualdades de conjuntos se pueden deducir de las igualdades 7a - 7d anteriores.

En general, intercambiar ingenuamente y puede producir un conjunto diferente (ver esta nota para más detalles). Las igualdades encontradas en la ecuación 7e y la ecuación 7f son, por lo tanto, inusuales en el sentido de que establecen exactamente que intercambiar y no cambiará el conjunto resultante. ${\displaystyle \;\cup \;}$ ${\displaystyle \;\cap \;}$ $${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)~=~\bigcap _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)\quad {\text{ and }}\quad \bigcup _{j\in J}\;\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)~=~\bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)}$$ ${\displaystyle \;\cup \;}$ ${\displaystyle \;\cap \;}$

Conmutatividad y asociatividad de ⋃ y ⋂

Conmutatividad : ^[3]

$${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcup _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}~=~\bigcup _{i\in I}\left(\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\right)~=~\bigcup _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)}$$

$${\displaystyle \bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcap _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}~=~\bigcap _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~=~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcap _{i\in I}S_{i,j}\right)}$$

Uniones de uniones e intersecciones de intersecciones : ^[3]

$${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cup R~=~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cup R\right)}$$ $${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cap R~=~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cap R\right)}$$y ^[3]

y si entonces también: ^{[nota 2] [3]} ${\displaystyle I=J}$

Productos cartesianos Π de un número arbitrario de conjuntos

Intersecciones ⋂ de Π

Si es una familia de conjuntos entonces ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$

• Además, una tupla pertenece al conjunto de la ecuación 8 anterior si y solo si para todos y todas ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x_{i}\in S_{i,j}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle j\in J.}$

En particular, si y son dos familias indexadas por el mismo conjunto entonces Por ejemplo, y ${\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(R_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle \left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)\cap \prod _{i\in I}R_{i}~=~\prod _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)}$$ $${\displaystyle (L\times R)\cap \left(L_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}$$ $${\displaystyle (L\times R)\cap \left(L_{2}\times R_{2}\right)\cap \left(L_{3}\times R_{3}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\cap L_{3}\right)\times \left(R\cap R_{2}\cap R_{3}\right)}$$ $${\displaystyle (L\times M\times R)\cap \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}$$

Intersecciones de productos indexados por diferentes conjuntos

Sean y dos familias indexadas por conjuntos diferentes. ${\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(R_{j}\right)_{j\in J}}$

Técnicamente, implica Sin embargo, a veces estos productos se identifican de alguna manera como el mismo conjunto a través de alguna biyección o uno de estos productos se identifica como un subconjunto del otro a través de algún mapa inyectivo , en cuyo caso (por abuso de notación ) esta intersección puede ser igual a algún otro conjunto (posiblemente no vacío). ${\displaystyle I\neq J}$ ${\displaystyle \left({\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}\right)\cap {\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}=\varnothing .}$

• Por ejemplo, si y con todos los conjuntos iguales a entonces y donde a menos que , por ejemplo, se identifique como un subconjunto de a través de alguna inyección , como tal vez por ejemplo; sin embargo, en este caso particular el producto en realidad representa el producto indexado donde ${\displaystyle I:=\{1,2\}}$ ${\displaystyle J:=\{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}={\textstyle \prod \limits _{i\in \{1,2\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}={\textstyle \prod \limits _{j\in \{1,2,3\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\cap \mathbb {R} ^{3}=\varnothing }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in \{1,2\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{j\in \{1,2,3\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,0)}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I=\{1,2\}}}L_{i}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{j\in J=\{1,2,3\}}}L_{i}}$ ${\displaystyle L_{3}:=\{0\}.}$
• Para otro ejemplo, tomemos y con y todos iguales a Entonces y que pueden identificarse como el mismo conjunto a través de la biyección que envía a Bajo esta identificación, ${\displaystyle I:=\{1,2\}}$ ${\displaystyle J:=\{1,2,3\}}$ ${\displaystyle L_{1}:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle L_{2},R_{1},R_{2},{\text{ and }}R_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle ((x,y),z)\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \left({\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}\right)\cap \,{\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}~=~\mathbb {R} ^{3}.}$

El binario ⨯ se distribuye sobre ⋃ y ⋂ arbitrarios

El producto cartesiano binario ⨯ se distribuye sobre intersecciones arbitrarias (cuando el conjunto de indexación no está vacío) y sobre uniones arbitrarias:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\times \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)&\;=\;\;&&\bigcup _{i\in I}(L\times R_{i})\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)&\;=\;\;&&\bigcap _{i\in I}(L\times R_{i})\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\bigcap _{i\in I}\,{\text{ when }}I\neq \varnothing \,{\text{)}}\\[1.4ex]\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\times R&\;=\;\;&&\bigcup _{i\in I}(L_{i}\times R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\times R&\;=\;\;&&\bigcap _{i\in I}(L_{i}\times R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\bigcap _{i\in I}\,{\text{ when }}I\neq \varnothing \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Distribuyendo un Π arbitrario sobre un ⋃ arbitrario

Supóngase que para cada uno es un conjunto de índices no vacíos y para cada sea cualquier conjunto (por ejemplo, para aplicar esta ley, use para todos y use para todos y todos ). Sea el producto cartesiano , que (como se mencionó anteriormente) puede interpretarse como el conjunto de todas las funciones tales que para cada . Entonces ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle j\in J_{i},}$ ${\displaystyle T_{i,j}}$ ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},}$ ${\displaystyle J_{i}\colon =J}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle T_{i,j}\colon =S_{i,j}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle j\in J_{i}=J}$ $${\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{i\in I}J_{i}}$$ ${\displaystyle f~:~I~\to ~{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}J_{i}}$ ${\displaystyle f(i)\in J_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

dónde ${\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}.}$

Uniones ⋃ de Π

Para las uniones, en general solo se garantiza lo siguiente: donde es una familia de conjuntos. $${\displaystyle \bigcup _{j\in J}\;\prod _{i\in I}S_{i,j}~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\prod _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\qquad {\text{ and }}\qquad \bigcup _{i\in I}\;\prod _{j\in J}S_{i,j}~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\prod _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,j}}$$ ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$

• Ejemplo donde falla la igualdad : Let let let y let Entonces De manera más general, si y solo si para cada al menos uno de los conjuntos en las colecciones de conjuntos indexadas está vacío, mientras que si y solo si para cada al menos uno de los conjuntos en las colecciones de conjuntos indexadas no está vacío. ${\displaystyle I=J=\{1,2\},}$ ${\displaystyle S_{1,1}=S_{2,2}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle S_{1,2}=S_{2,1}=X.}$ $${\displaystyle \varnothing =\varnothing \cup \varnothing =\left(\prod _{i\in I}S_{i,1}\right)\cup \left(\prod _{i\in I}S_{i,2}\right)=\bigcup _{j\in J}\;\prod _{i\in I}S_{i,j}~~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~~\prod _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}=\left(\bigcup _{j\in J}S_{1,j}\right)\times \left(\bigcup _{j\in J}S_{2,j}\right)=X\times X.}$$ ${\textstyle \varnothing =\bigcup _{j\in J}\;\prod _{i\in I}S_{i,j}}$ ${\displaystyle j\in J,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S_{\bullet ,j}=\left(S_{i,j}\right)_{i\in I}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle S_{i,\bullet }=\left(S_{i,j}\right)_{j\in J}}$

Sin embargo, $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\cup ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\setminus L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[\left(L_{2}\setminus L\right)\times R_{2}\right]~\cup ~\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\\[0.5ex]~&=~\left[L\times \left(R\setminus R_{2}\right)\right]~\cup ~\left[L_{2}\times \left(R_{2}\setminus R\right)\right]~\cup ~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}$$

Diferencia \ de Π

Si y son dos familias de conjuntos entonces: así por ejemplo, y ${\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(R_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\setminus ~\prod _{i\in I}R_{i}~&=~\;~\bigcup _{j\in I}\;~\prod _{i\in I}{\begin{cases}L_{j}\,\setminus \,R_{j}&{\text{ if }}i=j\\L_{i}&{\text{ if }}i\neq j\\\end{cases}}\\[0.5ex]~&=~\;~\bigcup _{j\in I}\;~{\Big [}\left(L_{j}\,\setminus \,R_{j}\right)~\times ~\prod _{\stackrel {i\in I,}{j\neq i}}L_{i}{\Big ]}\\[0.5ex]~&=~\bigcup _{\stackrel {j\in I,}{L_{j}\not \subseteq R_{j}}}{\Big [}\left(L_{j}\,\setminus \,R_{j}\right)~\times ~\prod _{\stackrel {i\in I,}{j\neq i}}L_{i}{\Big ]}\\[0.3ex]\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\setminus ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle (L\times M\times R)~\setminus ~\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times M\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times M\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]}$$

Diferencia simétrica ∆ de Π

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\triangle ~\left(\prod _{i\in I}R_{i}\right)~&=~\;~\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\cup ~\left(\prod _{i\in I}R_{i}\right)\;\setminus \;\prod _{i\in I}L_{i}\cap R_{i}\\[0.5ex]\end{alignedat}}}$$

Funciones y conjuntos

Sea cualquier función. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Sean conjuntos completamente arbitrarios. Supongamos ${\displaystyle L{\text{ and }}R}$ ${\displaystyle A\subseteq X{\text{ and }}C\subseteq Y.}$

Definiciones

Sea cualquier función, donde denotamos su dominio por y denotamos su codominio por ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {codomain} f.}$

Muchas de las identidades que se indican a continuación no requieren en realidad que los conjuntos estén relacionados de algún modo con el dominio o codominio de (es decir, con o ), por lo que cuando sea necesario algún tipo de relación, se indicará claramente. Por ello, en este artículo, si se declara que es " cualquier conjunto " y no se indica que debe estar relacionado de algún modo con o (por ejemplo, que sea un subconjunto de o ), entonces se entiende que es verdaderamente arbitrario. ^{[nota 3]} Esta generalidad es útil en situaciones en las que es una función entre dos subconjuntos y de algunos conjuntos mayores y y en las que el conjunto podría no estar completamente contenido en y/o (por ejemplo, si todo lo que se sabe acerca de es que ); en una situación así, puede ser útil saber qué se puede y qué no se puede decir acerca de y/o sin tener que introducir una intersección (potencialmente innecesaria) como: y/o ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\subseteq U}$ ${\displaystyle Y\subseteq V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X=\operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle Y=\operatorname {codomain} f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\subseteq U}$ ${\displaystyle f(L)}$ ${\displaystyle f^{-1}(L)}$ ${\displaystyle f(L\cap X)}$ ${\displaystyle f^{-1}(L\cap Y).}$

Imágenes y preimágenes de conjuntos

Si es cualquier conjunto, entonces la imagen de debajo se define como el conjunto: mientras que la preimagen de debajo es: donde si es un conjunto singleton, entonces la fibra o preimagen de debajo es ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(L)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\,f(l)~:~l\in L\cap \operatorname {domain} f\,\}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f^{-1}(L)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in L\,\}}$$ ${\displaystyle L=\{s\}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f^{-1}(s)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f^{-1}(\{s\})~=~\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)=s\,\}.}$$

Denotamos por o la imagen o rango del cual es el conjunto: ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle \operatorname {image} f}$ ${\displaystyle f:X\to Y,}$ $${\displaystyle \operatorname {Im} f~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(X)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(\operatorname {domain} f)~=~\{f(x)~:~x\in \operatorname {domain} f\}.}$$

Conjuntos saturados

Se dice que un conjunto está - saturado o ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$conjunto saturado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:^[3]

1. Existe un conjunto tal que ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A=f^{-1}(R).}$
   • Cualquier conjunto de este tipo contiene necesariamente un subconjunto. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(A)}$
   • Cualquier conjunto que no esté enteramente contenido en el dominio de no puede ser -saturado. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
2. ${\displaystyle A=f^{-1}(f(A)).}$
3. ${\displaystyle A\supseteq f^{-1}(f(A))}$y ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {domain} f.}$
   • La inclusión siempre se cumple, donde si entonces esto se convierte en ${\displaystyle L\cap \operatorname {domain} f\subseteq f^{-1}(f(L))}$ ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A)).}$
4. ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {domain} f}$y si y satisfacen entonces ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle f(x)=f(a),}$ ${\displaystyle x\in A.}$
5. Siempre que una fibra se interseca , contiene toda la fibra. En otras palabras, contiene todas las fibras que la intersectan. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

• Explícitamente: siempre que sea tal que entonces ${\displaystyle y\in \operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle A\cap f^{-1}(y)\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)s\subseteq A.}$
• Tanto en esta declaración como en la siguiente, el conjunto puede reemplazarse con cualquier superconjunto de (como ) y la declaración resultante seguirá siendo equivalente al resto. ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle \operatorname {codomain} f}$

La intersección de con una fibra de es igual al conjunto vacío o a la fibra misma. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

• Explícitamente: para cada intersección es igual al conjunto vacío o a (es decir, o ). ${\displaystyle y\in \operatorname {Im} f,}$ ${\displaystyle A\cap f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle A\cap f^{-1}(y)=\varnothing }$ ${\displaystyle A\cap f^{-1}(y)=f^{-1}(y)}$

Para que un conjunto esté -saturado, es necesario que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {domain} f.}$

Composiciones y restricciones de funciones

Si y son mapas entonces denota el mapa de composición con dominio y codominio definidos por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ $${\displaystyle g\circ f~:~\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in \operatorname {domain} g\,\}~\to ~\operatorname {codomain} g}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {domain} (g\circ f)&=\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in \operatorname {domain} g\,\}\\[0.4ex]\operatorname {codomain} (g\circ f)&=\operatorname {codomain} g\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle (g\circ f)(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~g(f(x)).}$$

La restricción de a ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle L,}$ denotado por es el mapa con definido por enviar a es decir, Alternativamente, donde denota el mapa de inclusión , que está definido por ${\displaystyle f{\big \vert }_{L},}$ $${\displaystyle f{\big \vert }_{L}~:~L\cap \operatorname {domain} f~\to ~Y}$$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f{\big \vert }_{L}~=~L\cap \operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle x\in L\cap \operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle f(x);}$ $${\displaystyle f{\big \vert }_{L}(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x).}$$ ${\displaystyle ~f{\big \vert }_{L}~=~f\circ \operatorname {In} ~}$ ${\displaystyle ~\operatorname {In} ~:~L\cap X\to X~}$ ${\displaystyle \operatorname {In} (s)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~s.}$

(Pre)Imágenes de uniones arbitrarias ⋃'s e intersecciones ⋂'s

Si es una familia de conjuntos arbitrarios indexados por entonces: ^[5] ${\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;&~\;\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~\;\;\;\bigcap _{i\in I}f\left(L_{i}\right)\\f\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcup _{i\in I}f\left(L_{i}\right)\\f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcup _{i\in I}f^{-1}\left(L_{i}\right)\\f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcap _{i\in I}f^{-1}\left(L_{i}\right)\\\end{alignedat}}}$$

De estas cuatro identidades, solo las imágenes de las intersecciones no siempre se conservan. Las preimágenes conservan todas las operaciones básicas de los conjuntos. Las uniones se conservan tanto por imágenes como por preimágenes.

Si todos están -saturados, entonces estarán -saturados y se mantendrá la igualdad en la primera relación anterior; explícitamente, esto significa: ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}L_{i}}$ ${\displaystyle f}$

Si es una familia de subconjuntos arbitrarios de lo que significa que para todos entonces la Igualdad Condicional 10a se convierte en: ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X=\operatorname {domain} f,}$ ${\displaystyle A_{i}\subseteq X}$ ${\displaystyle i,}$

(Pre)imágenes de operaciones con conjuntos binarios

En general, sean y cualesquiera conjuntos y sea cualquier función. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

Resumen

Como muestra la siguiente tabla, la igualdad de conjuntos no está garantizada solo para imágenes de: intersecciones, restas de conjuntos y diferencias simétricas.

Las preimágenes preservan las operaciones de conjuntos

Las preimágenes de conjuntos se comportan bien con respecto a todas las operaciones básicas de conjuntos:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(L\cup R)~&=~f^{-1}(L)\cup f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\cap R)~&=~f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\setminus \,R)~&=~f^{-1}(L)\setminus \,f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\,\triangle \,R)~&=~f^{-1}(L)\,\triangle \,f^{-1}(R)\\\end{alignedat}}}$$

En palabras, las preimágenes se distribuyen mediante uniones, intersecciones, resta de conjuntos y diferencias simétricas.

Las imágenes sólo preservan las uniones

Imágenes de sindicatos bien educados:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\cup R)~&=~f(L)\cup f(R)\\\end{alignedat}}}$$

pero las imágenes de las demás operaciones básicas del conjunto no lo son , ya que en general solo se garantizan las siguientes:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\cap R)~&\subseteq ~f(L)\cap f(R)\\f(L\setminus R)~&\supseteq ~f(L)\setminus f(R)\\f(L\triangle R)~&\supseteq ~f(L)\,\triangle \,f(R)\\\end{alignedat}}}$$

En otras palabras, las imágenes se distribuyen en uniones, pero no necesariamente en intersecciones, sustracciones de conjuntos o diferencias simétricas. Lo que estas tres últimas operaciones tienen en común es la sustracción de conjuntos: o bien son sustracciones de conjuntos o bien pueden definirse naturalmente como la sustracción de conjuntos de dos conjuntos: ${\displaystyle L\setminus R}$ $${\displaystyle L\cap R=L\setminus (L\setminus R)\quad {\text{ and }}\quad L\triangle R=(L\cup R)\setminus (L\cap R).}$$

Si entonces donde como en el caso más general, la igualdad no está garantizada. Si es sobreyectiva entonces que puede reescribirse como: si y ${\displaystyle L=X}$ ${\displaystyle f(X\setminus R)\supseteq f(X)\setminus f(R)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X\setminus R)~\supseteq ~Y\setminus f(R),}$ ${\displaystyle f\left(R^{\complement }\right)~\supseteq ~f(R)^{\complement }}$ ${\displaystyle R^{\complement }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\setminus R}$ ${\displaystyle f(R)^{\complement }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~Y\setminus f(R).}$

Contraejemplos: imágenes de operaciones que no se distribuyen

Imagen que muestra la falla en la distribución sobre la intersección del conjunto : ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subsetneq f\left(A_{1}\right)\cap f\left(A_{2}\right).}$

El mapa se define por donde denota los números reales . Los conjuntos y se muestran en azul inmediatamente debajo del eje y, mientras que su intersección se muestra en verde . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A_{1}=[-4,2]}$ ${\displaystyle A_{2}=[-2,4]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A_{3}=[-2,2]}$

Si es constante, entonces los cuatro conjuntos que lo contienen son estrictos/propios (es decir, los conjuntos no son iguales) ya que un lado es el conjunto vacío mientras que el otro no lo es. Por lo tanto, la igualdad no está garantizada ni siquiera para las funciones más simples. El ejemplo anterior se generaliza ahora para mostrar que estas cuatro igualdades de conjuntos pueden fallar para cualquier función constante cuyo dominio contenga al menos dos puntos (distintos). ${\displaystyle f:\{1,2\}\to Y}$ ${\displaystyle L=\{1\},}$ ${\displaystyle R=\{2\}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\cap R)~&\subsetneq ~f(L)\cap f(R)\\f(L\setminus R)~&\supsetneq ~f(L)\setminus f(R)\\f(X\setminus R)~&\supsetneq ~f(X)\setminus f(R)\\f(L\triangle R)~&\supsetneq ~f(L)\triangle f(R)\\\end{alignedat}}}$$

Ejemplo :Sea cualquier función constante con imagen y supongamos que son subconjuntos disjuntos no vacíos; es decir, y lo que implica que todos los conjuntos y no están vacíos y por lo tanto, en consecuencia, sus imágenes bajo son todas iguales a ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)=\{y\}}$ ${\displaystyle L,R\subseteq X}$ ${\displaystyle L\neq \varnothing ,R\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle L\cap R=\varnothing ,}$ ${\displaystyle L~\triangle ~R=L\cup R,}$ ${\displaystyle \,L\setminus R=L,}$ ${\displaystyle X\setminus R\supseteq L\setminus R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{y\}.}$

1. La contención es estricta: en palabras: las funciones no pueden distribuirse sobre la resta de conjuntos. ${\displaystyle ~f(L\setminus R)~\supsetneq ~f(L)\setminus f(R)~}$ $${\displaystyle \{y\}~=~f(L\setminus R)~\neq ~f(L)\setminus f(R)~=~\{y\}\setminus \{y\}~=~\varnothing }$$ ${\displaystyle \,\setminus \,}$
2. La contención es estricta: ${\displaystyle ~f(X\setminus R)~\supsetneq ~f(X)\setminus f(R)~}$ $${\displaystyle \{y\}~=~f(X\setminus R)~\neq ~f(X)\setminus f(R)~=~\{y\}\setminus \{y\}~=~\varnothing .}$$
3. La contención es estricta: en palabras: las funciones no pueden distribuirse sobre la diferencia simétrica (que puede definirse como la resta de dos conjuntos: ). ${\displaystyle ~f(L~\triangle ~R)~\supsetneq ~f(L)~\triangle ~f(R)~}$ $${\displaystyle \{y\}~=~f\left(L~\triangle ~R\right)~\neq ~f(L)~\triangle ~f(R)~=~\{y\}\triangle \{y\}~=~\varnothing }$$ ${\displaystyle \,\triangle \,}$ ${\displaystyle L\triangle R=(L\cup R)\setminus (L\cap R)}$
4. La contención es estricta: en palabras: las funciones no pueden distribuirse en la intersección de conjuntos (que puede definirse como la resta de dos conjuntos: ). ${\displaystyle ~f(L\cap R)~\subsetneq ~f(L)\cap f(R)~}$ $${\displaystyle \varnothing ~=~f(\varnothing )~=~f(L\cap R)~\neq ~f(L)\cap f(R)~=~\{y\}\cap \{y\}~=~\{y\}}$$ ${\displaystyle \,\cap \,}$ ${\displaystyle L\cap R=L\setminus (L\setminus R)}$

Lo que las operaciones de conjuntos en estos cuatro ejemplos tienen en común es que o bien son restas de conjuntos (ejemplos (1) y (2)) o bien pueden definirse naturalmente como la resta de conjuntos de dos conjuntos (ejemplos (3) y (4)). ${\displaystyle \setminus }$

Mnemónico : De hecho, para cada una de las cuatro fórmulas de conjuntos anteriores para las que no se garantiza la igualdad, la dirección de la contención (es decir, si se debe usar ) siempre se puede deducir imaginando que la función es constante y los dos conjuntos ( y ) son subconjuntos disjuntos no vacíos de su dominio. Esto se debe a que toda igualdad falla para una función y conjuntos de este tipo: un lado siempre será y el otro no vacío − a partir de este hecho, la elección correcta de se puede deducir respondiendo: "¿qué lado está vacío?" Por ejemplo, para decidir si en debe ser pretender ^{[nota 5]} que es constante y que y son subconjuntos disjuntos no vacíos del dominio de ; entonces el lado izquierdo estaría vacío (ya que ), lo que indica que debería ser (siempre se garantiza que la afirmación resultante es verdadera) porque esta es la elección que hará que sea verdadera. Alternativamente, la dirección correcta de la contención también se puede deducir considerando cualquier constante con y ${\displaystyle \,\subseteq {\text{ or }}\supseteq \,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \,\subseteq {\text{ or }}\supseteq \,}$ ${\displaystyle ?}$ $${\displaystyle f(L\triangle R)\setminus f(R)~\;~?~\;~f((L\triangle R)\setminus R)}$$ ${\displaystyle \,\subseteq {\text{ or }}\supseteq ,\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L\triangle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(L\triangle R)\setminus f(R)=\{f{\text{'s single value}}\}\setminus \{f{\text{'s single value}}\}=\varnothing }$ ${\displaystyle \,?\,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ $${\displaystyle \varnothing ={\text{left hand side}}~\;~?~\;~{\text{right hand side}}}$$ ${\displaystyle f:\{1,2\}\to Y}$ ${\displaystyle L=\{1\}}$ ${\displaystyle R=\{2\}.}$

Además, esta mnemotecnia también se puede utilizar para deducir correctamente si una operación de conjunto siempre se distribuye o no sobre imágenes o preimágenes; por ejemplo, para determinar si siempre es igual o no o, alternativamente, si siempre es igual o no (aunque se utilizó aquí, se puede reemplazar por ). La respuesta a tal pregunta se puede deducir, como antes, considerando esta función constante: la respuesta para el caso general (es decir, para arbitrarios y ) es siempre la misma que la respuesta para esta elección de función (constante) y conjuntos no vacíos disjuntos. ${\displaystyle f(L\cap R)}$ ${\displaystyle f(L)\cap f(R),}$ ${\displaystyle f^{-1}(L\cap R)}$ ${\displaystyle f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)}$ ${\displaystyle \,\cap \,}$ ${\displaystyle \,\cup ,\,\setminus ,{\text{ or }}\,\triangle }$ ${\displaystyle f,L,}$ ${\displaystyle R}$

Condiciones que garantizan que las imágenes se distribuyan en las operaciones establecidas

Caracterizaciones de cuándo se cumple la igualdad para todos los conjuntos :

Para cualquier función las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle f:X\to Y,}$

1. ${\displaystyle f:X\to Y}$es inyectiva​
   • Esto significa: para todos los distintos ${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. ${\displaystyle f(L\cap R)=f(L)\,\cap \,f(R)\,{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.}$(El signo igual se puede reemplazar por ). ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$
3. ${\displaystyle f(L\,\setminus R)=f(L)\,\setminus \,f(R)\;{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.}$(El signo igual se puede reemplazar por ). ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$
4. ${\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus \,f(R)\;{\text{ for all }}\,~~~~~R\subseteq X.}$(El signo igual se puede reemplazar por ). ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$
5. ${\displaystyle f(L\,\triangle \,R)=f(L)\,\triangle \,f(R)\;{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.}$(El signo igual se puede reemplazar por ). ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$
6. Cualquiera de las cuatro afirmaciones (b) a (e), pero sustituyendo las palabras "para todos" por cualquiera de las siguientes:
   1. "para todos los subconjuntos singleton "
      • En particular, la afirmación que resulta de (d) da una caracterización de la inyectividad que involucra explícitamente sólo un punto (en lugar de dos): es inyectiva si y sólo si ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\not \in f(X\setminus \{x\})\;{\text{ for every }}\,x\in X.}$
   2. "para todos los subconjuntos singleton disjuntos "
      • Para la afirmación (d), esto es lo mismo que: "para todos los subconjuntos singleton" (porque la definición de " disjunto por pares " se satisface vacíamente para cualquier familia que consta exactamente de 1 conjunto).
   3. "para todos los subconjuntos disjuntos"

En particular, si no se sabe si un mapa es inyectivo, entonces, salvo información adicional, no hay garantía de que se cumpla alguna de las igualdades de las afirmaciones (b) a (e).

El ejemplo anterior puede utilizarse para ayudar a demostrar esta caracterización. De hecho, la comparación de ese ejemplo con una prueba de este tipo sugiere que el ejemplo es representativo de la razón fundamental por la que una de estas cuatro igualdades en los enunciados (b) a (e) podría no cumplirse (es decir, representativo de "lo que sale mal" cuando una igualdad de conjuntos no se cumple).

Condiciones para f(L⋂R) = f(L)⋂f(R)

$${\displaystyle f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\cap f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds}}}$$

Caracterizaciones de la igualdad : Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle f(L\cap R)~=~f(L)\cap f(R)}$
2. ${\displaystyle f(L\cap R)~\supseteq ~f(L)\cap f(R)}$
3. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))}$
   • El lado izquierdo siempre es igual a (porque siempre se cumple). ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))}$ ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(L)\cap f(R))}$ ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L))}$
4. ${\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))}$
5. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~=~f^{-1}(f(L\cap R))\cap L}$
6. ${\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~=~f^{-1}(f(L\cap R))\cap R}$
7. Si satisface entonces ${\displaystyle l\in L}$ ${\displaystyle f(l)\in f(R)}$ ${\displaystyle f(l)\in f(L\cap R).}$
8. Si pero entonces ${\displaystyle y\in f(L)}$ ${\displaystyle y\notin f(L\cap R)}$ ${\displaystyle y\notin f(R).}$
9. ${\displaystyle f(L)\,\setminus \,f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\,\setminus \,f(R)}$
10. ${\displaystyle f(R)\,\setminus \,f(L\cap R)~\subseteq ~f(R)\,\setminus \,f(L)}$
11. ${\displaystyle f(L\cup R)\setminus f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\,\triangle \,f(R)}$
12. Cualquiera de las tres condiciones anteriores (i) - (k) pero con el símbolo de subconjunto reemplazado por un signo igual ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \,=.\,}$

Condiciones suficientes para la igualdad : La igualdad se cumple si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle f}$es inyectiva. ^[7]
2. La restricción es inyectiva. ${\displaystyle f{\big \vert }_{L\cup R}}$
3. ${\displaystyle f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R}$^{[nota 6]}
4. ${\displaystyle f^{-1}(f(L))~\subseteq ~L}$
5. ${\displaystyle R}$está -saturado; es decir, ^{[nota 6]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(R))=R}$
6. ${\displaystyle L}$está -saturado; es decir, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(L))=L}$
7. ${\displaystyle f(L)~\subseteq ~f(L\cap R)}$
8. ${\displaystyle f(R)~\subseteq ~f(L\cap R)}$
9. ${\displaystyle f(L\,\setminus \,R)~\subseteq ~f(L)\setminus \,f(R)}$o equivalentemente, ${\displaystyle f(L\,\setminus \,R)~=~f(L)\setminus f(R)}$
10. ${\displaystyle f(R\,\setminus \,L)~\subseteq ~f(R)\setminus \,f(L)}$o equivalentemente, ${\displaystyle f(R\,\setminus \,L)~=~f(R)\setminus f(L)}$
11. ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)}$o equivalentemente, ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)}$
12. ${\displaystyle R\cap \operatorname {domain} f\,\subseteq L}$
13. ${\displaystyle L\cap \operatorname {domain} f\,\subseteq R}$
14. ${\displaystyle R\subseteq L}$
15. ${\displaystyle L\subseteq R}$

Además, siempre se cumple lo siguiente: $${\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\cap R\right)~=~L\cap f(R)}$$ $${\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\cup R\right)~=~(L\cap \operatorname {Im} f)\cup f(R)}$$

Condiciones para f(L\R) = f(L)\f(R)

$${\displaystyle f(L\setminus R)~\supseteq ~f(L)\setminus f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds}}}$$

Caracterizaciones de la igualdad : Las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^{[prueba 1]}

1. ${\displaystyle f(L\setminus R)~=~f(L)\setminus f(R)}$
2. ${\displaystyle f(L\setminus R)~\subseteq ~f(L)\setminus f(R)}$
3. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R}$
4. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~=~L\cap R\cap \operatorname {domain} f}$
5. Cuando sea entonces ${\displaystyle y\in f(L)\cap f(R)}$ ${\displaystyle L\cap f^{-1}(y)\subseteq R.}$
6. ${\textstyle f(L)\cap f(R)~\subseteq ~\left\{y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$
   • El conjunto del lado derecho siempre es igual a ${\displaystyle \left\{y\in f(L\cap R):L\cap f^{-1}(y)\,\subseteq R\right\}.}$
7. ${\textstyle f(L)\cap f(R)~=~\left\{y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$
   • Esta es la condición anterior (f) pero con el símbolo de subconjunto reemplazado por un signo igual ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \,=.\,}$

Condiciones necesarias para la igualdad (excluyendo caracterizaciones): Si se cumple la igualdad, entonces son necesariamente verdaderas las siguientes:

1. ${\displaystyle f(L\cap R)=f(L)\cap f(R),}$o equivalentemente ${\displaystyle f(L\cap R)\supseteq f(L)\cap f(R).}$
2. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~=~L\cap f^{-1}(f(L\cap R))}$o equivalentemente, ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))}$
3. ${\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))}$

Condiciones suficientes para la igualdad : La igualdad se cumple si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle f}$es inyectiva.
2. La restricción es inyectiva. ${\displaystyle f{\big \vert }_{L\cup R}}$
3. ${\displaystyle f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R}$^{[nota 6]} o equivalentemente, ${\displaystyle R\cap \operatorname {domain} f~=~f^{-1}(f(R))}$
4. ${\displaystyle R}$está -saturado; es decir, ^{[nota 6]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R=f^{-1}(f(R)).}$
5. ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)}$o equivalentemente, ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)}$

Condiciones para f(X\R) = f(X)\f(R)

$${\displaystyle f(X\setminus R)~\supseteq ~f(X)\setminus f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds, where }}f:X\to Y}$$

Caracterizaciones de la igualdad : Las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^{[prueba 1]}

1. ${\displaystyle f(X\setminus R)~=~f(X)\setminus f(R)}$
2. ${\displaystyle f(X\setminus R)~\subseteq ~f(X)\setminus f(R)}$
3. ${\displaystyle f^{-1}(f(R))\,\subseteq \,R}$
4. ${\displaystyle f^{-1}(f(R))\,=\,R\cap \operatorname {domain} f}$
5. ${\displaystyle R\cap \operatorname {domain} f}$está -saturado. ${\displaystyle f}$
6. Cuando sea entonces ${\displaystyle y\in f(R)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq R.}$
7. ${\textstyle f(R)~\subseteq ~\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$
8. ${\textstyle f(R)~=~\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$

   donde si entonces esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle R\subseteq \operatorname {domain} f}$

9. ${\displaystyle R}$está -saturado; es decir, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R=f^{-1}(f(R)).}$

Condiciones suficientes para la igualdad : La igualdad se cumple si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle f}$es inyectiva.
2. ${\displaystyle R}$está -saturado; es decir, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R=f^{-1}(f(R)).}$

Condiciones para f(L∆R) = f(L)∆f(R)

$${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)~\supseteq ~f(L)~\triangle ~f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds}}}$$

Caracterizaciones de la igualdad : Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)}$
2. ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)}$
3. ${\displaystyle f(L\,\setminus \,R)=f(L)\,\setminus \,f(R)}$  y  ${\displaystyle f(R\,\setminus \,L)=f(R)\,\setminus \,f(L)}$
4. ${\displaystyle f(L\,\setminus \,R)\subseteq f(L)\,\setminus \,f(R)}$  y  ${\displaystyle f(R\,\setminus \,L)\subseteq f(R)\,\setminus \,f(L)}$
5. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R}$  y  ${\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~\subseteq ~L}$
   • Las inclusiones y siempre aguantan. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L))}$ ${\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~\subseteq ~f^{-1}(f(R))}$
6. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~=~R\cap f^{-1}(f(L))}$
   • Si se cumple esta igualdad de conjuntos anterior, entonces este conjunto también será igual a ambos y ${\displaystyle L\cap R\cap \operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle L\cap R\cap f^{-1}(f(L\cap R)).}$
7. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(L\cap R))~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))}$  y  ${\displaystyle f(L\cap R)~\supseteq ~f(L)\cap f(R).}$

Condiciones necesarias para la igualdad (excluyendo caracterizaciones): Si se cumple la igualdad, entonces son necesariamente verdaderas las siguientes:

1. ${\displaystyle f(L\cap R)=f(L)\cap f(R),}$o equivalentemente ${\displaystyle f(L\cap R)\supseteq f(L)\cap f(R).}$
2. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(L\cap R))~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))}$

Condiciones suficientes para la igualdad : La igualdad se cumple si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle f}$es inyectiva.
2. La restricción es inyectiva. ${\displaystyle f{\big \vert }_{L\cup R}}$

Fórmulas/igualdades exactas para imágenes de operaciones de conjuntos

Fórmulas para f(L\R) =

Para cualquier función y cualquier conjunto y ^{[prueba 2]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\setminus R)&=Y~~~\;\,\,\setminus \left\{y\in Y~~~~~~~~~~\;\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L)~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in V~~~~~~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(L\cap R)\\[0.4ex]&=f(S)\setminus \left\{y\in f(S)~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad S\supseteq L\cap X.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Fórmulas para f(X\R) =

Tomando las fórmulas anteriores se obtiene: donde el conjunto es igual a la imagen del subconjunto más grande saturado de ${\displaystyle L:=X=\operatorname {domain} f}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(X\setminus R)&=Y~~~\;\,\,\setminus \left\{y\in Y~~~~\;\,\,:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in f(X)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in W~~~\;\,\,:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad {\text{ for any superset }}\quad W\supseteq f(R)\\[0.4ex]\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R.}$

• En general, sólo siempre se cumple y la igualdad no está garantizada; pero al reemplazar " " con su subconjunto " " se obtiene una fórmula en la que la igualdad siempre está garantizada: De esto se sigue que: ^{[prueba 1]} ${\displaystyle f(X\setminus R)\,\supseteq \,f(X)\setminus f(R)}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle \left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$ $${\displaystyle f(X\setminus R)\,=\,f(X)\setminus \left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}.}$$ $${\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus f(R)\quad {\text{ if and only if }}\quad f(R)=\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\quad {\text{ if and only if }}\quad f^{-1}(f(R))\subseteq R.}$$
• Si entonces, que se puede escribir de forma más simétrica como (ya que ). ${\displaystyle f_{R}:=\left\{y\in f(X):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$ ${\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus f_{R},}$ ${\displaystyle f(X\setminus R)=f_{X}\setminus f_{R}}$ ${\displaystyle f_{X}=f(X)}$

Fórmulas para f(L∆R) =

De las fórmulas anteriores para la imagen de una resta de conjuntos se deduce que para cualquier función y cualquier conjunto y ${\displaystyle L\,\triangle \,R=(L\cup R)\setminus (L\cap R)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\,\triangle \,R)&=Y~~~\;~~~\;~~~\;\setminus \left\{y\in Y~~~\,~~~\;~~~\,~~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in f(L\cup R)~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in V~~~\,~~~~~~~~~~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(L\cap R)\\[0.4ex]&=f(S)~~\,~~~\,~\,\setminus \left\{y\in f(S)~~~\,~~~\;~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad S\supseteq (L\cup R)\cap X.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Fórmulas para f(L) =

De las fórmulas anteriores para la imagen de una resta de conjuntos se deduce que para cualquier función y cualquier conjunto ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle L,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L)&=Y~~~\;\,\setminus \left\{y\in Y~~~\;\,~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\\[0.4ex]&=\operatorname {Im} f\setminus \left\{y\in \operatorname {Im} f~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\\[0.4ex]&=W~~~\,\setminus \left\{y\in W~~\;\,~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\qquad {\text{ for any superset }}\quad W\supseteq f(L)\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Esto se ve más fácilmente como una consecuencia del hecho de que para cualquier si y sólo si ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\cap L=\varnothing }$ ${\displaystyle y\not \in f(L).}$

Fórmulas para f(L⋂R) =

De las fórmulas anteriores para la imagen de un conjunto se deduce que para cualquier función y cualquier conjunto y donde además, para cualquier ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\cap R)&=Y~~~~~\setminus \left\{y\in Y~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in U~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad U\supseteq f(L)\\[0.4ex]&=f(R)\setminus \left\{y\in f(R)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(R)\setminus \left\{y\in V~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(R)\\[0.4ex]&=f(L)\cap f(R)\setminus \left\{y\in f(L)\cap f(R)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle y\in Y,}$

${\displaystyle L\cap f^{-1}(y)\subseteq L\setminus R~}$si y solo si si y solo si si y solo si ${\displaystyle ~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing ~}$ ${\displaystyle ~R\cap f^{-1}(y)\subseteq R\setminus L~}$ ${\displaystyle ~y\not \in f(L\cap R).}$

Los conjuntos y mencionados anteriormente podrían, en particular, ser cualquiera de los conjuntos o por ejemplo. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(L\cup R),\;\operatorname {Im} f,}$ ${\displaystyle Y,}$

(Pre)imágenes de operaciones de conjuntos sobre (pre)imágenes

Sean y conjuntos arbitrarios, cualquier mapa, y sean y ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y.}$

(Pre)Imágenes de operaciones sobre imágenes

Desde ${\displaystyle f(L)\setminus f(L\setminus R)~=~\left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(f(L)\setminus f(L\setminus R))&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\right)\\&=&&\left\{x\in f^{-1}(f(L\cap R))~:~L\cap f^{-1}(f(x))\subseteq R\right\}\\\end{alignedat}}}$$

Desde ${\displaystyle f(X)\setminus f(L\setminus R)~=~\left\{y\in f(X)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y\setminus f(L\setminus R))&~=~&&f^{-1}(f(X)\setminus f(L\setminus R))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(X)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\right)\\&=&&\left\{x\in X~:~L\cap f^{-1}(f(x))\subseteq R\right\}\\&~=~&&X\setminus f^{-1}(f(L\setminus R))\\\end{alignedat}}}$$

Usando esto se convierte en y y así ${\displaystyle L:=X,}$ ${\displaystyle ~f(X)\setminus f(X\setminus R)~=~\left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}~}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y\setminus f(X\setminus R))&~=~&&f^{-1}(f(X)\setminus f(X\setminus R))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\right)\\&=&&\left\{r\in R\cap X~:~f^{-1}(f(r))\subseteq R\right\}\\&\subseteq &&R\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y\setminus f(L))&~=~&&f^{-1}(f(X)\setminus f(L))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(X\setminus L)~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\right)\\&=&&\{x\in X\setminus L~:~f(x)\not \in f(L)\}\\&=&&X\setminus f^{-1}(f(L))\\&\subseteq &&X\setminus L\\\end{alignedat}}}$$

(Pre)Imágenes y productos cartesianos Π

Sea y para cada let la proyección canónica sobre ${\displaystyle \prod Y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{j\in J}Y_{j}}$ ${\displaystyle k\in J,}$ $${\displaystyle \pi _{k}~:~\prod _{j\in J}Y_{j}~\to ~Y_{k}}$$ ${\displaystyle Y_{k}.}$

Definiciones

Dada una colección de mapas indexados por define el mapa que también se denota por Este es el único mapa que satisface ${\displaystyle F_{j}:X\to Y_{j}}$ ${\displaystyle j\in J,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(F_{j}\right)_{j\in J}:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{j\in J}Y_{j}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(F_{j}\left(x_{j}\right)\right)_{j\in J},\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle F_{\bullet }=\left(F_{j}\right)_{j\in J}.}$ $${\displaystyle \pi _{j}\circ F_{\bullet }=F_{j}\quad {\text{ for all }}j\in J.}$$

Por el contrario, si se da un mapa entonces Explícitamente, lo que esto significa es que si se define para cada entonces el único mapa que satisface: para todos o dicho más brevemente, $${\displaystyle F~:~X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}}$$ ${\displaystyle F=\left(\pi _{j}\circ F\right)_{j\in J}.}$ $${\displaystyle F_{k}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{k}\circ F~:~X~\to ~Y_{k}}$$ ${\displaystyle k\in J,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \pi _{j}\circ F=F_{j}}$ ${\displaystyle j\in J;}$ ${\displaystyle F=\left(F_{j}\right)_{j\in J}.}$

El mapa no debe confundirse con el producto cartesiano de estos mapas, que por definición es el mapa con dominio en lugar de ${\displaystyle F_{\bullet }=\left(F_{j}\right)_{j\in J}~:~X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}}$ ${\displaystyle \prod _{j\in J}F_{j}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\prod _{j\in J}F_{j}:\;&&\prod _{j\in J}X&&~\;\to \;~&\prod _{j\in J}Y_{j}\\[0.3ex]&&\left(x_{j}\right)_{j\in J}&&~\;\mapsto \;~&\left(F_{j}\left(x_{j}\right)\right)_{j\in J}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \prod _{j\in J}X=X^{J}}$ ${\displaystyle X.}$

Preimagen e imágenes de un producto cartesiano

Suponer ${\displaystyle F_{\bullet }=\left(F_{j}\right)_{j\in J}~:~X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}.}$

Si entonces ${\displaystyle A~\subseteq ~X}$ $${\displaystyle F_{\bullet }(A)~~\;\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}\;~~\prod _{j\in J}F_{j}(A).}$$

Si entonces donde se mantendrá la igualdad si en cuyo caso y ${\displaystyle B~\subseteq ~\prod _{j\in J}Y_{j}}$ $${\displaystyle F_{\bullet }^{-1}(B)~~\;\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}\;~~\bigcap _{j\in J}F_{j}^{-1}\left(\pi _{j}(B)\right)}$$ ${\displaystyle B=\prod _{j\in J}\pi _{j}(B),}$ ${\textstyle F_{\bullet }^{-1}(B)=\displaystyle \bigcap _{j\in J}F_{j}^{-1}\left(\pi _{j}(B)\right)}$

For equality to hold, it suffices for there to exist a family ${\displaystyle \left(B_{j}\right)_{j\in J}}$ of subsets ${\displaystyle B_{j}\subseteq Y_{j}}$ such that ${\displaystyle B=\prod _{j\in J}B_{j},}$ in which case:

and ${\displaystyle \pi _{j}(B)=B_{j}}$ for all ${\displaystyle j\in J.}$

(Pre)Image of a single set

Containments ⊆ and intersections ⋂ of images and preimages

Equivalences and implications of images and preimages

Intersection of a set and a (pre)image

The following statements are equivalent:

1. ${\displaystyle \varnothing =f(L)\cap R}$
2. ${\displaystyle \varnothing =L\cap f^{-1}(R)}$^[5]
3. ${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(f(L))\cap f^{-1}(R)}$
4. ${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(f(L)\cap R)}$

Thus for any ${\displaystyle t,}$^[5] $${\displaystyle t\not \in f(L)\quad {\text{ if and only if }}\quad L\cap f^{-1}(t)=\varnothing .}$$

Sequences and collections of families of sets

Definitions

A family of sets or simply a family is a set whose elements are sets. A family over ${\displaystyle X}$ is a family of subsets of ${\displaystyle X.}$

The power set of a set ${\displaystyle X}$ is the set of all subsets of ${\displaystyle X}$: $${\displaystyle \wp (X)~\colon =~\{\;S~:~S\subseteq X\;\}.}$$

Notation for sequences of sets

Throughout, ${\displaystyle S{\text{ and }}T}$ will be arbitrary sets and ${\displaystyle S_{\bullet }}$ and will denote a net or a sequence of sets where if it is a sequence then this will be indicated by either of the notations $${\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\qquad {\text{ or }}\qquad S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$$where ${\displaystyle \mathbb {N} }$ denotes the natural numbers. A notation ${\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ indicates that ${\displaystyle S_{\bullet }}$ is a net directed by ${\displaystyle (I,\leq ),}$ which (by definition) is a sequence if the set ${\displaystyle I,}$ which is called the net's indexing set, is the natural numbers (that is, if ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$) and ${\displaystyle \,\leq \,}$ is the natural order on ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

Disjoint and monotone sequences of sets

If ${\displaystyle S_{i}\cap S_{j}=\varnothing }$ for all distinct indices ${\displaystyle i\neq j}$ then ${\displaystyle S_{\bullet }}$ is called a pairwise disjoint or simply a disjoint. A sequence or net ${\displaystyle S_{\bullet }}$ of set is called increasing or non-decreasing if (resp. decreasing or non-increasing) if for all indices ${\displaystyle i\leq j,}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$ (resp. ${\displaystyle S_{i}\supseteq S_{j}}$). A sequence or net ${\displaystyle S_{\bullet }}$ of set is called strictly increasing (resp. strictly decreasing) if it is non-decreasing (resp. is non-increasing) and also ${\displaystyle S_{i}\neq S_{j}}$ for all distinct indices ${\displaystyle i{\text{ and }}j.}$ It is called monotone if it is non-decreasing or non-increasing and it is called strictly monotone if it is strictly increasing or strictly decreasing.

A sequences or net ${\displaystyle S_{\bullet }}$ is said to increase to ${\displaystyle S,}$ denoted by ${\displaystyle S_{\bullet }\uparrow S}$^[11] or ${\displaystyle S_{\bullet }\nearrow S,}$ if ${\displaystyle S_{\bullet }}$ is increasing and the union of all ${\displaystyle S_{i}}$ is ${\displaystyle S;}$ that is, if $${\displaystyle \bigcup _{n}S_{n}=S\qquad {\text{ and }}\qquad S_{i}\subseteq S_{j}\quad {\text{ whenever }}i\leq j.}$$It is said to decrease to ${\displaystyle S,}$ denoted by ${\displaystyle S_{\bullet }\downarrow S}$^[11] or ${\displaystyle S_{\bullet }\searrow S,}$ if ${\displaystyle S_{\bullet }}$ is increasing and the intersection of all ${\displaystyle S_{i}}$ is ${\displaystyle S}$ that is, if $${\displaystyle \bigcap _{n}S_{n}=S\qquad {\text{ and }}\qquad S_{i}\supseteq S_{j}\quad {\text{ whenever }}i\leq j.}$$

Definitions of elementwise operations on families

If ${\displaystyle {\mathcal {L}}{\text{ and }}{\mathcal {R}}}$ are families of sets and if ${\displaystyle S}$ is any set then define:^[12] $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\cup R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\cap R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\setminus )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\setminus R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\triangle )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\;\triangle \;R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}{\big \vert }_{S}~\colon =~\{L\cap S~:~L\in {\mathcal {L}}\}={\mathcal {L}}\;(\cap )\;\{S\}}$$which are respectively called elementwise union, elementwise intersection, elementwise (set) difference, elementwise symmetric difference, and the trace/restriction of ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ to ${\displaystyle S.}$ The regular union, intersection, and set difference are all defined as usual and are denoted with their usual notation: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {R}},{\mathcal {L}}\cap {\mathcal {R}},{\mathcal {L}}\;\triangle \;{\mathcal {R}},}$ and ${\displaystyle {\mathcal {L}}\setminus {\mathcal {R}},}$ respectively. These elementwise operations on families of sets play an important role in, among other subjects, the theory of filters and prefilters on sets.

The upward closure in ${\displaystyle X}$ of a family ${\displaystyle {\mathcal {L}}\subseteq \wp (X)}$ is the family: $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow X}~\colon =~\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}\{\;S~:~L\subseteq S\subseteq X\;\}~=~\{\;S\subseteq X~:~{\text{ there exists }}L\in {\mathcal {L}}{\text{ such that }}L\subseteq S\;\}}$$ and the downward closure of ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is the family: $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\downarrow }~\colon =~\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}\wp (L)~=~\{\;S~:~{\text{ there exists }}L\in {\mathcal {L}}{\text{ such that }}S\subseteq L\;\}.}$$

Definitions of categories of families of sets

The following table lists some well-known categories of families of sets having applications in general topology and measure theory.

A family ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is called isotone, ascending, or upward closed in ${\displaystyle X}$ if ${\displaystyle {\mathcal {L}}\subseteq \wp (X)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}^{\uparrow X}.}$^[12] A family ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is called downward closed if ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}^{\downarrow }.}$

A family ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is said to be:

• closed under finite intersections (resp. closed under finite unions) if whenever ${\displaystyle L,R\in {\mathcal {L}}}$ then ${\displaystyle L\cap R\in {\mathcal {L}}}$ (respectively, ${\displaystyle L\cup R\in {\mathcal {L}}}$).
• closed under countable intersections (resp. closed under countable unions) if whenever ${\displaystyle L_{1},L_{2},L_{3},\ldots }$ are elements of ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ then so is their intersections ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }L_{i}:=L_{1}\cap L_{2}\cap L_{3}\cap \cdots }$ (resp. so is their union ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }L_{i}:=L_{1}\cup L_{2}\cup L_{3}\cup \cdots }$).
• closed under complementation in (or with respect to) ${\displaystyle X}$ if whenever ${\displaystyle L\in {\mathcal {L}}}$ then ${\displaystyle X\setminus L\in {\mathcal {L}}.}$

A family ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ of sets is called a/an:

• π−system if ${\displaystyle {\mathcal {L}}\neq \varnothing }$ and ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is closed under finite-intersections.
  • Every non-empty family ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is contained in a unique smallest (with respect to ${\displaystyle \subseteq }$) π−system that is denoted by ${\displaystyle \pi ({\mathcal {L}})}$ and called the π−system generated by ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$
• filter subbase and is said to have the finite intersection property if ${\displaystyle {\mathcal {L}}\neq \varnothing }$ and ${\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {L}}).}$
• filter on ${\displaystyle X}$ if ${\displaystyle {\mathcal {L}}\neq \varnothing }$ is a family of subsets of ${\displaystyle X}$ that is a π−system, is upward closed in ${\displaystyle X,}$ and is also proper, which by definition means that it does not contain the empty set as an element.
• prefilter or filter base if it is a non-empty family of subsets of some set ${\displaystyle X}$ whose upward closure in ${\displaystyle X}$ is a filter on ${\displaystyle X.}$
• algebra on ${\displaystyle X}$ is a non-empty family of subsets of ${\displaystyle X}$ that contains the empty set, forms a π−system, and is also closed under complementation with respect to ${\displaystyle X.}$
• σ-algebra on ${\displaystyle X}$ is an algebra on ${\displaystyle X}$ that is closed under countable unions (or equivalently, closed under countable intersections).

Sequences of sets often arise in measure theory.

Algebra of sets

A family ${\displaystyle \Phi }$ of subsets of a set ${\displaystyle X}$ is said to be an algebra of sets if ${\displaystyle \varnothing \in \Phi }$ and for all ${\displaystyle L,R\in \Phi ,}$ all three of the sets ${\displaystyle X\setminus R,\,L\cap R,}$ and ${\displaystyle L\cup R}$ are elements of ${\displaystyle \Phi .}$^[13] The article on this topic lists set identities and other relationships these three operations.

Every algebra of sets is also a ring of sets^[13] and a π-system.

Algebra generated by a family of sets

Given any family ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ of subsets of ${\displaystyle X,}$ there is a unique smallest^{[note 7]} algebra of sets in ${\displaystyle X}$ containing ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$^[13] It is called the algebra generated by ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ and it will be denote it by ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}.}$ This algebra can be constructed as follows:^[13]

1. If ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\varnothing }$ then ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}=\{\varnothing ,X\}}$ and we are done. Alternatively, if ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ is empty then ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ may be replaced with ${\displaystyle \{\varnothing \},\{X\},{\text{ or }}\{\varnothing ,X\}}$ and continue with the construction.
2. Let ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$ be the family of all sets in ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ together with their complements (taken in ${\displaystyle X}$).
3. Let ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ be the family of all possible finite intersections of sets in ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}.}$^{[note 8]}
4. Then the algebra generated by ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ is the set ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}}$ consisting of all possible finite unions of sets in ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}.}$

Elementwise operations on families

Let ${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}},}$ and ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ be families of sets over ${\displaystyle X.}$ On the left hand sides of the following identities, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is the L eft most family, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ is in the M iddle, and ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ is the R ight most set.

Commutativity:^[12] $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {R}}\;(\cup )\;{\mathcal {L}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {R}}\;(\cap )\;{\mathcal {L}}}$$

Associativity:^[12] $${\displaystyle [{\mathcal {L}}\;(\cup )\;{\mathcal {M}}]\;(\cup )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {L}}\;(\cup )\;[{\mathcal {M}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}]}$$ $${\displaystyle [{\mathcal {L}}\;(\cap )\;{\mathcal {M}}]\;(\cap )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {L}}\;(\cap )\;[{\mathcal {M}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}]}$$

Identity: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cup )\;\{\varnothing \}={\mathcal {L}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cap )\;\{X\}={\mathcal {L}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\setminus )\;\{\varnothing \}={\mathcal {L}}}$$

Domination: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cup )\;\{X\}=\{X\}~~~~{\text{ if }}{\mathcal {L}}\neq \varnothing }$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cap )\;\{\varnothing \}=\{\varnothing \}~~~~{\text{ if }}{\mathcal {L}}\neq \varnothing }$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cup )\;\varnothing =\varnothing }$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cap )\;\varnothing =\varnothing }$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\setminus )\;\varnothing =\varnothing }$$ $${\displaystyle \varnothing \;(\setminus )\;{\mathcal {R}}=\varnothing }$$

Power set

$${\displaystyle \wp (L\cap R)~=~\wp (L)\cap \wp (R)}$$ $${\displaystyle \wp (L\cup R)~=~\wp (L)\ (\cup )\ \wp (R)~\supseteq ~\wp (L)\cup \wp (R).}$$

If ${\displaystyle L}$ and ${\displaystyle R}$ are subsets of a vector space ${\displaystyle X}$ and if ${\displaystyle s}$ is a scalar then $${\displaystyle \wp (sL)~=~s\wp (L)}$$ $${\displaystyle \wp (L+R)~\supseteq ~\wp (L)+\wp (R).}$$

Sequences of sets

Suppose that ${\displaystyle L}$ is any set such that ${\displaystyle L\supseteq R_{i}}$ for every index ${\displaystyle i.}$ If ${\displaystyle R_{\bullet }}$ decreases to ${\displaystyle R}$ then ${\displaystyle L\setminus R_{\bullet }:=\left(L\setminus R_{i}\right)_{i}}$ increases to ${\displaystyle L\setminus R}$^[11] whereas if instead ${\displaystyle R_{\bullet }}$ increases to ${\displaystyle R}$ then ${\displaystyle L\setminus R_{\bullet }}$ decreases to ${\displaystyle L\setminus R.}$

If ${\displaystyle L{\text{ and }}R}$ are arbitrary sets and if ${\displaystyle L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i}}$ increases (resp. decreases) to ${\displaystyle L}$ then ${\displaystyle \left(L_{i}\setminus R\right)_{i}}$ increase (resp. decreases) to ${\displaystyle L\setminus R.}$

Partitions

Suppose that ${\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is any sequence of sets, that ${\displaystyle S\subseteq \bigcup _{i}S_{i}}$ is any subset, and for every index ${\displaystyle i,}$ let ${\displaystyle D_{i}=\left(S_{i}\cap S\right)\setminus \bigcup _{m=1}^{i}\left(S_{m}\cap S\right).}$ Then ${\displaystyle S=\bigcup _{i}D_{i}}$ and ${\displaystyle D_{\bullet }:=\left(D_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a sequence of pairwise disjoint sets.^[11]

Suppose that ${\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is non-decreasing, let ${\displaystyle S_{0}=\varnothing ,}$ and let ${\displaystyle D_{i}=S_{i}\setminus S_{i-1}}$ for every ${\displaystyle i=1,2,\ldots .}$ Then ${\displaystyle \bigcup _{i}S_{i}=\bigcup _{i}D_{i}}$ and ${\displaystyle D_{\bullet }=\left(D_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a sequence of pairwise disjoint sets.^[11]

See also

• Algebra of sets – Identities and relationships involving sets
• Complement (set theory) – Set of the elements not in a given subset
• Image (mathematics)#Properties – Set of the values of a function
• Inclusion–exclusion principle – Counting technique in combinatorics
• Intersection (set theory) – Set of elements common to all of some sets
• List of mathematical identities
• Naive set theory – Informal set theories
• Pigeonhole principle – If there are more items than boxes holding them, one box must contain at least two items
• Set (mathematics) – Collection of mathematical objects
• Simple theorems in the algebra of sets
• Symmetric difference (set theory) – Elements in exactly one of two setsPages displaying short descriptions of redirect targets
• Union (set theory) – Set of elements in any of some sets

Notes

Notes

1. For example, the expression ${\displaystyle (M\setminus R)\setminus A}$ uses two of the same symbols ( ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle R}$) that appear in the identity $${\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R~=~(L\,\setminus \,R)\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)}$$but they refer to different sets in each expression. To apply this identity to ${\displaystyle (M\setminus R)\setminus A,}$ substitute ${\displaystyle {\text{Left set}}:=M,\;}$ ${\displaystyle {\text{Middle set}}:=R,\;}$ and ${\displaystyle {\text{Right set}}:=A}$ (since these are the left, middle, and right sets in ${\displaystyle (M\setminus R)\setminus A}$) to obtain: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(M\setminus R)\setminus A&=({\text{Left set }}&&\setminus {\text{Right set}}&&)&&\setminus ({\text{Middle set }}&&\setminus {\text{Right set}})\\&=(M&&\setminus A&&)&&\setminus (R&&\setminus A).\\\end{alignedat}}}$$For a second example, this time applying the identity to ${\displaystyle ((M\cap R\setminus L)\setminus (A\triangle L))\setminus L,}$ is now given. The identity ${\textstyle (L\setminus M)\setminus R=(L\setminus R)\setminus (M\setminus R)}$ can be applied to ${\displaystyle ((M\cap R\setminus L)\setminus (A\triangle L))\setminus L}$ by reading ${\displaystyle L,M,}$ and ${\displaystyle R}$ as ${\displaystyle {\text{Left}},{\text{Middle}},}$ and ${\displaystyle {\text{Right}}}$ and then substituting ${\displaystyle {\text{Left}}=(M\cap R\setminus L),}$ ${\displaystyle {\text{Middle}}=(A\triangle L),}$ and ${\displaystyle {\text{Right}}=L}$ to obtain: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}((M\cap R\setminus L)\setminus (A\triangle L))\setminus L&=({\text{Left }}&&\setminus {\text{Right}}&&)&&\setminus ({\text{Middle }}&&\setminus {\text{Right}})\\&=((M\cap R\setminus L)&&\setminus L&&)&&\setminus ((A\triangle L)&&\setminus L).\\\end{alignedat}}}$$
2. To deduce Eq. 2c from Eq. 2a, it must still be shown that ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}}\left(L_{i}\cup R_{j}\right)~=~{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\left(L_{i}\cup R_{i}\right)}$ so Eq. 2c is not a completely immediate consequence of Eq. 2a. (Compare this to the commentary about Eq. 3b).
3. So for instance, it's even possible that ${\displaystyle L\cap (X\cup Y)=\varnothing ,}$ or that ${\displaystyle L\cap X\neq \varnothing }$ and ${\displaystyle L\cap Y\neq \varnothing }$ (which happens, for instance, if ${\displaystyle X=Y}$), etc.
4. The conclusion ${\displaystyle X\setminus f^{-1}(R)=f^{-1}(Y\setminus R)}$ can also be written as: ${\displaystyle f^{-1}(R)^{\complement }~=~f^{-1}\left(R^{\complement }\right).}$
5. Whether or not it is even feasible for the function ${\displaystyle f}$ to be constant and the sets ${\displaystyle L\triangle R}$ and ${\displaystyle R}$ to be non-empty and disjoint is irrelevant for reaching the correct conclusion about whether to use ${\displaystyle \,\subseteq {\text{ or }}\supseteq .\,}$
6. Note that this condition depends entirely on ${\displaystyle R}$ and not on ${\displaystyle L.}$
7. Here "smallest" means relative to subset containment. So if ${\displaystyle \Phi }$ is any algebra of sets containing ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$ then ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}\subseteq \Phi .}$
8. Since ${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing ,}$ there is some ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}_{0}}$ such that its complement also belongs to ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}.}$ The intersection of these two sets implies that ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}_{1}.}$ The union of these two sets is equal to ${\displaystyle X,}$ which implies that ${\displaystyle X\in \Phi _{\mathcal {S}}.}$

Proofs

1. Let ${\displaystyle f_{R}:=\left\{y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$ where because ${\displaystyle f_{R}\subseteq f(R\cap L),}$ ${\displaystyle f_{R}}$ is also equal to ${\displaystyle f_{R}=\left\{y\in f(R\cap L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}.}$ As proved above, ${\displaystyle f(L\setminus R)=f(L)\setminus f_{R}}$ so that ${\displaystyle f(L)\setminus f(R)=f(L\setminus R)}$ if and only if ${\displaystyle f(L)\setminus f(R)=f(L)\setminus f_{R}.}$ Since ${\displaystyle f(L)\setminus f(R)=f(L)\setminus (f(L)\cap f(R)),}$ this happens if and only if ${\displaystyle f(L)\setminus (f(L)\cap f(R))=f(L)\setminus f_{R}.}$ Because ${\displaystyle f(L)\cap f(R){\text{ and }}f_{R}}$ are both subsets of ${\displaystyle f(L),}$ the condition on the right hand side happens if and only if ${\displaystyle f(L)\cap f(R)=f_{R}.}$ Because ${\displaystyle f_{R}\subseteq f(R\cap L)\subseteq f(L)\cap f(R),}$ the equality ${\displaystyle f(L)\cap f(R)=f_{R}}$ holds if and only if ${\displaystyle f(L)\cap f(R)\subseteq f_{R}.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ If ${\displaystyle f(R)\subseteq f(L)}$ (such as when ${\displaystyle L=X}$ or ${\displaystyle R\subseteq L}$) then ${\displaystyle f(L)\cap f(R)\subseteq f_{R}}$ if and only if ${\displaystyle f(R)\subseteq f_{R}.}$ In particular, taking ${\displaystyle L=X}$ proves: ${\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus f(R)}$ if and only if ${\displaystyle f(R)\subseteq \left\{y\in f(R\cap X):f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$ where ${\displaystyle f(R\cap X)=f(R).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Let ${\displaystyle P:=\left\{y\in Y:L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$ and let ${\displaystyle (\star )}$ denote the set equality ${\displaystyle f(L\setminus R)=Y\setminus P,}$ which will now be proven. If ${\displaystyle y\in Y\setminus P}$ then ${\displaystyle L\cap f^{-1}(y)\not \subseteq R}$ so there exists some ${\displaystyle x\in L\cap f^{-1}(y)\setminus R;}$ now ${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq X}$ implies ${\displaystyle x\in L\cap X\setminus R}$ so that ${\displaystyle y=f(x)\in f(L\cap X\setminus R)=f(L\setminus R).}$ To prove the reverse inclusion ${\displaystyle f(L\setminus R)\subseteq Y\setminus P,}$ let ${\displaystyle y\in f(L\setminus R)}$ so that there exists some ${\displaystyle x\in X\cap L\setminus R}$ such that ${\displaystyle y=f(x).}$ Then ${\displaystyle x\in L\cap f^{-1}(y)\setminus R}$ so that ${\displaystyle L\cap f^{-1}(y)\not \subseteq R}$ and thus ${\displaystyle y\not \in P,}$ which proves that ${\displaystyle y\in Y\setminus P,}$ as desired. ${\displaystyle \blacksquare }$ Defining ${\displaystyle Q:=f(L)\cap P=\left\{y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$ the identity ${\displaystyle f(L\setminus R)=f(L)\setminus Q}$ follows from ${\displaystyle (\star )}$ and the inclusions ${\displaystyle f(L\setminus R)\subseteq f(L)\subseteq Y.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Citations

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External links

• Operations on Sets at ProvenMath