Teorema de Liouville (análisis complejo)

Teorema en análisis complejo

En análisis complejo , el teorema de Liouville , que lleva el nombre de Joseph Liouville (aunque Cauchy lo demostró por primera vez en 1844 ^[1] ), establece que toda función entera acotada debe ser constante . Es decir, toda función holomorfa para la que existe un número positivo tal que para todos es constante. De manera equivalente, las funciones holomorfas no constantes tienen imágenes ilimitadas. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

El teorema se mejora considerablemente con el pequeño teorema de Picard , que dice que toda función completa en cuya imagen omite dos o más números complejos debe ser constante.

Prueba

Este importante teorema tiene varias demostraciones.

Una prueba analítica estándar utiliza el hecho de que las funciones holomorfas son analíticas .

Prueba

Si es una función completa, se puede representar mediante su serie de Taylor alrededor de 0: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

donde (según la fórmula integral de Cauchy )

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta }$

y es el círculo de aproximadamente 0 de radio . Supongamos que está acotado: es decir, existe una constante tal que para todos . Podemos estimar directamente ${\displaystyle C_{r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{C_{r}}|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}},}$

donde en la segunda desigualdad hemos usado el hecho de que en el círculo . Pero la elección de lo anterior es un número positivo arbitrario. Por lo tanto, dejar tender al infinito (dejamos tender al infinito ya que es analítico en todo el plano) da para todos . Así y esto prueba el teorema. ${\displaystyle |z|=r}$ ${\displaystyle C_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}=0}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle f(z)=a_{0}}$

Otra prueba utiliza la propiedad del valor medio de las funciones armónicas.

Prueba ^[2]

Dados dos puntos, elija dos bolas con los puntos dados como centros y de igual radio. Si el radio es lo suficientemente grande, las dos bolas coincidirán excepto en una proporción arbitrariamente pequeña de su volumen. Como está acotado, sus promedios sobre las dos bolas son arbitrariamente cercanos y, por lo tanto, asume el mismo valor en dos puntos cualesquiera. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La prueba se puede adaptar al caso en el que la función armónica está simplemente acotada por arriba o por abajo. Ver función armónica # teorema de Liouville . ${\displaystyle f}$

Corolarios

Teorema fundamental del álgebra

Hay una breve demostración del teorema fundamental del álgebra basada en el teorema de Liouville. ^[3]

Ninguna función completa domina a otra función completa

Una consecuencia del teorema es que funciones enteras "realmente diferentes" no pueden dominarse entre sí, es decir, si y son enteras y en todas partes, entonces para algún número complejo . Considere que el teorema es trivial, por lo que suponemos . Considere la función . Basta demostrar que se puede extender a una función completa, en cuyo caso el resultado se sigue del teorema de Liouville. La holomorfía de es clara excepto en puntos en . Pero como está acotado y todos los ceros de están aislados, cualquier singularidad debe poder eliminarse. Por lo tanto, se puede extender a una función acotada completa que, según el teorema de Liouville, implica que es constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |f|\leq |g|}$ ${\displaystyle f=\alpha g}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle g\neq 0}$ ${\displaystyle h=f/g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Si f es menor o igual a un escalar multiplicado por su entrada, entonces es lineal

Supongamos que es completo y , por . Podemos aplicar la fórmula integral de Cauchy; tenemos eso ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|}$ ${\displaystyle M>0}$

${\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M|\zeta |}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|={\frac {MI}{2\pi }}}$

donde es el valor de la integral restante. Esto muestra que está acotado y es entero, por lo que debe ser constante, según el teorema de Liouville. La integración muestra que es afín y luego, al referirnos a la desigualdad original, tenemos que el término constante es cero. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$

Las funciones elípticas no constantes no se pueden definir en el plano complejo

El teorema también se puede utilizar para deducir que el dominio de una función elíptica no constante no puede ser . Supongamos que así fuera. Entonces, si y son dos períodos de tal que no es real, considere el paralelogramo cuyos vértices son 0, , y . Entonces la imagen de es igual a . Como es continua y compacta , también es compacta y, por tanto, está acotada . Entonces, es constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(P)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(P)}$ ${\displaystyle f}$

El hecho de que el dominio de una función elíptica no constante no puede serlo es lo que realmente demostró Liouville, en 1847, utilizando la teoría de las funciones elípticas. ^[4] De hecho, fue Cauchy quien demostró el teorema de Liouville. ^{[5] [6]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Funciones enteras tienen imágenes densas.

Si es una función entera no constante, entonces su imagen es densa en . Este podría parecer un resultado mucho más sólido que el teorema de Liouville, pero en realidad es un corolario fácil. Si la imagen de no es densa, entonces hay un número complejo y un número real tal que el disco abierto centrado en con radio no tiene ningún elemento de la imagen de . Definir ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-w}}.}$

Entonces es una función entera acotada, ya que para todos , ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle |g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}.}$

Entonces, es constante y, por tanto, es constante. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

En superficies compactas de Riemann

Cualquier función holomorfa sobre una superficie compacta de Riemann es necesariamente constante. ^[7]

Sea holomorfo sobre una superficie compacta de Riemann . Por compacidad, hay un punto en el que alcanza su máximo. Luego podemos encontrar una gráfica de una vecindad de al disco unitario tal que sea holomorfa en el disco unitario y tenga un máximo en , por lo que es constante, según el principio del módulo máximo . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p_{0}\in M}$ ${\displaystyle |f(p)|}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle f(\varphi ^{-1}(z))}$ ${\displaystyle \varphi (p_{0})\in \mathbb {D} }$

Observaciones

Sea la compactación en un punto del plano complejo . En lugar de funciones holomorfas definidas en regiones en , se pueden considerar regiones en . Visto de esta manera, la única singularidad posible para funciones completas, definidas en , es el punto . Si una función entera está acotada en una vecindad de , entonces es una singularidad removible de , es decir, no puede explotar ni comportarse erráticamente en . A la luz de la expansión de las series de potencias , no sorprende que se cumpla el teorema de Liouville. ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$

De manera similar, si una función completa tiene un polo de orden en (es decir, su magnitud crece de manera comparable a en alguna vecindad de ), entonces es un polinomio. Esta versión ampliada del teorema de Liouville se puede enunciar con mayor precisión: si es suficientemente grande, entonces es un polinomio de grado como máximo . Esto se puede probar de la siguiente manera. Nuevamente tome la representación de la serie de Taylor de , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|^{n}}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$

El argumento utilizado durante la prueba utilizando estimaciones de Cauchy muestra que para todos , ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle |a_{k}|\leq Mr^{n-k}.}$

Entonces, si , entonces ${\displaystyle k>n}$

${\displaystyle |a_{k}|\leq \lim _{r\to \infty }Mr^{n-k}=0.}$

Por lo tanto, . ${\displaystyle a_{k}=0}$

El teorema de Liouville no se extiende a las generalizaciones de números complejos conocidos como números dobles y números duales . ^[8]

Ver también

• Teorema de Mittag-Leffler

Referencias

1. Solomentsev, ED; Stepanov, SA; Kvasnikov, IA (2001) [1994], "Teoremas de Liouville", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. Nelson, Eduardo (1961). "Una prueba del teorema de Liouville". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .
3. Benjamín bien; Gerhard Rosenberger (1997). El teorema fundamental del álgebra. Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 70–71. ISBN 978-0-387-94657-3.
4. Liouville, Joseph (1847), "Leçons sur les fonctions doublement périodiques", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , vol. 88 (publicado en 1879), págs. 277–310, ISSN  0075-4102, archivado desde el original el 11 de julio de 2012
5. Cauchy, Augustin-Louis (1844), "Mémoires sur les fonctions complémentaires", Œuvres complètes d'Augustin Cauchy , 1, vol. 8, París: Gauthiers-Villars (publicado en 1882)
6. Lützen, Jesper (1990), Joseph Liouville 1809–1882: Maestría en Matemáticas Puras y Aplicadas , Estudios de Historia de las Matemáticas y Ciencias Físicas, vol. 15, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7
7. un curso conciso sobre análisis complejo y superficies de Riemann, Wilhelm Schlag, corolario 4.8, p.77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf Archivado el 30 de agosto de 2017 en Wayback Machine.
8. Denhartigh, Kyle; Flim, Rachel (15 de enero de 2017). "Teoremas de Liouville en los planos dual y doble". Revista de matemáticas de pregrado Rose-Hulman . 12 (2).

enlaces externos

• "Teorema de Liouville". PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de acotación de Liouville". MundoMatemático .