Secuencia espectral de Leray

En matemáticas , la secuencia espectral de Leray fue un ejemplo pionero en álgebra homológica , introducida en 1946 ^{[1] [2]} por Jean Leray . Hoy en día suele verse como un caso especial de la secuencia espectral de Grothendieck .

Definición

Sea un mapa continuo de espacios topológicos, que en particular proporciona un functor desde haces de grupos abelianos hasta haces de grupos abelianos . Componer esto con el functor de tomar secciones es lo mismo que tomar secciones , según la definición del funtor de imagen directa : ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle \mathrm {Sh_{Ab}} (X)\xrightarrow {f_{*}} \mathrm {Sh_{Ab}} (Y)\xrightarrow {\Gamma } \mathrm {Ab} .}$

Así, los functores derivados de calculan la cohomología de la gavilla para : ${\displaystyle \Gamma \circ f_{*}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle R^{i}(\Gamma \cdot f_{*})({\mathcal {F}})=H^{i}(X,{\mathcal {F}}).}$

Pero debido a que y envía objetos inyectivos a objetos acíclicos en , hay una secuencia espectral ^{[3] pg 33,19} cuya segunda página es ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$

${\displaystyle E_{2}^{pq}=(R^{p}\Gamma \cdot R^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}})),}$

y que converge a

${\displaystyle E^{p+q}=R^{p+q}(\Gamma \circ f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}}).}$

Esto se llama secuencia espectral de Leray .

Generalizando a otras gavillas y complejos de gavillas.

Tenga en cuenta que este resultado se puede generalizar considerando en su lugar haces de módulos sobre un haz de anillos localmente constante para un anillo conmutativo fijo . Entonces, las gavillas serán haces de módulos, donde para un conjunto abierto , dicha gavilla es un módulo para . Además, en lugar de gavillas, podríamos considerar complejos de gavillas acotadas a continuación para la categoría derivada de . Luego, se reemplaza la cohomología de la gavilla con la hipercohomología de la gavilla . ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)}$ ${\displaystyle {\underline {A}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in D_{\underline {A}}^{+}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)}$

Construcción

La existencia de la secuencia espectral de Leray es una aplicación directa de la secuencia espectral de Grothendieck ^{[3] pg 19} . Esto establece que dados funtores aditivos

${\displaystyle {\mathcal {A}}\xrightarrow {G} {\mathcal {B}}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}}}$

entre las categorías abelianas que tienen suficientes inyectivos , un functor exacto por la izquierda y envían objetos inyectivos a objetos acíclicos, entonces existe un isomorfismo de funtores derivados ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle R^{+}(F\circ G)\simeq R^{+}F\circ R^{+}G}$

para las categorías derivadas . En el ejemplo anterior, tenemos la composición de funtores derivados. ${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}}),D^{+}({\mathcal {B}}),D^{+}({\mathcal {C}})}$

${\displaystyle D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X))\xrightarrow {Rf_{*}} D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y))\xrightarrow {\Gamma } D^{+}({\text{Ab}}).}$

Definición clásica

Sea un mapa continuo de variedades suaves . Si es una cubierta abierta de , forma el complejo de Čech de una gavilla con respecto a la cubierta de : ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Los mapas de límites y los mapas de gavillas juntos dan un mapa de límites en el doble complejo ${\displaystyle d^{p}\colon C^{p}\to C^{p+1}}$ ${\displaystyle \delta ^{q}\colon \Omega _{X}^{q}\to \Omega _{X}^{q+1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{q})}$

${\displaystyle D=d+\delta \colon C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet })\longrightarrow C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }).}$

Este doble complejo es también un único complejo clasificado por , respecto del cual hay un mapa de límites. Si cada intersección finita de es difeomorfa , se puede demostrar que la cohomología ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{D}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))=H_{\text{dR}}^{n}(X,\mathbb {R} )}$

De este complejo es la cohomología de De Rham . ^{[4] : 96} Además, ^{[4] : 179  [5]} cualquier complejo doble tiene una secuencia espectral E con ${\displaystyle X}$

${\displaystyle E_{\infty }^{n-p,p}={\text{the }}p{\text{th graded part of }}H_{dR}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))}$

(para que la suma de estos sea ), y ${\displaystyle H_{dR}^{n}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {H}}^{q}),}$

¿Dónde está el pregavilla en el envío Y ? En este contexto, esto se denomina secuencia espectral de Leray. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}}$ ${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$

La definición moderna incluye esto, porque el funtor de imagen directa superior es la gavilla del pregavilla . ${\displaystyle R^{p}f_{*}(F)}$ ${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$

Ejemplos

• Sean variedades lisas y simplemente conectadas , entonces . Calculamos la secuencia espectral de Leray de la proyección . Si la cobertura es buena (las intersecciones finitas son ), entonces ${\displaystyle X,F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$ ${\displaystyle f\colon X\times F\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(f^{-1}U_{i})\simeq H^{q}(F)}$

Dado que es simplemente conexo, cualquier pregavilla localmente constante es constante, por lo que esta es la pregavilla constante . Entonces la segunda página de la secuencia espectral de Leray es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{q}(F)={\underline {\mathbb {R} }}^{n_{q}}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},H^{q}(F))=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\mathbb {R} )\otimes H^{q}(F)}$

Como la portada también es buena . Entonces ${\displaystyle \{f^{-1}(U_{i})\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X\times F}$ ${\displaystyle H^{p}(f^{-1}(U_{i});\mathbb {R} )\cong H^{p}(f;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X)\otimes H^{q}(F)\ \Longrightarrow \ H^{p+q}(X\times F,\mathbb {R} )}$

Este es el primer lugar que usamos que es una proyección y no solo un haz de fibras: cada elemento de es una forma diferencial cerrada real en todos , por lo que aplicarles d y da cero. De este modo . Esto demuestra el teorema de Künneth para conexos simples: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle X\times F}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle E_{\infty }=E_{2}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{\bullet }(X\times Y,\mathbb {R} )\simeq H^{\bullet }(X)\otimes H^{\bullet }(Y)}$

• Si es un haz de fibras general con fibra , se aplica lo anterior, excepto que es solo un prehaz localmente constante, no constante. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V^{p}\to H^{p}(f^{-1}V,H^{q})}$

• Todos los cálculos de ejemplo con la secuencia espectral de Serre son la secuencia de Leray para la gavilla constante.

Teorema de degeneración

En la categoría de variedades cuasiproyectivas sobre , existe un teorema de degeneración probado por Pierre Deligne y Blanchard para la secuencia espectral de Leray, que establece que un morfismo proyectivo suave de variedades nos da que la página de la secuencia espectral para degenerados, por lo tanto ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} )\cong \bigoplus _{p+q=k}H^{p}(Y;\mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})).}$

Se pueden calcular ejemplos sencillos si Y es simplemente conexo; por ejemplo, una intersección completa de dimensiones (esto se debe al homomorfismo de Hurewicz y al teorema del hiperplano de Lefschetz ). En este caso los sistemas locales tendrán monodromía trivial, por lo tanto . Por ejemplo, considere una familia suave de curvas de género 3 sobre una superficie K3 suave . Entonces tenemos eso ${\displaystyle \geq 2}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus l_{q}}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\\\mathbf {R} ^{1}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6}\\\mathbf {R} ^{2}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\end{aligned}}}$

dándonos la página ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}=E_{\infty }={\begin{bmatrix}H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\end{bmatrix}}}$

Ejemplo con monodromía

Otro ejemplo importante de familia proyectiva suave es la familia asociada a las curvas elípticas.

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-t)}$

encima . Aquí la monodromía alrededor. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\setminus \{0,1,\infty \}}$0 y1 se puede calcular utilizando la teoría de Picard-Lefschetz , dando la monodromía componiendo monodromías locales. ${\displaystyle \infty }$

Historia y conexión con otras secuencias espectrales.

En el momento del trabajo de Leray, ninguno de los dos conceptos involucrados (secuencia espectral, cohomología de haz) había alcanzado nada parecido a un estado definitivo. Por lo tanto, rara vez se cita el resultado de Leray en su forma original. Después de mucho trabajo, en particular en el seminario de Henri Cartan , se obtuvo la declaración moderna, aunque no la secuencia espectral general de Grothendieck.

Anteriormente (1948/9), las implicaciones para los haces de fibras se extrajeron de una forma formalmente idéntica a la de la secuencia espectral de Serre , que no utiliza haces. Este tratamiento, sin embargo, se aplicó a la cohomología de Alexander-Spanier con soportes compactos , tal como se aplica a mapas adecuados de espacios de Hausdorff localmente compactos, ya que la derivación de la secuencia espectral requirió un fino haz de álgebras graduadas diferenciales reales en el espacio total, que se obtuvo haciendo retroceder el complejo de Rham a lo largo de una incrustación en una esfera. Jean-Pierre Serre , que necesitaba una secuencia espectral en homología que se aplicara a las fibraciones del espacio de caminos , cuyos espacios totales casi nunca son localmente compactos, no pudo usar la secuencia espectral original de Leray y por lo tanto derivó una secuencia espectral relacionada cuya variante cohomológica concuerda, para un haz de fibras compacto en un espacio de buen comportamiento con la secuencia anterior.

En la formulación lograda por Alexander Grothendieck hacia 1957, la secuencia espectral de Leray es la secuencia espectral de Grothendieck para la composición de dos functores derivados .

Ver también

• Secuencia espectral de Serre - para más ejemplos
• Secuencia espectral de Grothendieck : para teoría abstracta que incluye la construcción de la secuencia espectral de Leray
• Módulo Hodge mixto

Referencias

1. Leray, Jean (1946). "L'anneau d'homologie d'une représentation". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 222 : 1366-1368.
2. Molinero, Haynes (2000). "Leray en Oflag XVIIA: los orígenes de la teoría de la gavilla, la cohomología de la gavilla y las secuencias espectrales, Jean Leray (1906-1998)" (PDF) . Gaz. Matemáticas . 84 : 17–34.
3. Dimca, Alexandru (2004). Gavillas en topología . Berlín, Heidelberg: Springer . doi :10.1007/978-3-642-18868-8. ISBN 978-3-642-18868-8. OCLC  851731478.
4. Bott, Raoul ; Tu, Loring W. Formas diferenciales en topología algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 82. Nueva York-Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-0-387-90613-3. OCLC  7597142.
5. Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1978). Principios de geometría algebraica . Nueva York: Wiley . pag. 443.ISBN​ 0-471-32792-1. OCLC  3843444.

enlaces externos

• Secuencia espectral de Leray Artículo en la Enciclopedia de Matemáticas
• Secuencia espectral de Leray para espacios anillados Artículo en el proyecto The Stacks