En matemáticas , el noveno lema (o lema 3×3) es un enunciado sobre los diagramas conmutativos y las sucesiones exactas válidos en la categoría de grupos y cualquier categoría abeliana . Afirma: si el diagrama de la derecha es un diagrama conmutativo y todas las columnas, así como las dos filas inferiores, son exactas, entonces la fila superior también es exacta. Del mismo modo, si todas las columnas, así como las dos filas superiores, son exactas, entonces la fila inferior también es exacta. De manera similar, debido a que el diagrama es simétrico respecto de su diagonal, las filas y las columnas también pueden intercambiarse en el diagrama anterior.
El noveno lema se puede demostrar mediante la búsqueda directa de diagramas o aplicando el lema de la serpiente (a las dos filas inferiores en el primer caso y a las dos filas superiores en el segundo caso).
Linderholm (p. 201) ofrece una visión satírica del noveno lema:
Dibuja un tablero de tres en raya ... No lo rellenes con tres en raya... En su lugar, utiliza flechas curvas... Mueve las manos formando patrones complicados sobre este tablero. Haz algunos tres en raya, pero no en los cuadrados; colócalos en ambos extremos de las líneas horizontales y verticales. Haz caras. Ya has demostrado:
(a) el Lema Nueve
(b) el Lema Dieciséis
(c) el Lema Veinticinco...
Hay dos variantes del lema nueve: el lema nueve agudo y el lema nueve simétrico (ver Lemas 3.3, 3.4 en el Capítulo XII de [1] ).