Onda de diente de sierra

5 segundos de onda de diente de sierra de 220 Hz

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La onda de diente de sierra (u onda de sierra ) es un tipo de forma de onda no sinusoidal . Se llama así por su parecido con los dientes de una sierra de dientes lisos con un ángulo de inclinación cero . Un diente de sierra único, o un diente de sierra activado de forma intermitente, se denomina forma de onda de rampa .

La convención es que una onda en dientes de sierra asciende y luego cae bruscamente. En una onda en dientes de sierra inversa, la onda desciende y luego sube bruscamente. También puede considerarse el caso extremo de una onda triangular asimétrica . ^[2]

La función lineal por partes equivalente basada en la función suelo del tiempo t es un ejemplo de una onda de diente de sierra con período 1. $x(t)=t-\lpiso t\rpiso$ $x(t)=t{\bmod {1}}$

Una forma más general, en el rango −1 a 1, y con período p , es $2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{p}}\right\rfloor \right)$

Esta función de diente de sierra tiene la misma fase que la función seno .

Mientras que una onda cuadrada se construye a partir de armónicos impares únicamente, el sonido de una onda en dientes de sierra es áspero y claro y su espectro contiene tanto armónicos pares como impares de la frecuencia fundamental . Debido a que contiene todos los armónicos enteros, es una de las mejores formas de onda para usar en la síntesis sustractiva de sonidos musicales, en particular instrumentos de cuerda frotada como violines y violonchelos, ya que el comportamiento deslizante del arco impulsa las cuerdas con un movimiento similar al de los dientes de sierra. ^[3]

Demostración de dientes de sierra aditivos

Onda de diente de sierra de 220 Hz creada por armónicos agregados cada segundo sobre la onda sinusoidal.

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Se puede construir un diente de sierra mediante síntesis aditiva . Para el período p y la amplitud a , las siguientes series infinitas de Fourier convergen en un diente de sierra y en una onda de diente de sierra inversa:

$f={\frac {1}{p}}$ $x_{\text{diente de sierra}}(t)=a\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}\right)$ $x_{\text{diente de sierra invertido}}(t)={\frac {2a}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}$

En la síntesis digital , estas series solo se suman sobre k de modo que el armónico más alto, Nmax , sea menor que la frecuencia de Nyquist ₍ la mitad de la frecuencia de muestreo ). Esta suma generalmente se puede calcular de manera más eficiente con una transformada rápida de Fourier . Si la forma de onda se crea digitalmente directamente en el dominio del tiempo utilizando una forma no limitada por la banda , como y = x − floor ( x ), se muestrean armónicos infinitos y el tono resultante contiene distorsión de aliasing .

A continuación se incluye una demostración en audio de un sonido con dientes de sierra reproducido a 440 Hz (A ₄ ), 880 Hz (A ₅ ) y 1760 Hz (A ₆ ). Se presentan tonos con y sin alias y con banda limitada.

Demostración de aliasing en dientes de sierra

Ondas de diente de sierra reproducidas con banda limitada y alias a 440 Hz, 880 Hz y 1760 Hz

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Aplicaciones

Las ondas de diente de sierra son conocidas por su uso en la música electrónica . Las ondas de diente de sierra y cuadradas se encuentran entre las formas de onda más comunes que se utilizan para crear sonidos con sintetizadores de música analógicos virtuales y analógicos sustractivos .
Las ondas de diente de sierra se utilizan en fuentes de alimentación de modo conmutado . En el chip regulador, la señal de retroalimentación de la salida se compara continuamente con una onda de diente de sierra de alta frecuencia para generar una nueva señal PWM de ciclo de trabajo en la salida del comparador .
En el campo de la informática, particularmente en la automatización y la robótica, permite calcular sumas y diferencias de ángulos evitando discontinuidades a 360° y 0°. ^[^{cita requerida}^] $\mathrm {diente de sierra} (\theta )=2\arctan(\tan({\frac {\theta }{2}}))$
La onda de diente de sierra es la forma de las señales de deflexión vertical y horizontal que se utilizan para generar una trama en las pantallas de los televisores o monitores con CRT . Los osciloscopios también utilizan una onda de diente de sierra para su deflexión horizontal, aunque normalmente utilizan deflexión electrostática .
- En la "rampa" de la onda, el campo magnético producido por el yugo de deflexión arrastra el haz de electrones a través de la cara del CRT, creando una línea de exploración .
- En el “acantilado” de la ola, el campo magnético colapsa repentinamente, provocando que el haz de electrones regrese a su posición de reposo lo más rápidamente posible.
- La corriente aplicada al yugo de deflexión se ajusta por varios medios (transformadores, condensadores, bobinados con toma central) de modo que el voltaje a mitad de camino en el borde del diente de sierra esté en la marca cero, lo que significa que una corriente negativa causará deflexión en una dirección y una desviación de corriente positiva en la otra; por lo tanto, un yugo de deflexión montado en el centro puede usar toda el área de la pantalla para representar una traza. La frecuencia horizontal es de 15,734 kHz en NTSC , 15,625 kHz para PAL y SECAM .
- El sistema de deflexión vertical funciona de la misma manera que el horizontal, aunque a una frecuencia mucho más baja (59,94 Hz en NTSC , 50 Hz para PAL y SECAM).
- La parte de rampa de la onda debe aparecer como una línea recta. De lo contrario, indica que la corriente no aumenta linealmente y, por lo tanto, que el campo magnético producido por el yugo de deflexión no es lineal. Como resultado, el haz de electrones se acelerará durante las partes no lineales. Esto daría como resultado una imagen de televisión "aplastada" en la dirección de la no linealidad. Los casos extremos mostrarán aumentos marcados de brillo, ya que el haz de electrones pasa más tiempo en ese lado de la imagen.
- Los primeros receptores de televisión tenían controles que permitían al usuario ajustar la linealidad vertical u horizontal de la imagen. Dichos controles no estaban presentes en los aparatos posteriores, ya que la estabilidad de los componentes electrónicos había mejorado.

Véase también

Formas de onda sinusoidal , cuadrada , triangular y de diente de sierra

Referencias

^ Kraft, Sebastian; Zölzer, Udo (5 de septiembre de 2017). "LP-BLIT: síntesis de tren de impulsos de banda limitada de formas de onda filtradas con filtro paso bajo". Actas de la 20.ª Conferencia internacional sobre efectos de audio digital (DAFx-17) . 20.ª Conferencia internacional sobre efectos de audio digital (DAFx-17). Edimburgo. págs. 255–259.
^ "Serie de Fourier-Onda triangular - de Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com . 2012-07-02 . Consultado el 2012-07-11 .
^ Dave Benson. "Música: una propuesta matemática" (PDF) . Homepages.abdn.ac.uk . p. 42. Consultado el 26 de noviembre de 2021 .

Enlaces externos

Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Cambridge Tracts in Advanced Mathematics. Vol. 97. págs. 536–537. ISBN 978-0-521-84903-6.