Fracción unitaria

Uno sobre un número entero

Rebanadas de aproximadamente 1/8 de una pizza

Una fracción unitaria es una fracción positiva cuyo numerador es uno , 1/ n . Es el inverso multiplicativo (recíproco) del denominador de la fracción, que debe ser un número natural positivo . Algunos ejemplos son 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc. Cuando un objeto se divide en partes iguales, cada parte es una fracción unitaria del todo.

La multiplicación de dos fracciones unitarias produce otra fracción unitaria, pero otras operaciones aritméticas no conservan las fracciones unitarias. En la aritmética modular, las fracciones unitarias se pueden convertir en números enteros equivalentes, lo que permite transformar la división modular en multiplicación. Todo número racional se puede representar como una suma de fracciones unitarias distintas; estas representaciones se denominan fracciones egipcias en función de su uso en las matemáticas del antiguo Egipto . Muchas sumas infinitas de fracciones unitarias tienen significado matemático.

En geometría, las fracciones unitarias se pueden utilizar para caracterizar la curvatura de los grupos de triángulos y las tangencias de los círculos de Ford . Las fracciones unitarias se utilizan comúnmente en la división justa , y esta aplicación familiar se utiliza en la educación matemática como un primer paso hacia la comprensión de otras fracciones. Las fracciones unitarias son comunes en la teoría de la probabilidad debido al principio de indiferencia . También tienen aplicaciones en la optimización combinatoria y en el análisis del patrón de frecuencias en la serie espectral del hidrógeno .

Aritmética

Las fracciones unitarias son los números racionales que se pueden escribir en la forma donde puede ser cualquier número natural positivo . Son, por tanto, los inversos multiplicativos de los números enteros positivos. Cuando algo se divide en partes iguales, cada parte es una fracción del todo. ^[1] $${\displaystyle {\frac {1}{n}},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

Aritmética elemental

La multiplicación de dos fracciones unitarias cualesquiera da como resultado un producto que es otra fracción unitaria: ^[2] Sin embargo, sumar , ^[3] restar , ^[3] o dividir dos fracciones unitarias produce un resultado que generalmente no es una fracción unitaria: $${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$$

Como muestra la última de estas fórmulas, cada fracción puede expresarse como cociente de dos fracciones unitarias. ^[4]

Aritmética modular

En aritmética modular , cualquier fracción unitaria se puede convertir en un número entero equivalente utilizando el algoritmo euclidiano extendido . ^{[5] [6]} Esta conversión se puede utilizar para realizar una división modular: dividir por un número , módulo , se puede realizar convirtiendo la fracción unitaria en un número entero equivalente módulo y luego multiplicando por ese número. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle y}$

En más detalle, supongamos que es relativamente primo a (de lo contrario, la división por no está definida módulo ). El algoritmo euclidiano extendido para el máximo común divisor se puede utilizar para encontrar números enteros y tales que se satisface la identidad de Bézout : En módulo- aritmética, el término se puede eliminar ya que es cero módulo . Esto deja Es decir, es el inverso modular de , el número que cuando se multiplica por produce uno. Equivalentemente, ^{[5] [6]} Por lo tanto, la división por (módulo ) se puede realizar en cambio multiplicando por el entero . ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle \displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle by}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$

Combinaciones

Varias construcciones en matemáticas implican la combinación de múltiples fracciones unitarias, a menudo sumándolas.

Sumas finitas

Cualquier número racional positivo puede escribirse como suma de fracciones unitarias distintas, de múltiples maneras. Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Estas sumas se denominan fracciones egipcias , porque las antiguas civilizaciones egipcias las utilizaban como notación para números racionales más generales . Hoy en día sigue habiendo interés en analizar los métodos utilizados por los antiguos para elegir entre las posibles representaciones de un número fraccionario y para calcular con dichas representaciones. ^[8] El tema de las fracciones egipcias también ha suscitado interés en la teoría de números moderna ; por ejemplo, el problema de Erdős-Graham ^[9] y la conjetura de Erdős-Straus ^[10] se refieren a sumas de fracciones unitarias, al igual que la definición de los números armónicos de Ore . ^[11]

Un patrón de triángulos esféricos con simetría de reflexión en cada arista del triángulo. Los patrones de reflexión esférica como este con triángulos , y en cada vértice (aquí, ) solo existen cuando . ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 2y}$ ${\displaystyle 2z}$ ${\displaystyle x,y,z=2,3,5}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}>1}$

En la teoría de grupos geométricos , los grupos de triángulos se clasifican en casos euclidianos, esféricos e hiperbólicos según si una suma asociada de fracciones unitarias es igual a uno, mayor que uno o menor que uno respectivamente. ^[12]

Serie infinita

Muchas series infinitas conocidas tienen términos que son fracciones unitarias. Entre ellas se incluyen:

• La serie armónica , la suma de todas las fracciones unitarias positivas. Esta suma diverge y sus sumas parciales se aproximan al logaritmo natural de más la constante de Euler-Mascheroni . ^[13] Al cambiar cualquier otra suma por una resta se produce la serie armónica alternada, que suma el logaritmo natural de 2 : ^[14] $${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• La fórmula de Leibniz para π es ^[15] $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$
• El problema de Basilea se refiere a la suma de las fracciones unitarias al cuadrado: ^[16] De manera similar, la constante de Apéry es un número irracional , la suma de las fracciones unitarias al cubo. ^[17] $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$
• La serie geométrica binaria es ^[18] $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

Matrices

Una matriz de Hilbert es una matriz cuadrada en la que los elementos de la antidiagonal n son todos iguales a la fracción unitaria n . Es decir, tiene elementos n. Por ejemplo, la matriz es una matriz de Hilbert. Tiene la propiedad inusual de que todos los elementos de su matriz inversa son números enteros. ^[19] De manera similar, Richardson (2001) definió una matriz cuyos elementos son fracciones unitarias cuyos denominadores son números de Fibonacci n : donde n denota el n.º número de Fibonacci. Llama a esta matriz la matriz de Filbert y tiene la misma propiedad de tener una inversa entera. ^[20] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1/i}$ $${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Círculos de adyacencia y de Ford

Las fracciones con círculos de Ford tangentes difieren en una fracción unitaria

Dos fracciones y (en términos mínimos) se llaman adyacentes si lo que implica que difieren entre sí en una fracción unitaria: Por ejemplo, y son adyacentes: y . Sin embargo, algunos pares de fracciones cuya diferencia es una fracción unitaria no son adyacentes en este sentido: por ejemplo, y difieren en una fracción unitaria, pero no son adyacentes, porque para ellos . ^[21] ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$ $${\displaystyle ad-bc=\pm 1,}$$ $${\displaystyle \left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$ ${\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle ad-bc=3}$

Esta terminología proviene del estudio de los círculos de Ford . Se trata de un sistema de círculos que son tangentes a la línea numérica en una fracción dada y tienen como diámetro el denominador al cuadrado de la fracción. Las fracciones y son adyacentes si y solo si sus círculos de Ford son círculos tangentes . ^[21] ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$

Aplicaciones

División justa y enseñanza de las matemáticas

En la educación matemática , las fracciones unitarias suelen introducirse antes que otros tipos de fracciones, debido a la facilidad de explicarlas visualmente como partes iguales de un todo. ^{[22] [23]} Un uso práctico común de las fracciones unitarias es dividir los alimentos equitativamente entre varias personas, y los ejercicios para realizar este tipo de división justa son un ejemplo estándar en el aula para enseñar a los estudiantes a trabajar con fracciones unitarias. ^[24]

Probabilidad y estadística

Un dado de seis caras tiene una probabilidad de 1/6 de caer en cada lado.

En una distribución uniforme en un espacio discreto , todas las probabilidades son fracciones unitarias iguales. Debido al principio de indiferencia , las probabilidades de esta forma surgen con frecuencia en los cálculos estadísticos. ^[25]

Las probabilidades desiguales relacionadas con las fracciones unitarias surgen de la ley de Zipf . Esta establece que, para muchos fenómenos observados que implican la selección de elementos de una secuencia ordenada, la probabilidad de que se seleccione el elemento n es proporcional a la fracción unitaria . ^[26] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

Optimización combinatoria

En el estudio de los problemas de optimización combinatoria , los problemas de empaquetamiento de contenedores implican una secuencia de entrada de elementos con tamaños fraccionarios, que deben colocarse en contenedores cuya capacidad (el tamaño total de los elementos colocados en cada contenedor) es uno. La investigación sobre estos problemas ha incluido el estudio de problemas de empaquetamiento de contenedores restringidos donde los tamaños de los elementos son fracciones unitarias. ^{[27] [28]}

Una de las motivaciones para esto es como un caso de prueba para métodos de empaquetamiento de contenedores más generales. Otra implica una forma de programación pinwheel , en la que una colección de mensajes de igual longitud debe transmitirse repetidamente en un número limitado de canales de comunicación, y cada mensaje tiene un retraso máximo entre los tiempos de inicio de sus transmisiones repetidas. Un elemento cuyo retraso es veces la longitud de un mensaje debe ocupar una fracción de al menos de los intervalos de tiempo en el canal al que está asignado, por lo que una solución al problema de programación solo puede provenir de una solución al problema de empaquetamiento de contenedores de fracción unitaria con los canales como contenedores y las fracciones como tamaños de elemento. ^[27] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle 1/k}$

Incluso en el caso de problemas de empaquetamiento de contenedores con tamaños de elementos arbitrarios, puede resultar útil redondear el tamaño de cada elemento a la fracción unitaria inmediatamente superior y, a continuación, aplicar un algoritmo de empaquetamiento de contenedores especializado para tamaños de fracciones unitarias. En particular, el método de empaquetamiento de contenedores armónico hace exactamente esto y, a continuación, empaqueta cada contenedor utilizando elementos de un único tamaño de fracción unitaria redondeada. ^[28]

Física

Serie espectral del hidrógeno , en escala logarítmica. Las frecuencias de las líneas de emisión son proporcionales a las diferencias de pares de fracciones unitarias.

Los niveles de energía de los fotones que pueden ser absorbidos o emitidos por un átomo de hidrógeno son, según la fórmula de Rydberg , proporcionales a las diferencias de dos fracciones unitarias. Una explicación de este fenómeno la proporciona el modelo de Bohr , según el cual los niveles de energía de los orbitales de los electrones en un átomo de hidrógeno son inversamente proporcionales a las fracciones unitarias cuadradas, y la energía de un fotón está cuantizada a la diferencia entre dos niveles. ^[29]

Arthur Eddington sostuvo que la constante de estructura fina era una fracción unitaria. Inicialmente pensó que era 1/136 y luego cambió su teoría a 1/137. Esta afirmación ha sido refutada, dado que las estimaciones actuales de la constante de estructura fina son (hasta 6 dígitos significativos) 1/137,036. ^[30]

Véase también

• Rompecabezas de herencia de 17 animales , un rompecabezas que implica una división justa en fracciones unitarias
• Submúltiplo , un número que produce una fracción unitaria cuando se utiliza como numerador con un denominador dado.
• Razón superparticular , uno más una fracción unitaria, importante en la armonía musical

Referencias

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