Curva pseudoholomórfica

En matemáticas , específicamente en topología y geometría , una curva pseudoholomórfica (o curva J -holomórfica ) es una función suave de una superficie de Riemann en una variedad casi compleja que satisface la ecuación de Cauchy-Riemann . Introducidas en 1985 por Mikhail Gromov , las curvas pseudoholomórficas han revolucionado desde entonces el estudio de las variedades simplécticas . En particular, conducen a los invariantes de Gromov-Witten y a la homología de Floer , y desempeñan un papel destacado en la teoría de cuerdas .

Definición

Sea una variedad casi compleja con estructura casi compleja . Sea una superficie de Riemann suave (también llamada curva compleja ) con estructura compleja . Una curva pseudoholomorfa en es una función que satisface la ecuación de Cauchy-Riemann ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:C\to X}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=0.}$

Dado que , esta condición es equivalente a ${\displaystyle J^{2}=-1}$

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

lo que simplemente significa que la diferencial es compleja-lineal, es decir, mapea cada espacio tangente ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X}$

Por razones técnicas, a menudo es preferible introducir algún tipo de término no homogéneo y estudiar los mapas que satisfacen la ecuación de Cauchy-Riemann perturbada ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f=\nu .}$

Una curva pseudoholomórfica que satisface esta ecuación puede denominarse, más específicamente, una curva -holomórfica . A veces se supone que la perturbación es generada por un hamiltoniano (particularmente en la teoría de Floer), pero en general no es necesario que así sea. ${\displaystyle (j,J,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

Una curva pseudoholomórfica está, por definición, siempre parametrizada. En las aplicaciones, a menudo nos interesan las curvas no parametrizadas, es decir, las dos subvariedades incrustadas (o inmersas) de , por lo que se realiza una modulación mediante reparametrizaciones del dominio que preservan la estructura relevante. En el caso de los invariantes de Gromov-Witten, por ejemplo, consideramos solo dominios cerrados de género fijo e introducimos puntos marcados (o punciones ) en . Tan pronto como la característica de Euler punzada es negativa, solo hay un número finito de reparametrizaciones holomorfas de que preservan los puntos marcados. La curva del dominio es un elemento del espacio de módulos de Deligne-Mumford de curvas . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2-2g-n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Analogía con las ecuaciones clásicas de Cauchy-Riemann

El caso clásico se da cuando y son ambos simplemente el plano de los números complejos . En coordenadas reales ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle j=J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},}$

y

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}du/dx&du/dy\\dv/dx&dv/dy\end{bmatrix}},}$

donde . Después de multiplicar estas matrices en dos órdenes diferentes, se ve inmediatamente que la ecuación ${\displaystyle f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))}$

${\displaystyle J\circ df=df\circ j}$

Lo escrito arriba es equivalente a las ecuaciones clásicas de Cauchy-Riemann

${\displaystyle {\begin{cases}du/dx=dv/dy\\dv/dx=-du/dy.\end{cases}}}$

Aplicaciones en topología simpléctica

Aunque pueden definirse para cualquier variedad casi compleja, las curvas pseudoholomorfas son especialmente interesantes cuando interactúan con una forma simpléctica . Se dice que una estructura casi compleja es -domable si y solo si ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (v,Jv)>0}$

para todos los vectores tangentes distintos de cero . La mansedumbre implica que la fórmula ${\displaystyle v}$

${\displaystyle (v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)}$

define una métrica de Riemann en . Gromov demostró que, para un dado , el espacio de -tame no es vacío y es contráctil . Utilizó esta teoría para demostrar un teorema de no compresión relativo a las incrustaciones simplécticas de esferas en cilindros. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle J}$

Gromov demostró que ciertos espacios de módulos de curvas pseudoholomórficas (que satisfacen condiciones adicionales especificadas) son compactos , y describió la forma en que las curvas pseudoholomórficas pueden degenerar cuando solo se supone energía finita. (La condición de energía finita se cumple más notablemente para curvas con una clase de homología fija en una variedad simpléctica donde J es -mansa o -compatible). Este teorema de compacidad de Gromov , ahora ampliamente generalizado usando mapas estables , hace posible la definición de invariantes de Gromov-Witten, que cuentan las curvas pseudoholomórficas en variedades simplécticas. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Los espacios de módulos compactos de curvas pseudoholomórficas también se utilizan para construir la homología de Floer , que Andreas Floer (y autores posteriores, con mayor generalidad) utilizaron para demostrar la famosa conjetura de Vladimir Arnol'd sobre el número de puntos fijos de los flujos hamiltonianos .

Aplicaciones en física

En la teoría de cuerdas de tipo II, se consideran superficies trazadas por cuerdas a medida que viajan a lo largo de trayectorias en un triple de Calabi-Yau . Siguiendo la formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica , se desea calcular ciertas integrales sobre el espacio de todas esas superficies. Debido a que dicho espacio es de dimensión infinita, estas integrales de trayectoria no están matemáticamente bien definidas en general. Sin embargo, bajo el giro A se puede deducir que las superficies están parametrizadas por curvas pseudoholomórficas, y por lo tanto las integrales de trayectoria se reducen a integrales sobre espacios de módulos de curvas pseudoholomórficas (o más bien mapas estables), que son de dimensión finita. En la teoría de cuerdas de tipo IIA cerrada, por ejemplo, estas integrales son precisamente los invariantes de Gromov-Witten .

Véase también

• Curva holomorfa

Referencias

• Dusa McDuff y Dietmar Salamon , J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society, 2004. ISBN  0-8218-3485-1 .
• Mikhail Leonidovich Gromov , Curvas pseudoholomórficas en variedades simplécticas. Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, págs. 307-347.
• Donaldson, Simon K. (octubre de 2005). "¿Qué es... una curva pseudoholomórfica?" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 52 (9): 1026–1027 . Consultado el 17 de enero de 2008 .