En la topología de 4 dimensiones, una rama de las matemáticas, un asa de Casson es un asa topológica de 2 dimensiones construida mediante un procedimiento infinito. Se llaman así por Andrew Casson , quien las introdujo alrededor de 1973. Originalmente, el propio Casson las llamó "asas flexibles" y Michael Freedman (1982) introdujo el nombre de "asa de Casson" por el que se las conoce hoy en día. En ese trabajo, demostró que las asas de Casson son asas topológicas de 2 dimensiones y utilizó esto para clasificar las variedades topológicas de 4 dimensiones compactas simplemente conexas .
En la demostración del teorema del h-cobordismo se utiliza la siguiente construcción. Dado un círculo en el límite de una variedad, a menudo nos gustaría encontrar un disco incrustado en la variedad cuyo límite es el círculo dado. Si la variedad es simplemente conexa, entonces podemos encontrar una función de un disco a la variedad con límite el círculo dado, y si la variedad es de dimensión al menos 5, entonces al poner este disco en " posición general " se convierte en una incrustación. El número 5 aparece por la siguiente razón: las subvariedades de dimensión m y n en posición general no se intersecan siempre que la dimensión de la variedad que las contiene tenga dimensión mayor que . En particular, un disco (de dimensión 2) en posición general no tendrá autointersecciones dentro de una variedad de dimensión mayor que 2+2.
Si la variedad es de 4 dimensiones, esto no funciona: el problema es que un disco en posición general puede tener puntos dobles donde dos puntos del disco tienen la misma imagen. Esta es la razón principal por la que la prueba habitual del teorema del h-cobordismo solo funciona para cobordismos cuyo borde tiene dimensión al menos 5. Podemos intentar deshacernos de estos puntos dobles de la siguiente manera. Dibujemos una línea en el disco que una dos puntos con la misma imagen. Si la imagen de esta línea es el borde de un disco incrustado (llamado disco de Whitney ), entonces es fácil eliminar el punto doble. Sin embargo, este argumento parece estar dando vueltas en círculos: para eliminar un punto doble del primer disco, necesitamos construir un segundo disco incrustado, cuya construcción implica exactamente el mismo problema de eliminación de puntos dobles.
La idea de Casson era iterar esta construcción un número infinito de veces, con la esperanza de que los problemas sobre los puntos dobles desaparecieran de alguna manera en el límite infinito.
Un mango Casson tiene un esqueleto bidimensional, que se puede construir de la siguiente manera.
Podemos representar estos esqueletos mediante árboles con raíces tales que cada punto esté unido a un número finito de otros puntos: el árbol tiene un punto para cada disco y una línea que une los puntos si los discos correspondientes se intersecan en el esqueleto.
Se construye un mango Casson "engrosando" la construcción bidimensional anterior para dar un objeto de cuatro dimensiones: reemplazamos cada disco por una copia de . De manera informal, podemos pensar en esto como si tomáramos un pequeño vecindario del esqueleto (pensado como incrustado en alguna variedad de cuatro dimensiones). Hay algunas sutilezas adicionales menores al hacer esto: necesitamos hacer un seguimiento de algunos encuadres y los puntos de intersección ahora tienen una orientación.
Los mangos de Casson corresponden a árboles enraizados como los anteriores, excepto que ahora cada vértice tiene un signo adjunto para indicar la orientación del punto doble. También podemos suponer que el árbol no tiene ramas finitas, ya que las ramas finitas se pueden "desenredar", por lo que no hay diferencia.
El mango exótico más simple de Casson corresponde al árbol que es simplemente una línea de puntos semiinfinita (con todos los signos iguales). Es difeomórfico con un cono sobre el continuo de Whitehead eliminado. Existe una descripción similar de mangos de Casson más complicados, con el continuo de Whitehead reemplazado por un conjunto similar pero más complicado.
El teorema principal de Freedman sobre los mangos de Casson establece que todos son homeomorfos a ; o en otras palabras, son 2-mangos topológicos. En general, no son difeomorfos a como se deduce del teorema de Donaldson , y hay un número infinito incontable de diferentes tipos de difeomorfismo de mangos de Casson. Sin embargo, el interior de un mango de Casson es difeomorfo a ; Los mangos de Casson difieren de los mangos 2 estándar solo en la forma en que el límite está unido al interior.
El teorema de estructura de Freedman se puede utilizar para demostrar el teorema de h-cobordismo para cobordismos topológicos de 5 dimensiones, lo que a su vez implica la conjetura de Poincaré topológica de 4 dimensiones .
