En cinemática , la teoría de Burmester comprende técnicas geométricas para la síntesis de vínculos . [1] Fue introducida a fines del siglo XIX por Ludwig Burmester (1840-1927). Su enfoque fue calcular las restricciones geométricas del vínculo directamente a partir del movimiento deseado por el inventor para un vínculo flotante. Desde este punto de vista, un vínculo de cuatro barras es un vínculo flotante que tiene dos puntos restringidos a estar en dos círculos.
Burmester comenzó con un conjunto de ubicaciones, a menudo llamadas poses , para el eslabón flotante, que se ven como instantáneas del movimiento restringido de este eslabón flotante en el dispositivo que se va a diseñar. El diseño de una manivela para el eslabón ahora se convierte en encontrar un punto en el eslabón flotante en movimiento que, cuando se ve en cada una de estas posiciones especificadas, tiene una trayectoria que se encuentra en un círculo. La dimensión de la manivela es la distancia desde el punto en el eslabón flotante, llamado el punto circular, hasta el centro del círculo en el que se desplaza, llamado el punto central. [2] Dos manivelas diseñadas de esta manera forman el eslabón de cuatro barras deseado.
Esta formulación de la síntesis matemática de un enlace de cuatro barras y la solución de las ecuaciones resultantes se conoce como Teoría de Burmester. [3] [4] [5] El enfoque se ha generalizado a la síntesis de mecanismos esféricos y espaciales. [6]
La teoría de Burmester busca puntos en un cuerpo en movimiento que tengan trayectorias que se encuentren en un círculo, llamados puntos circulares. El diseñador aproxima el movimiento deseado con un número finito de posiciones de tarea; y Burmester demostró que existen puntos circulares para hasta cinco posiciones de tarea. Encontrar estos puntos circulares requiere resolver cinco ecuaciones cuadráticas con cinco incógnitas, lo que hizo utilizando técnicas de geometría descriptiva. Las construcciones gráficas de Burmester todavía aparecen en los libros de texto de teoría de máquinas hasta el día de hoy.
Dos posiciones: Como ejemplo, considere una tarea definida por dos posiciones del enlace del acoplador, como se muestra en la figura. Elija dos puntos A y B en el cuerpo, por lo que sus dos posiciones definen los segmentos A 1 B 1 y A 2 B 2 . Es fácil ver que A es un punto circular con un centro que está en la bisectriz perpendicular del segmento A 1 A 2 . De manera similar, B es un punto circular con un centro que es cualquier punto en la bisectriz perpendicular de B 1 B 2 . Se puede construir un enlace de cuatro barras desde cualquier punto en las dos bisectrices perpendiculares como los pivotes fijos y A y B como los pivotes móviles. El punto P es claramente especial, porque es una bisagra que permite el movimiento rotacional puro de A 1 B 1 a A 2 B 2 . Se llama polo de desplazamiento relativo o también centro instantáneo de rotación .
Tres posiciones: Si el diseñador especifica tres posiciones de tarea, entonces los puntos A y B en el cuerpo móvil son puntos circulares, cada uno con un punto central único. El punto central para A es el centro del círculo que pasa por A 1 , A 2 y A 3 en las tres posiciones. De manera similar, el punto central para B es el centro del círculo que pasa por B 1 , B 2 y B 3 . Por lo tanto, para tres posiciones de tarea, se obtiene un enlace de cuatro barras para cada par de puntos A y B elegidos como pivotes móviles.
Cuatro posiciones: La solución gráfica del problema de síntesis se vuelve más interesante en el caso de cuatro posiciones de tarea, porque no todos los puntos del cuerpo son puntos circulares. Cuatro posiciones de tarea dan como resultado seis polos de desplazamiento relativo, y Burmester seleccionó cuatro para formar el cuadrilátero de polos opuestos, que luego utilizó para generar gráficamente la curva del punto circular ( Kreispunktcurven ). Burmester también demostró que la curva del punto circular era una curva cúbica circular en el cuerpo en movimiento.
Cinco posiciones: Para alcanzar cinco posiciones de tarea, Burmester interseca la curva de punto circular generada por el cuadrilátero de polos opuestos para un conjunto de cuatro de las cinco posiciones de tarea, con la curva de punto circular generada por el cuadrilátero de polos opuestos para un conjunto diferente de cuatro posiciones de tarea. Cinco poses implican diez polos de desplazamiento relativo, lo que produce cuatro cuadriláteros de polos opuestos diferentes, cada uno con su propia curva de punto circular. Burmester muestra que estas curvas se intersecarán en hasta cuatro puntos, llamados puntos de Burmester , cada uno de los cuales trazará cinco puntos en un círculo alrededor de un punto central. Debido a que dos puntos circulares definen un enlace de cuatro barras, estos cuatro puntos pueden producir hasta seis enlaces de cuatro barras que guían el enlace del acoplador a través de las cinco posiciones de tarea especificadas.
El enfoque de Burmester para la síntesis de un enlace de cuatro barras se puede formular matemáticamente introduciendo transformaciones de coordenadas [ T i ] = [ A i , d i ], i = 1, ..., 5, donde [ A ] es una matriz de rotación de 2×2 y d es un vector de traslación de 2×1, que definen las posiciones de tarea de un marco móvil M especificado por el diseñador. [6]
El objetivo del procedimiento de síntesis es calcular las coordenadas w = ( w x , w y ) de un pivote móvil unido al marco móvil M y las coordenadas de un pivote fijo G = ( u , v ) en el marco fijo F que tienen la propiedad de que w se desplaza en un círculo de radio R alrededor de G . La trayectoria de w está definida por las cinco posiciones de la tarea, de modo que
Por lo tanto, las coordenadas w y G deben satisfacer las cinco ecuaciones,
Elimina el radio desconocido R restando la primera ecuación del resto para obtener las cuatro ecuaciones cuadráticas con cuatro incógnitas,
Estas ecuaciones de síntesis se pueden resolver numéricamente para obtener las coordenadas w = ( w x , w y ) y G = ( u , v ) que ubican los pivotes fijos y móviles de una manivela que se puede utilizar como parte de un mecanismo de cuatro barras. Burmester demostró que hay como máximo cuatro de estas manivelas, que se pueden combinar para producir como máximo seis mecanismos de cuatro barras que guían el acoplador a través de las cinco posiciones de trabajo especificadas.
Es útil notar que las ecuaciones de síntesis se pueden manipular en la forma,
que es el equivalente algebraico de la condición de que el pivote fijo G se encuentra en las bisectrices perpendiculares de cada uno de los cuatro segmentos W i − W 1 , i = 2, ..., 5.
Una de las aplicaciones más comunes de un mecanismo de cuatro barras es la de una varilla que conecta dos palancas , de modo que la rotación de la primera palanca impulsa la rotación de la segunda. Las palancas están articuladas a un marco de tierra y se denominan bielas de entrada y salida , y la biela se denomina eslabón de acoplamiento . El enfoque de Burmester para el diseño de un mecanismo de cuatro barras se puede utilizar para ubicar el acoplamiento de modo que cinco ángulos específicos de la biela de entrada resulten en cinco ángulos específicos de la biela de salida.
Sean θ i , i = 1, ..., 5 las posiciones angulares de la manivela de entrada, y sean ψ i , i = 1, ..., 5 los ángulos correspondientes de la manivela de salida. Por conveniencia, ubique el pivote fijo de la manivela de entrada en el origen del marco fijo, O = (0, 0), y sea el pivote fijo de la manivela de salida ubicado en C = ( c x , c y ), que es elegido por el diseñador. Las incógnitas en este problema de síntesis son las coordenadas g = ( g x , g y ) del acoplamiento del acoplador a la manivela de entrada y las coordenadas w = ( w x , w y ) del acoplamiento a la manivela de salida, medidas en sus respectivos marcos de referencia.
Si bien no se conocen las coordenadas de w y g, sus trayectorias en el marco fijo están dadas por,
donde [A(•)] denota la rotación por el ángulo dado.
Las coordenadas de w y g deben satisfacer las cinco ecuaciones de restricción,
Elimina la longitud desconocida del acoplador R restando la primera ecuación del resto para obtener las cuatro ecuaciones cuadráticas con cuatro incógnitas.
Estas ecuaciones de síntesis se pueden resolver numéricamente para obtener las coordenadas w = ( w x , w y ) y g = ( g x , g y ) que ubican el acoplador del enlace de cuatro barras.
Esta formulación de la síntesis de entrada-salida de un mecanismo de cuatro barras es una inversión de la síntesis de posición finita, donde el movimiento de la manivela de salida con respecto a la de entrada lo especifica el diseñador. Desde este punto de vista, el mecanismo de conexión a tierra OC es una manivela que satisface las posiciones finitas especificadas del movimiento de la manivela de salida con respecto a la de entrada, y los resultados de Burmester muestran que su existencia garantiza la presencia de al menos un mecanismo de acoplamiento. Además, los resultados de Burmester muestran que puede haber hasta tres de estos mecanismos de acoplamiento que proporcionen la relación de entrada-salida deseada. [6]
![{\displaystyle \mathbf {W} ^{i}=[T_{i}]\mathbf {w} =[A_{i}]\mathbf {w} +\mathbf {d} _{i},\quad i=1,\ldots ,5.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12dccfe147e313f9b0e8e6742ce79eef612fe239)
![{\displaystyle \mathbf {G} ^{i}=[A(\theta _{i})]\mathbf {g} ,\quad \mathbf {W} ^{i}=[A(\psi _{i})]\mathbf {w} +\mathbf {C} ,\quad i=1,\ldots ,5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e485c646c39a2e8a8b83960a74fb1e7368c9db92)
