Superficie focal

Superficies focales (azul, rosa) de un paraboloide hiperbólico (blanco) ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2},\;0\leq x,y\leq 0.5}$

Superficies focales (verde y roja) de la silla de montar de un mono (azul). En el punto central de la silla de montar de un mono, la curvatura de Gauss es cero, en caso contrario es negativa.

Para una superficie en tres dimensiones la superficie focal , superficie de centros o evoluta se forma tomando los centros de las esferas de curvatura, que son las esferas tangenciales cuyos radios son los recíprocos de una de las curvaturas principales en el punto de tangencia. Equivalentemente es la superficie formada por los centros de los círculos que osculan las líneas de curvatura . ^{[1] [2]}

Una superficie con un umbilical elíptico y su superficie focal.

Una superficie con un umbilical hiperbólico y su superficie focal.

Como las curvaturas principales son los valores propios de la segunda forma fundamental, hay dos en cada punto, y estas dan lugar a dos puntos de la superficie focal en cada dirección normal a la superficie. Lejos de los puntos umbilicales , estos dos puntos de la superficie focal son distintos; en los puntos umbilicales las dos láminas se juntan. Cuando la superficie tiene una cresta, la superficie focal tiene un borde cuspidal , tres de estos bordes pasan por un umbilical elíptico y solo uno por un umbilical hiperbólico. ^[3] En los puntos donde la curvatura gaussiana es cero, una lámina de la superficie focal tendrá un punto en el infinito correspondiente a la curvatura principal cero.

Si es un punto de la superficie dada, la normal unitaria y las curvaturas principales están en , entonces ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$

${\displaystyle {\vec {b}}_{1}({\vec {p}})={\vec {p}}+{\frac {\vec {n}}{k_{1}}}\quad }$y ${\displaystyle \quad {\vec {b}}_{2}({\vec {p}})={\vec {p}}+{\frac {\vec {n}}{k_{2}}}\ }$

son los dos puntos correspondientes de la superficie focal.

Casos especiales

1. La superficie focal de una esfera consta de un solo punto, su centro.
2. Una parte de la superficie focal de una superficie de revolución consiste en el eje de rotación.
3. La superficie focal de un toro consiste en el círculo directriz y el eje de rotación.
4. La superficie focal de un cicluro de Dupin consiste en un par de cónicas focales . ^[4] Los cicluros de Dupin son las únicas superficies cuyas superficies focales degeneran en dos curvas. ^[5]
5. Una parte de la superficie focal de una superficie de canal degenera a su directriz.
6. Dos cuádricas confocales (por ejemplo, un elipsoide y un hiperboloide de una lámina) pueden considerarse como superficies focales de una superficie. ^[6]

Véase también

• Enfoque (óptica)
• Evolucionar

Notas

1. David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie , Springer-Verlag, 2011, ISBN  3642199488 , p. 197.
2. Morris Kline: El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos , Volumen 2, Oxford University Press, 1990, ISBN 0199840423 
3. Porteous, Ian R. (2001), Diferenciación geométrica , Cambridge University Press, págs. 198-213, ISBN 0-521-00264-8
4. Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: El universo de las cónicas , Springer, 2016, ISBN 3662454505 , p. 147. 
5. D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Geometría y la imaginación , Chelsea Publishing Company, 1952, pág. 218.
6. Hilbert Cohn-Vossen pág. 197.

Referencias

• Chandru, V.; Dutta, D.; Hoffmann, CM (1988), Sobre la geometría de los cíclidos de Dupin , Purdue University e-Pubs.