La paradoja de Braess

Paradoja relacionada con el aumento de la capacidad de las carreteras

La paradoja de Braess es la observación de que añadir una o más carreteras a una red vial puede ralentizar el flujo de tráfico general a través de ella. La paradoja fue descubierta por primera vez por Arthur Pigou en 1920 ^[1] y posteriormente recibió el nombre del matemático alemán Dietrich Braess en 1968 ^[2].

La paradoja puede tener analogías en las redes eléctricas y los sistemas biológicos. Se ha sugerido que, en teoría, la mejora de una red que funciona mal podría lograrse eliminando ciertas partes de ella. La paradoja se ha utilizado para explicar casos de mejora del flujo de tráfico cuando se cierran las carreteras principales existentes.

Descubrimiento y definición

Dietrich Braess, matemático de la Universidad del Ruhr (Alemania) , se dio cuenta de que el flujo en una red vial podía verse obstaculizado por la incorporación de una nueva carretera cuando trabajaba en la modelización del tráfico . Su idea era que si cada conductor toma la decisión óptima en función de sus intereses sobre qué ruta es la más rápida, se podría elegir un atajo con demasiada frecuencia para que los conductores tuvieran los tiempos de viaje más cortos posibles. Más formalmente, la idea detrás del descubrimiento de Braess es que el equilibrio de Nash puede no ser equivalente al mejor flujo general a través de una red. ^[3]

La paradoja se enuncia de la siguiente manera:

"Para cada punto de una red de carreteras, se da el número de vehículos que parten de él y el destino de los mismos. En estas condiciones, se desea estimar la distribución del flujo de tráfico. La preferencia de una calle a otra depende no sólo de la calidad de la carretera, sino también de la densidad del flujo . Si cada conductor toma el camino que le parece más favorable, los tiempos de recorrido resultantes no tienen por qué ser mínimos. Además, se indica con un ejemplo que una ampliación de la red de carreteras puede provocar una redistribución del tráfico que dé lugar a tiempos de recorrido individuales más largos."

Añadir capacidad extra a una red cuando las entidades móviles eligen egoístamente su ruta puede, en algunos casos, reducir el rendimiento general. Esto se debe a que el equilibrio de Nash de un sistema de este tipo no es necesariamente óptimo. El cambio de red induce una nueva estructura de juego que conduce a un dilema del prisionero (multijugador) . En un equilibrio de Nash, los conductores no tienen ningún incentivo para cambiar sus rutas. Mientras el sistema no esté en un equilibrio de Nash, los conductores individuales pueden mejorar sus respectivos tiempos de viaje cambiando las rutas que toman. En el caso de la paradoja de Braess, los conductores seguirán cambiando hasta que alcancen el equilibrio de Nash a pesar de la reducción del rendimiento general.

Si las funciones de latencia son lineales, agregar una arista nunca puede empeorar el tiempo total de viaje en equilibrio por un factor de más de 4/3. ^[4]

Posibles instancias de la paradoja en acción

Predominio

En 1983, Steinberg y Zangwill proporcionaron, bajo supuestos razonables ^{[ se necesita una fuente de terceros ]} , las condiciones necesarias y suficientes para que la paradoja de Braess ocurra en una red de transporte general cuando se agrega una nueva ruta. (Obsérvese que su resultado se aplica a la adición de cualquier ruta nueva, no solo al caso de agregar un solo enlace). Como corolario, obtienen que la paradoja de Braess tiene aproximadamente la misma probabilidad de ocurrir que de no ocurrir cuando se agrega una nueva ruta aleatoria. ^[5]

Tráfico

Cuando se eliminó una autopista en Seúl para poder restaurar un arroyo, el flujo de tráfico en la zona mejoró.

La paradoja de Braess tiene una contraparte en el caso de una reducción de la red de carreteras, lo que puede causar una reducción del tiempo de viaje individual. ^[6]

En Seúl , Corea del Sur , el tráfico alrededor de la ciudad se aceleró cuando se eliminó una autopista como parte del proyecto de restauración de Cheonggyecheon . ^[7] En Stuttgart , Alemania , después de las inversiones en la red de carreteras en 1969, la situación del tráfico no mejoró hasta que una sección de la carretera recién construida se cerró al tráfico nuevamente. ^[8] En 1990, el cierre temporal de la calle 42 en Manhattan , ciudad de Nueva York , para el Día de la Tierra redujo la cantidad de congestión en el área. ^[9] En 2008, Youn, Gastner y Jeong demostraron rutas específicas en Boston, la ciudad de Nueva York y Londres donde eso realmente podría ocurrir y señalaron carreteras que podrían cerrarse para reducir los tiempos de viaje previstos. ^[10] En 2009, Nueva York experimentó con cierres de Broadway en Times Square y Herald Square , lo que resultó en un mejor flujo de tráfico y plazas peatonales permanentes. ^[11]

En 2012, Paul Lecroart, del Instituto de Planificación y Desarrollo de Île-de-France , escribió que "A pesar de los temores iniciales, la eliminación de las carreteras principales no provoca un deterioro de las condiciones del tráfico más allá de los ajustes iniciales. Las transferencias de tráfico son limitadas y están por debajo de las expectativas". ^[6] También señala que algunos viajes en vehículos privados (y la actividad económica relacionada con ellos) no se transfieren al transporte público y simplemente desaparecen ("se evaporan"). ^[6]

El mismo fenómeno se observó también cuando el cierre de una vía no era parte de un proyecto urbanístico, sino consecuencia de un accidente. En 2012, en Rouen , un puente fue destruido por un incendio. En los dos años siguientes, se utilizaron más otros puentes, pero el número total de vehículos que los cruzaban se redujo. ^[6]

Electricidad

En 2012, los científicos del Instituto Max Planck de Dinámica y Autoorganización demostraron, a través de modelos computacionales , el potencial de que el fenómeno ocurra en redes de transmisión de energía donde la generación de energía está descentralizada. ^[12]

En 2012, un equipo internacional de investigadores del Institut Néel (CNRS, Francia), INP (Francia), IEMN (CNRS, Francia) y UCL (Bélgica) publicó en Physical Review Letters ^[13] un artículo que mostraba que la paradoja de Braess puede ocurrir en sistemas electrónicos mesoscópicos . En particular, demostraron que agregar un camino para los electrones en una red nanoscópica reducía paradójicamente su conductancia. Esto se demostró tanto mediante simulaciones como mediante experimentos a baja temperatura utilizando microscopía de puerta de barrido .

Ballestas

A la derecha hay dos resortes unidos en serie por una cuerda corta. Cuando se quita la cuerda corta que conecta B y C (izquierda), el peso cuelga más alto.

Un modelo con resortes y cuerdas puede demostrar que un peso colgado puede elevarse en altura a pesar de que se corte una cuerda tensa en el sistema de suspensión, y se desprende de la misma estructura matemática que la paradoja de Braess original. ^[14]

En el caso de dos resortes idénticos unidos en serie por una cuerda corta, su constante elástica total es la mitad de la de cada resorte individual, lo que da como resultado un estiramiento largo cuando se cuelga un cierto peso. Esto sigue siendo así cuando añadimos dos cuerdas más largas en holgura para conectar el extremo inferior del resorte superior al peso colgado (extremo inferior del resorte inferior) y el extremo superior del resorte inferior al punto de suspensión (extremo superior del resorte superior). Sin embargo, cuando se corta la cuerda corta, las cuerdas más largas se tensan y los dos resortes se vuelven paralelos (en el sentido mecánico ) entre sí. La constante elástica total es el doble de la de cada resorte individual y, cuando la longitud de las cuerdas largas no es demasiado larga, el peso colgado será en realidad mayor en comparación con antes de que se cortara la cuerda corta.

El hecho de que el peso colgado se eleve a pesar de cortar una cuerda tensa (la cuerda corta) en el sistema de suspensión es contra-intuitivo, pero se desprende de la ley de Hooke y del modo en que los resortes funcionan en serie y en paralelo.

Biología

Adilson E. Motter y sus colaboradores demostraron que los resultados de la paradoja de Braess pueden ocurrir a menudo en sistemas biológicos y ecológicos. ^[15] Motter sugiere que la eliminación de una parte de una red perturbada podría rescatarla. Para la gestión de recursos de las redes alimentarias de especies en peligro de extinción , en las que la extinción de muchas especies podría seguir secuencialmente, la eliminación selectiva de una especie condenada de la red podría en principio producir el resultado positivo de prevenir una serie de extinciones adicionales. ^[16]

Estrategia de deportes de equipo

Se ha sugerido que en el baloncesto, un equipo puede verse como una red de posibilidades para una ruta hacia la canasta, con una eficiencia diferente para cada ruta, y un jugador estrella podría reducir la eficiencia general del equipo, de manera análoga a un atajo que se usa en exceso y aumenta los tiempos generales para un viaje a través de una red de carreteras. Una solución propuesta para lograr la máxima eficiencia en la puntuación es que un jugador estrella lance aproximadamente la misma cantidad de tiros que sus compañeros de equipo. Sin embargo, este enfoque no está respaldado por evidencia estadística sólida, como se señala en el artículo original. ^[17]

Redes blockchain

Se ha demostrado que la paradoja de Braess aparece en las redes de canales de pago de blockchain, también conocidas como redes de capa 2. ^[18] Las redes de canales de pago implementan una solución al problema de escalabilidad de las redes de blockchain, permitiendo transacciones de altas tasas sin registrarlas en la blockchain. En una red de este tipo, los usuarios pueden establecer un canal bloqueando fondos en cada lado del canal. Las transacciones se ejecutan a través de un canal que conecta directamente al pagador y al beneficiario o a través de una ruta de canales con usuarios intermedios que solicitan algunas tarifas.

Si bien, intuitivamente, la apertura de nuevos canales permite una mayor flexibilidad de enrutamiento, agregar un nuevo canal puede generar tarifas más altas y, de manera similar, cerrar canales existentes puede reducir las tarifas. El documento presentó un análisis teórico con condiciones para la paradoja, métodos para mitigarla, así como un análisis empírico que muestra la aparición en la práctica de la paradoja y sus efectos en la red Lightning de Bitcoin.

Enfoque matemático

Ejemplo

Consider a road network as shown in the adjacent diagram on which 4000 drivers wish to travel from point Start to End. The travel time in minutes on the Start–A road is the number of travellers (T) divided by 100, and on Start–B is a constant 45 minutes (likewise with the roads across from them). If the dashed road does not exist (so the traffic network has 4 roads in total), the time needed to drive Start–A–End route with ${\displaystyle a}$ drivers would be ${\displaystyle {\tfrac {a}{100}}+45}$. The time needed to drive the Start–B–End route with ${\displaystyle b}$ drivers would be ${\displaystyle {\tfrac {b}{100}}+45}$. As there are 4000 drivers, the fact that ${\displaystyle a+b=4000}$ can be used to derive the fact that ${\displaystyle a=b=2000}$ when the system is at equilibrium. Therefore, each route takes ${\displaystyle {\tfrac {2000}{100}}+45=65}$ minutes. If either route took less time, it would not be a Nash equilibrium: a rational driver would switch from the longer route to the shorter route.

Now suppose the dashed line A–B is a road with an extremely short travel time of approximately 0 minutes. Suppose that the road is opened and one driver tries Start–A–B–End. To his surprise he finds that his time is ${\displaystyle {\tfrac {2000}{100}}+{\tfrac {2001}{100}}=40.01}$ minutes, a saving of almost 25 minutes. Soon, more of the 4000 drivers are trying this new route. The time taken rises from 40.01 and keeps climbing. When the number of drivers trying the new route reaches 2500, with 1500 still in the Start–B–End route, their time will be ${\displaystyle {\tfrac {2500}{100}}+{\tfrac {4000}{100}}=65}$ minutes, which is no improvement over the original route. Meanwhile, those 1500 drivers have been slowed to ${\displaystyle 45+{\tfrac {4000}{100}}=85}$ minutes, a 20-minute increase. They are obliged to switch to the new route via A too, so it now takes ${\displaystyle {\tfrac {4000}{100}}+{\tfrac {4000}{100}}=80}$ minutes. Nobody has any incentive to travel A-End or Start-B because any driver trying them will take 85 minutes. Thus, the opening of the cross route triggers an irreversible change to it by everyone, costing everyone 80 minutes instead of the original 65. If every driver were to agree not to use the A–B path, or if that route were closed, every driver would benefit by a 15-minute reduction in travel time.

Existence of an equilibrium

If one assumes the travel time for each person driving on an edge to be equal, an equilibrium will always exist.

Let ${\displaystyle L_{e}(x)}$ be the formula for the travel time of each person traveling along edge ${\displaystyle e}$ when ${\displaystyle x}$ people take that edge. Suppose there is a traffic graph with ${\displaystyle x_{e}}$ people driving along edge ${\displaystyle e}$. Let the energy of ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle E(e)}$, be

${\displaystyle \sum _{i=1}^{x_{e}}L_{e}(i)=L_{e}(1)+L_{e}(2)+\cdots +L_{e}(x_{e})}$

(If ${\displaystyle x_{e}=0}$ let ${\displaystyle E(e)=0}$). Let the total energy of the traffic graph be the sum of the energies of every edge in the graph.

Take a choice of routes that minimizes the total energy. Such a choice must exist because there are finitely many choices of routes. That will be an equilibrium.

Supongamos, por contradicción, que este no es el caso. Entonces, hay al menos un conductor que puede cambiar la ruta y mejorar el tiempo de viaje. Supongamos que la ruta original es mientras que la nueva ruta es . Sea energía total del gráfico de tráfico y considere lo que sucede cuando se elimina la ruta. La energía de cada borde se reducirá en y, por lo tanto, se reducirá en . Ese es simplemente el tiempo de viaje total necesario para tomar la ruta original. Si luego se agrega la nueva ruta, , la energía total aumentará en el tiempo de viaje total necesario para tomar la nueva ruta. Debido a que la nueva ruta es más corta que la ruta original, debe disminuir en relación con la configuración original, lo que contradice el supuesto de que el conjunto original de rutas minimizaba la energía total. ${\displaystyle e_{0},e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle e'_{0},e'_{1},\ldots ,e'_{m}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e_{0},e_{1},...e_{n}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle L_{e_{i}}(x_{e_{i}})}$ ${\displaystyle E}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n}L_{e_{i}}(x_{e_{i}})}$ ${\displaystyle e'_{0},e'_{1},\ldots ,e'_{m}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Por lo tanto, la elección de rutas que minimicen la energía total es un equilibrio.

Encontrar un equilibrio

La prueba anterior describe un procedimiento conocido como dinámica de mejor respuesta , que encuentra un equilibrio para un gráfico de tráfico lineal y termina en un número finito de pasos. El algoritmo se denomina "mejor respuesta" porque en cada paso del algoritmo, si el gráfico no está en equilibrio, entonces algún conductor tiene una mejor respuesta a las estrategias de todos los demás conductores y cambia a esa respuesta.

Pseudocódigo para la dinámica de mejor respuesta:

Sea P algún patrón de tráfico. mientras  P no esté en equilibrio: Calcular la energía potencial e de P  para cada conductor d en P : para cada camino alternativo p disponible para d : Calcular la energía potencial n del patrón cuando d toma el camino p  si  n < e : modificar P para que d tome la ruta p continúe en la parte superior mientras

En cada paso, si un conductor en particular pudiera obtener mejores resultados si tomara un camino alternativo (una "mejor respuesta"), al hacerlo se reduce estrictamente la energía del gráfico. Si ningún conductor tiene una mejor respuesta, el gráfico está en equilibrio. Dado que la energía del gráfico disminuye estrictamente con cada paso, el algoritmo de dinámica de mejor respuesta debe detenerse en algún momento.

¿Qué tan lejos del nivel óptimo está el tráfico en equilibrio?

Si las funciones del tiempo de viaje son lineales, es decir, para algunos , entonces, en el peor de los casos, el tráfico en el equilibrio de minimización de energía es el doble de malo que el socialmente óptimo. ^[19] ${\displaystyle L_{e}(x)=a_{e}x+b_{e}}$ ${\displaystyle a_{e},b_{e}\geq 0}$

Demostración: Sea una configuración de tráfico con energía asociada y tiempo total de viaje . Para cada arista, la energía es la suma de una progresión aritmética , y utilizando la fórmula para la suma de una progresión aritmética, se puede demostrar que . Si es el flujo de tráfico socialmente óptimo y es el flujo de tráfico que minimiza la energía, la desigualdad implica que . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle E(Z)}$ ${\displaystyle T(Z)}$ ${\displaystyle E(Z)\leq T(Z)\leq 2E(Z)}$ ${\displaystyle Z_{o}}$ ${\displaystyle Z_{e}}$ ${\displaystyle T(Z_{e})\leq 2E(Z_{e})\leq 2E(Z_{o})\leq 2T(Z_{o})}$

Por lo tanto, el tiempo total de viaje para el equilibrio de minimización de energía es como máximo el doble de malo que para el flujo óptimo.

Efecto de la topología de la red

Mlichtaich ^[20] demostró que la paradoja de Braess puede ocurrir si y sólo si la red no es un gráfico serie-paralelo .

Véase también

• Paradoja de Downs-Thomson  : paradoja en la ingeniería de tráfico relacionada con las mejoras en la red de carreteras
• Paradoja de Jevons  : la eficiencia conduce a una mayor demanda
• Constante de Marchetti  : tiempo medio de desplazamiento
• Posición de Lewis-Mogridge  – Teoría del tráfico vial
• El precio de la anarquía en los juegos de congestión : un análisis cuantitativo de la pérdida de eficiencia causada por las externalidades de la congestión.

Referencias

1. Pigou, Arthur Cecil (24 de octubre de 2017), "Bienestar y bienestar económico", The Economics of Welfare , Routledge, págs. 3-22, doi :10.4324/9781351304368-1, ISBN 978-1-351-30436-8, consultado el 24 de marzo de 2023
2. Braess, D. (diciembre de 1968). "Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung". Unternehmensforschung Investigación de operaciones - Recherche Opérationnelle . 12 (1): 258–268. doi :10.1007/bf01918335. ISSN  0340-9422. S2CID  39202189.
3. New Scientist, 42nd St Paradox: Hay que descartar a los mejores para mejorar las cosas, 16 de enero de 2014 por Justin Mullins
4. Roughgarden, Tim; Tardos, Éva. "¿Qué tan malo es el enrutamiento egoísta?" (PDF) . Revista de la ACM. Archivado (PDF) del original el 9 de abril de 2016. Consultado el 18 de julio de 2016 .
5. Steinberg, R.; Zangwill, WI (1983). "La prevalencia de la paradoja de Braess". Transportation Science . 17 (3): 301. doi :10.1287/trsc.17.3.301.
6. (en francés) Olivier Razemon, "Le paradoxde de l'«évaporation» du trafic automóvil", Le Monde , jueves 25 de agosto de 2016, página 5. Publicado en línea como "Quand les voitures s'évaporent" el 24 de agosto 2016 y actualizado el 25 de agosto de 2016 (página visitada el 3 de agosto de 2023).
7. Easley, D.; Kleinberg, J. (2008). Redes . Cornell Store Press. pág. 71.
8. Knödel, W. (31 de enero de 1969). Graphentheoretische Methoden und Ihre Anwendungen. Springer-Verlag . págs. 57–59. ISBN 978-3-540-04668-4.
9. Kolata, Gina (25 de diciembre de 1990). "¿Qué pasaría si cerraran la calle 42 y nadie se diera cuenta?". New York Times . Consultado el 16 de noviembre de 2008 .
10. Youn, Hyejin; Gastner, Michael; Jeong, Hawoong (2008). "El precio de la anarquía en las redes de transporte: control de la eficiencia y la optimalidad". Physical Review Letters . 101 (12): 128701. arXiv : 0712.1598 . Bibcode :2008PhRvL.101l8701Y. doi :10.1103/PhysRevLett.101.128701. ISSN  0031-9007. PMID  18851419. S2CID  20779255.
11. Boyd, Andrew. "La paradoja de Braess". Motores de nuestro ingenio . Episodio 2814.
12. Staff (Max Planck Institute) (14 de septiembre de 2012), "Estudio: La energía solar y eólica puede estabilizar la red eléctrica", R&D Magazine , rdmag.com , consultado el 14 de septiembre de 2012
13. Pala, MG; Baltazar, S.; Liu, P.; Sellier, H.; Hackens, B.; Martins, F.; Bayot, V.; Wallart, X.; Desplanque, L.; Huant, S. (2012) [6 de diciembre de 2011 (v1)]. "Ineficiencia de transporte en redes mesoscópicas ramificadas: un análogo de la paradoja de Braess". Physical Review Letters . 108 (7): 076802. arXiv : 1112.1170 . Código Bibliográfico :2012PhRvL.108g6802P. doi :10.1103/PhysRevLett.108.076802. ISSN  0031-9007. Número de modelo  : PMID22401236 . Número de modelo: S2CID23243934  .
14. Mould, Steve (29 de julio de 2021). «La paradoja de la primavera». YouTube . Consultado el 2 de diciembre de 2022 .
15. Motter, Adilson E. (2010). "Mejora del rendimiento de la red mediante antagonismo: desde rescates sintéticos hasta combinaciones de múltiples fármacos". BioEssays . 32 (3): 236–245. arXiv : 1003.3391 . doi :10.1002/bies.200900128. PMC 2841822 . PMID  20127700. 
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17. Skinner, Brian; Gastner, Michael T; Jeong, Hawoong (2009). "El precio de la anarquía en el baloncesto". Revista de análisis cuantitativo en deportes . 6 (1). arXiv : 0908.1801 . Bibcode :2009arXiv0908.1801S. CiteSeerX 10.1.1.215.1658 . doi :10.2202/1559-0410.1217. S2CID  119275142. 
18. Kotzer, Arad; Rottenstreich, Ori (2023). "Paradoja de Braess en redes de pago de cadena de bloques de capa 2". Conferencia internacional IEEE sobre cadena de bloques y criptomonedas (ICBC) de 2023. págs. 1–9. doi :10.1109/ICBC56567.2023.10174986. ISBN 979-8-3503-1019-1.
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20. Milchtaich, Igal (1 de noviembre de 2006). "Topología de red y eficiencia del equilibrio". Juegos y comportamiento económico . 57 (2): 321–346. doi :10.1016/j.geb.2005.09.005. hdl : 10419/259308 . ISSN  0899-8256.

Lectura adicional

• Braess, D. (1969). "Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung" [Sobre una paradoja de la planificación del tráfico] (PDF) . Unternehmensforschung (en alemán). 12 : 258–268.(traducción de Nagurney y Wakolbinger)
• Katharina Belaga-Werbitzky: „Das Paradoxon von Braess in erweiterten Wheatstone-Netzen mit M/M/1-Bedienern“ ISBN 3-89959-123-2 
• La traducción del artículo de Braess de 1968 del alemán al inglés aparece como el artículo "On a paradox of transportation planning" (Sobre una paradoja en la planificación del tráfico), de D. Braess, A. Nagurney y T. Wakolbinger, en la revista Transportation Science, volumen 39, 2005, págs. 446-450. Más información Archivado el 27 de septiembre de 2011 en Wayback Machine.
• Irvine, AD (1993). "Cómo la paradoja de Braess resuelve el problema de Newcomb". Estudios internacionales en filosofía de la ciencia . 7 (2): 141–160. doi :10.1080/02698599308573460.
• Steinberg, R.; Zangwill, WI (1983). "La prevalencia de la paradoja de Braess". Transportation Science . 17 (3): 301. doi :10.1287/trsc.17.3.301.
• Rapoport, A.; Kugler, T.; Dugar, S.; Gisches, EJ (2009). "Elección de rutas en redes de tráfico congestionadas: pruebas experimentales de la paradoja de Braess" (PDF) . Juegos y comportamiento económico . 65 (2): 538–571. doi :10.1016/j.geb.2008.02.007.
• T. Roughgarden. “El precio de la anarquía”. MIT Press, Cambridge, MA, 2005.

Enlaces externos

• Paradojas de las pruebas de software (diciembre de 2005) Enlace directo
• Página de inicio de Dietrich Braess
• La paradoja de la red de carreteras
• La paradoja de la primavera, video de YouTube de Steve Mould que explica la paradoja de Braess y una paradoja de la primavera estrechamente relacionada