La máquina de Atwood que hace pivotar

Variación de la máquina de Atwood que incorpora un péndulo

La máquina de Atwood oscilante. La masa más pequeña, denominada m, puede oscilar libremente, mientras que la masa más grande, M, solo puede moverse hacia arriba y hacia abajo. Supongamos que los pivotes son puntos.

La máquina de Atwood oscilante (SAM) es un mecanismo que se parece a una máquina de Atwood simple excepto que una de las masas puede oscilar en un plano bidimensional, lo que produce un sistema dinámico que es caótico para algunos parámetros del sistema y condiciones iniciales .

En concreto, se compone de dos masas (el péndulo , masa m y el contrapeso, masa M ) conectadas por una cuerda inextensible y sin masa suspendida sobre dos poleas sin fricción de radio cero, de modo que el péndulo puede oscilar libremente alrededor de su polea sin colisionar con el contrapeso. ^[1]

La máquina de Atwood convencional sólo permite soluciones "fuera de control" ( es decir , el péndulo o el contrapeso finalmente chocan con su polea), excepto para . Sin embargo, la máquina de Atwood oscilante con tiene un gran espacio de parámetros de condiciones que conducen a una variedad de movimientos que pueden clasificarse como terminantes o no terminantes, periódicos , cuasiperiódicos o caóticos, acotados o ilimitados, singulares o no singulares ^{[1] [2]} debido a que la fuerza centrífuga reactiva del péndulo contrarresta el peso del contrapeso. ^[1] La investigación sobre el SAM comenzó como parte de una tesis de último año de 1982 titulada Sonrisas y lágrimas (en referencia a la forma de algunas trayectorias del sistema) de Nicholas Tufillaro en Reed College , dirigida por David J. Griffiths . ^[3] ${\displaystyle M=m}$ ${\displaystyle M>m}$

Ecuaciones de movimiento

Movimiento de la máquina de Atwood oscilante para M/m = 4,5

La máquina de Atwood oscilante es un sistema con dos grados de libertad. Podemos derivar sus ecuaciones de movimiento utilizando la mecánica hamiltoniana o la mecánica lagrangiana . Sea la masa oscilante y la masa no oscilante . La energía cinética del sistema, , es: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}Mv_{M}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)\end{aligned}}}$

donde es la distancia de la masa oscilante a su pivote, y es el ángulo de la masa oscilante con respecto a la línea recta que apunta hacia abajo. La energía potencial se debe únicamente a la aceleración de la gravedad : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}}$

Podemos entonces escribir el lagrangiano , y el hamiltoniano, del sistema: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=T-U\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-Mgr+mgr\cos {\theta }\\{\mathcal {H}}&=T+U\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}}$

Podemos entonces expresar el hamiltoniano en términos de los momentos canónicos, , : ${\displaystyle p_{r}}$ ${\displaystyle p_{\theta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{r}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {r}}}}=(M+m){\dot {r}}\\p_{\theta }&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\\\therefore {\mathcal {H}}&={\frac {p_{r}^{2}}{2(M+m)}}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{2mr^{2}}}+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}}$

El análisis de Lagrange se puede aplicar para obtener dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas de segundo orden en y . En primer lugar, la ecuación: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)\\-mgr\sin {\theta }&=2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}+mr^{2}{\ddot {\theta }}\\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+g\sin {\theta }&=0\end{aligned}}}$

Y la ecuación: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)\\mr{\dot {\theta }}^{2}-Mg+mg\cos {\theta }&=(M+m){\ddot {r}}\end{aligned}}}$

Simplificamos las ecuaciones definiendo la relación de masas . Lo anterior se convierte entonces en: ${\displaystyle \mu ={\frac {M}{m}}}$

${\displaystyle (\mu +1){\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}+g(\mu -\cos {\theta })=0}$

El análisis hamiltoniano también se puede aplicar para determinar cuatro EDO de primer orden en términos de , y sus momentos canónicos correspondientes y : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p_{r}}$ ${\displaystyle p_{\theta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {r}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{r}}}}={\frac {p_{r}}{M+m}}\\{\dot {p_{r}}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {r}}}={\frac {p_{\theta }^{2}}{mr^{3}}}-Mg+mg\cos {\theta }\\{\dot {\theta }}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{\theta }}}}={\frac {p_{\theta }}{mr^{2}}}\\{\dot {p_{\theta }}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\theta }}}=-mgr\sin {\theta }\end{aligned}}}$

Obsérvese que en ambas derivaciones, si se establece una velocidad angular en cero, el caso especial resultante es la máquina Atwood regular sin balanceo : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$

${\displaystyle {\ddot {r}}=g{\frac {1-\mu }{1+\mu }}=g{\frac {m-M}{m+M}}}$

La máquina de Atwood oscilante tiene un espacio de fases de cuatro dimensiones definido por , y sus momentos canónicos correspondientes y . Sin embargo, debido a la conservación de la energía, el espacio de fases está restringido a tres dimensiones. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p_{r}}$ ${\displaystyle p_{\theta }}$

Sistema con poleas masivas

Si se considera que las poleas del sistema tienen momento de inercia y radio , el hamiltoniano del SAM es entonces: ^[4] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }}\right)=\underbrace {{\frac {1}{2}}M_{t}\left(R{\dot {\theta }}-{\dot {r}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}} _{T}+\underbrace {gr\left(M-m\cos {\theta }\right)+gR\left(m\sin {\theta }-M\theta \right)} _{U},}$

Donde M _t es la masa total efectiva del sistema,

${\displaystyle M_{t}=M+m+{\frac {I}{R^{2}}}}$

Esto se reduce a la versión anterior cuando y se vuelven cero. Las ecuaciones de movimiento son ahora: ^[4] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{t}({\ddot {r}}-R{\ddot {\theta }})&=r{\dot {\theta }}^{2}+g(\cos {\theta }-\mu )\\r{\ddot {\theta }}&=-2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+R{\dot {\theta }}^{2}-g\sin {\theta }\\\end{aligned}}}$

dónde . ${\displaystyle \mu _{t}=M_{t}/m}$

Integrabilidad

Los sistemas hamiltonianos se pueden clasificar como integrables y no integrables. SAM es integrable cuando la relación de masas . ^[5] El sistema también parece bastante regular para , pero el caso es la única relación de masas integrable conocida. Se ha demostrado que el sistema no es integrable para . ^[6] Para muchos otros valores de la relación de masas (y condiciones iniciales) SAM muestra un movimiento caótico . ${\displaystyle \mu =M/m=3}$ ${\displaystyle \mu =4n^{2}-1=3,15,35,...}$ ${\displaystyle \mu =3}$ ${\displaystyle \mu \in (0,1)\cup (3,\infty )}$

Los estudios numéricos indican que cuando la órbita es singular (condiciones iniciales: ), el péndulo realiza un único bucle simétrico y retorna al origen, independientemente del valor de . Cuando es pequeño (casi vertical), la trayectoria describe una "lágrima", cuando es grande, describe un "corazón". Estas trayectorias se pueden resolver exactamente de manera algebraica, lo cual es inusual para un sistema con un hamiltoniano no lineal. ^[7] ${\displaystyle r=0,{\dot {r}}=v,\theta =\theta _{0},{\dot {\theta }}=0}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Trayectorias

La masa oscilante de la máquina de Atwood recorre trayectorias u órbitas interesantes cuando se la somete a diferentes condiciones iniciales y para diferentes proporciones de masas. Estas incluyen órbitas periódicas y órbitas de colisión.

Órbitas no singulares

Para ciertas condiciones, el sistema exhibe un movimiento armónico complejo . ^[1] La órbita se llama no singular si la masa oscilante no toca la polea.

Selección de órbitas no singulares

• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =2}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =3}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =5}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =6}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =16}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =19}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =21}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =24}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$

Órbitas periódicas

Órbitas tipo A con un rango de 0,1 a 3,1. ${\displaystyle \theta _{0}}$

Cuando los diferentes componentes armónicos del sistema están en fase, la trayectoria resultante es simple y periódica, como la trayectoria de la "sonrisa", que se asemeja a la de un péndulo ordinario , y varios bucles. ^{[3] [8]} En general, existe una órbita periódica cuando se cumple lo siguiente: ^[1]

${\displaystyle r(t+\tau )=r(t),\,\theta (t+\tau )=\theta (t)}$

El caso más simple de órbitas periódicas es la órbita de "sonrisa", que Tufillaro denominó órbitas tipo A en su artículo de 1984. ^[1]

Selección de órbitas periódicas

• 
  Una órbita de "sonrisa" de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =1.665}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =2.394}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =1.1727}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =1.555}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$

Órbitas singulares

El movimiento es singular si en algún punto la masa oscilante pasa por el origen. Como el sistema es invariante ante la inversión del tiempo y la traslación, es equivalente a decir que el péndulo comienza en el origen y se dispara hacia afuera: ^[1]

${\displaystyle r(0)=0}$

La región cercana al pivote es singular, ya que es cercana a cero y las ecuaciones de movimiento requieren dividir por . Por lo tanto, se deben utilizar técnicas especiales para analizar rigurosamente estos casos. ^[9] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Los siguientes son gráficos de órbitas singulares seleccionadas arbitrariamente.

Selección de órbitas singulares

• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =10}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$
• 
  Una órbita de la máquina de Atwood oscilante para , , y velocidad inicial cero. ${\displaystyle \mu =25}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$

Órbitas de colisión

Órbitas tipo B con un rango de 0,1 a 3,1. ${\displaystyle \theta _{0}}$

Las órbitas de colisión (o de terminación singular) son un subconjunto de órbitas singulares que se forman cuando la masa oscilante es expulsada de su pivote con una velocidad inicial, de modo que regresa al pivote (es decir, choca con el pivote):

${\displaystyle r(\tau )=r(0)=0,\,\tau >0}$

El caso más simple de órbitas de colisión son aquellas con una relación de masas de 3, que siempre regresarán simétricamente al origen después de ser expulsadas del origen, y se denominaron órbitas de tipo B en el artículo inicial de Tufillaro. ^[1] También se las denominó órbitas de lágrima, de corazón o de oreja de conejo debido a su apariencia. ^{[3] [7] [8] [9]}

Cuando la masa oscilante vuelve al origen, la masa del contrapeso debe cambiar instantáneamente de dirección, lo que provoca una tensión infinita en la cuerda que la conecta. Por lo tanto, podemos considerar que el movimiento termina en este momento. ^[1] ${\displaystyle M}$

Limitación

Para cualquier posición inicial, se puede demostrar que la masa oscilante está limitada por una curva que es una sección cónica . ^[2] El pivote es siempre un foco de esta curva límite. La ecuación para esta curva se puede derivar analizando la energía del sistema y utilizando la conservación de la energía. Supongamos que se libera desde el reposo en y . Por lo tanto, la energía total del sistema es: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}}$

Sin embargo, observe que en el caso límite, la velocidad de la masa oscilante es cero. ^[2] Por lo tanto, tenemos:

${\displaystyle Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}}$

Para ver que es la ecuación de una sección cónica, aislamos para : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {h}{1-{\frac {\cos {\theta }}{\mu }}}}\\h&=r_{0}\left(1-{\frac {\cos {\theta _{0}}}{\mu }}\right)\end{aligned}}}$

Nótese que el numerador es una constante que depende únicamente de la posición inicial en este caso, ya que hemos asumido que la condición inicial es el reposo. Sin embargo, la constante de energía también se puede calcular para una velocidad inicial distinta de cero, y la ecuación sigue siendo válida en todos los casos. ^[2] La excentricidad de la sección cónica es . Para , se trata de una elipse, y el sistema está acotado y la masa oscilante siempre permanece dentro de la elipse. Para , es una parábola y para es una hipérbola; en cualquiera de estos casos, no está acotada. A medida que se hace arbitrariamente grande, la curva límite se aproxima a un círculo. La región encerrada por la curva se conoce como la región de Hill. ^[2] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}}$ ${\displaystyle \mu >1}$ ${\displaystyle \mu =1}$ ${\displaystyle \mu <1}$ ${\displaystyle \mu }$

Reciente ampliación tridimensional

En 2016 se anunció un nuevo caso integrable para el problema de la máquina Atwood oscilante tridimensional (3D-SAM). ^[10] Al igual que la versión 2D, el problema es integrable cuando . ${\displaystyle M=3m}$

Referencias

1. Tufillaro, Nicholas B.; Abbott, Tyler A.; Griffiths, David J. (1984). "La máquina de Atwood oscilante". Revista estadounidense de física . 52 (10): 895–903. Código Bibliográfico :1984AmJPh..52..895T. doi :10.1119/1.13791.
2. Tufillaro, Nicolás B.; Nunes, A.; Casasayas, J. (1988). "Órbitas ilimitadas de una máquina de Atwood oscilante". Revista Estadounidense de Física . 56 : 1117. Código bibliográfico : 1988AmJPh..56.1117T. doi :10.1119/1.15774.
3. Tufillaro, Nicholas B. (1982). Sonrisas y lágrimas (Tesis). Reed College .
4. Pujol, Olivier; Perez, JP; Simo, C.; Simon, S.; Weil, JA (2010). "Máquina de Atwood oscilante: resultados experimentales y numéricos, y un estudio teórico". Physica D . 239 (12): 1067–1081. arXiv : 0912.5168 . Código Bibliográfico :2010PhyD..239.1067P. doi :10.1016/j.physd.2010.02.017.
5. Tufillaro, Nicholas B. (1986). "Movimiento integrable de una máquina de Atwood oscilante". American Journal of Physics . 54 (2): 142. Bibcode :1986AmJPh..54..142T. doi :10.1119/1.14710.
6. Casasayas, J.; Nunes, A.; Tufillaro, N. (1990). "Máquina de Atwood oscilante: integrabilidad y dinámica". Journal de Physique . 51 (16): 1693–1702. doi :10.1051/jphys:0199000510160169300. ISSN  0302-0738.
7. Tufillaro, Nicholas B. (1994). "Órbitas en forma de lágrima y de corazón de una máquina Atwoods oscilante". American Journal of Physics . 62 (3): 231–233. arXiv : chao-dyn/9302006 . Código Bibliográfico :1994AmJPh..62..231T. doi :10.1119/1.17602.
8. Tufillaro, Nicholas B. (1985). "Movimientos de una máquina de Atwood oscilante". Journal de Physique . 46 (9): 1495–1500. doi :10.1051/jphys:019850046090149500.
9. Tufillaro, Nicholas B. (1985). "Órbitas de colisión de una máquina de Atwood oscilante" (PDF) . Journal de Physique . 46 : 2053–2056. doi :10.1051/jphys:0198500460120205300.
10. Elmandouh, AA (2016). "Sobre la integrabilidad del movimiento de la máquina Atwood 3D-Swinging y problemas relacionados". Physics Letters A . 380 : 989. Bibcode :2016PhLA..380..989E. doi :10.1016/j.physleta.2016.01.021.

Lectura adicional

• Almeida, MA, Moreira, IC y Santos, FC (1998) "Sobre el análisis de Ziglin-Yoshida para algunas clases de sistemas hamiltonianos homogéneos", Revista Brasileña de Física Vol.28 n.4 São Paulo Dic.
• Barrera, Emmanuel Jan (2003) Dinámica de una máquina de Atwood de doble balanceo , Tesis de licenciatura, Instituto Nacional de Física, Universidad de Filipinas.
• Babelon, O, M. Talon, MC Peyranere (2010), "Análisis de Kowalevski de una máquina de Atwood oscilante", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical Vol. 43 (8).
• Bruhn, B. (1987) "Caos y orden en sistemas débilmente acoplados de osciladores no lineales", Physica Scripta Vol.35(1).
• Casasayas, J., NB Tufillaro y A. Nunes (1989) "Variedad infinita de una máquina de Atwood oscilante", European Journal of Physics Vol.10(10), p173.
• Casasayas, J, A. Nunes y NB Tufillaro (1990) "La máquina oscilante de Atwood: integrabilidad y dinámica", Journal de Physique Vol.51, p1693.
• Chowdhury, A. Roy y M. Debnath (1988) "Máquina Atwood oscilante. Región de resonancia lejana y cercana", International Journal of Theoretical Physics , Vol. 27(11), p1405-1410.
• Griffiths DJ y TA Abbott (1992) "Comentario sobre "Una sorprendente demostración de mecánica", American Journal of Physics Vol.60(10), p951-953.
• Moreira, IC y MA Almeida (1991) "Simetrías de Noether y la máquina oscilante de Atwood", Journal of Physics II France 1, p711-715.
• Nunes, A., J. Casasayas y NB Tufillaro (1995) "Órbitas periódicas de la máquina oscilante integrable de Atwood", American Journal of Physics Vol.63(2), p121-126.
• Ouazzani-TH, A. y Ouzzani-Jamil, M., (1995) "Bifurcaciones de los toros de Liouville de un caso integrable de la máquina de Atwood oscilante", Il Nuovo Cimento B Vol. 110 (9).
• Olivier, Pujol, JP Perez, JP Ramis, C. Simo, S. Simon, JA Weil (2010), "La máquina de Atwood oscilante: resultados experimentales y numéricos, y un estudio teórico", Physica D 239, págs. 1067–1081.
• Sears, R. (1995) "Comentario sobre "Una sorprendente demostración de mecánica", American Journal of Physics , Vol. 63(9), pág. 854-855.
• Yehia, HM, (2006) "Sobre la integrabilidad del movimiento de una partícula pesada en un cono inclinado y la máquina Atwood oscilante", Mechanics Research Communications Vol. 33 (5), p711–716.

Enlaces externos

• Curso del Imperial College
• Oscilaciones en la máquina de Atwood
• "Sonrisas y lágrimas" (1982)
• Vídeos de 2010 de una máquina Atwood experimental de swing
• Código Java de fuente abierta para ejecutar la Swinging Atwood's Machine