maquina atwood

Demostración en el aula utilizada para ilustrar los principios de la mecánica clásica.

Ilustración de la máquina Atwood, 1905.

La máquina de Atwood (o máquina de Atwood ) fue inventada en 1784 por el matemático inglés George Atwood como experimento de laboratorio para verificar las leyes mecánicas del movimiento con aceleración constante . La máquina de Atwood es una demostración común en el aula que se utiliza para ilustrar los principios de la mecánica clásica .

La máquina de Atwood ideal consta de dos objetos de masa m ₁ y m ₂ , conectados por una cuerda inextensible sin masa sobre una polea ideal sin masa . ^[1]

Ambas masas experimentan una aceleración uniforme. Cuando m ₁ = m ₂ , la máquina está en equilibrio neutro independientemente de la posición de los pesos.

Ecuación para aceleración constante

Los diagramas de cuerpo libre de las dos masas colgantes de la máquina de Atwood. Nuestra convención de signos , representada por los vectores de aceleración , es que m ₁ acelera hacia abajo y que m ₂ acelera hacia arriba, como sería el caso si m ₁ > m ₂

Se puede derivar una ecuación para la aceleración analizando las fuerzas. Suponiendo una cuerda inextensible y sin masa y una polea ideal sin masa, las únicas fuerzas a considerar son: la fuerza de tensión ( T ) y el peso de las dos masas ( W ₁ y W ₂ ). Para encontrar una aceleración, considere las fuerzas que afectan a cada masa individual. Utilizando la segunda ley de Newton (con una convención de signos de ), obtenga un sistema de ecuaciones para la aceleración ( a ). ${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$

Como convención de signos, supongamos que a es positivo cuando está hacia abajo y hacia arriba para . El peso de y es simple y respectivamente. ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle W_{1}=m_{1}g}$ ${\displaystyle W_{2}=m_{2}g}$

Fuerzas que afectan a m ₁ : Fuerzas que afectan a m ₂ : y sumando las dos ecuaciones anteriores se obtiene y la fórmula final para la aceleración $${\displaystyle m_{1}g-T=m_{1}a}$$ $${\displaystyle T-m_{2}g=m_{2}a}$$ $${\displaystyle m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a,}$$ $${\displaystyle a=g{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$

La máquina de Atwood se utiliza a veces para ilustrar el método lagrangiano de derivar ecuaciones de movimiento. ^[2]

Ecuación de tensión

Puede resultar útil conocer una ecuación para la tensión en la cuerda. Para evaluar la tensión, sustituya la ecuación por aceleración en cualquiera de las dos ecuaciones de fuerza.

$${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$$

Por ejemplo, sustituir en , da como resultado dónde está la media armónica de las dos masas. El valor numérico de está más cerca de la menor de las dos masas. ${\displaystyle m_{1}a=m_{1}g-T}$ $${\displaystyle T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}={2g \over 1/m_{1}+1/m_{2}}=m_{h}\,g}$$ ${\displaystyle m_{h}={\frac {2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ ${\displaystyle m_{h}}$

Ecuaciones para una polea con inercia y fricción.

Para diferencias de masa muy pequeñas entre m ₁ y m ₂ , no se puede despreciar la inercia rotacional I de la polea de radio r . La aceleración angular de la polea viene dada por la condición de no deslizamiento: donde está la aceleración angular. El par neto es entonces: $${\displaystyle \alpha ={\frac {a}{r}},}$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \tau _{\mathrm {net} }=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{\mathrm {friction} }=I\alpha }$$

Combinando con la segunda ley de Newton para las masas colgantes y resolviendo para T ₁ , T ₂ y a , obtenemos:

Aceleración: $${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})-{\tau _{\mathrm {friction} } \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$$

Tensión en el segmento de cuerda más cercano a m ₁ : $${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g\left(2m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}+{\frac {\tau _{\mathrm {friction} }}{rg}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}}$$

Tensión en el segmento de cuerda más cercano al _m2 : $${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g\left(2m_{1}+{\frac {I}{r^{2}}}+{\frac {\tau _{\mathrm {friction} }}{rg}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}}$$

Si la fricción del rodamiento fuera insignificante (pero no la inercia de la polea ni la tracción de la cuerda sobre el borde de la polea), estas ecuaciones se simplifican con el siguiente resultado:

Aceleración: $${\displaystyle a={{g\left(m_{1}-m_{2}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}}$$

Tensión en el segmento de cuerda más cercano a m ₁ : $${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g\left(2m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}}$$

Tensión en el segmento de cuerda más cercano al _m2 : $${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g\left(2m_{1}+{\frac {I}{r^{2}}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}}$$

Implementaciones prácticas

Las ilustraciones originales de Atwood muestran el eje de la polea principal apoyado sobre las llantas de otras cuatro ruedas, para minimizar las fuerzas de fricción de los cojinetes . Muchas implementaciones históricas de la máquina siguen este diseño.

Un ascensor con contrapeso se aproxima a una máquina Atwood ideal y, por tanto, libera al motor impulsor de la carga que supone sujetar la cabina del ascensor: sólo tiene que superar la diferencia de peso y la inercia de las dos masas. El mismo principio se aplica a los funiculares con dos vagones conectados sobre vías inclinadas, así como a los ascensores de la Torre Eiffel que se contrapesan entre sí. Los remontes son otro ejemplo, donde las góndolas se mueven sobre un sistema de poleas cerradas (continuas) hacia arriba y hacia abajo de la montaña. El remonte es similar al ascensor de contrapeso, pero con una fuerza de constricción proporcionada por el cable en la dimensión vertical, logrando así trabajo tanto en la dimensión horizontal como en la vertical. Los elevadores de botes son otro tipo de sistema de elevador con contrapeso que se aproxima a una máquina Atwood.

Ver también

• Plano sin fricción  : modelo cinemático simple de un objeto en una rampa bajo gravedadPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Péndulo de Kater  – Péndulo reversible de oscilación libre
• Vaca esférica  : concepto humorístico en modelos científicos
• Máquina de Atwood oscilante  - Variación de la máquina de Atwood que incorpora un péndulo

Notas

1. Tipler, Paul A. (1991). Física para científicos e ingenieros (3ª edición ampliada). Nueva York: Worth Publishers. pag. 160.ISBN​ 0-87901-432-6.Capítulo 6, ejemplo 6-13
2. Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Nueva Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. págs. 26 y 27. ISBN 81-85015-53-8.Sección 1-6, ejemplo 2

enlaces externos

• Un tratado sobre el movimiento rectilíneo y la rotación de los cuerpos; con una descripción de experimentos originales relacionados con el tema realizados por George Atwood, 1764. Los dibujos aparecen en la página 450.
• El relato del profesor Greenslade sobre la máquina Atwood
• La máquina de Atwood de Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project