Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology es un libro sobre la fórmulade la característica de Euler de los poliedros convexos y sus conexiones con la historia de la topología . Fue escrito por David Richeson y publicado en 2008 por Princeton University Press , con una edición de bolsillo en 2012. Ganó el Premio al Libro Euler de 2010 de la Asociación Matemática de Estados Unidos . [1] [2]
El libro está organizado históricamente, y el revisor Robert Bradley divide los temas del libro en tres partes. [3] La primera parte analiza la historia anterior de los poliedros, incluyendo las obras de Pitágoras , Tales , Euclides y Johannes Kepler , y el descubrimiento por René Descartes de una versión poliédrica del teorema de Gauss-Bonnet (posteriormente visto como equivalente a la fórmula de Euler). Examina la vida de Euler , su descubrimiento a principios de la década de 1750 de que la característica de Euler (el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras) es igual a 2 para todos los poliedros convexos , y sus intentos defectuosos de una prueba, y concluye con la primera prueba rigurosa de esta identidad en 1794 por Adrien-Marie Legendre , [3] [4] [5] basada en el teorema de Girard que relaciona el exceso angular de los triángulos en trigonometría esférica con su área. [6] [7]
Aunque los poliedros son objetos geométricos, Euler's Gem sostiene que Euler descubrió su fórmula al ser el primero en verlos topológicamente (como patrones abstractos de incidencia de vértices, caras y aristas), en lugar de a través de sus distancias y ángulos geométricos. [8] (Sin embargo, este argumento se ve socavado por la discusión del libro de ideas similares en los trabajos anteriores de Kepler y Descartes). [7] El nacimiento de la topología está marcado convencionalmente por una contribución anterior de Euler, su trabajo de 1736 sobre los Siete Puentes de Königsberg , y la parte media del libro conecta estos dos trabajos a través de la teoría de grafos . [3] Demuestra la fórmula de Euler en una forma topológica en lugar de geométrica, para grafos planares , y analiza sus usos para demostrar que estos grafos tienen vértices de bajo grado , un componente clave en las pruebas del teorema de los cuatro colores . Incluso establece conexiones con la teoría de juegos combinatorios a través de los juegos basados en gráficos de Sprouts y Brussels Sprouts y su análisis utilizando la fórmula de Euler. [3] [4]
En la tercera parte del libro, Bradley pasa de la topología del plano y la esfera a superficies topológicas arbitrarias. [3] Para cualquier superficie, las características de Euler de todas las subdivisiones de la superficie son iguales, pero dependen de la superficie en lugar de ser siempre 2. Aquí, el libro describe el trabajo de Bernhard Riemann , Max Dehn y Poul Heegaard sobre la clasificación de variedades , en el que se demostró que las superficies topológicas compactas bidimensionales pueden describirse completamente por sus características de Euler y su orientabilidad . Otros temas discutidos en esta parte incluyen la teoría de nudos y la característica de Euler de las superficies de Seifert , el teorema de Poincaré-Hopf , el teorema del punto fijo de Brouwer , los números de Betti y la prueba de Grigori Perelman de la conjetura de Poincaré . [2] [4]
Un apéndice incluye instrucciones para crear modelos en papel y con burbujas de jabón de algunos de los ejemplos del libro. [2] [4]
Euler's Gem está dirigido a un público general interesado en temas matemáticos, con bosquejos biográficos y retratos de los matemáticos que analiza, muchos diagramas y razonamiento visual en lugar de pruebas rigurosas, y solo unas pocas ecuaciones simples. [3] [4] [2] Sin ejercicios, no es un libro de texto. [9] Sin embargo, las últimas partes del libro pueden resultar pesadas para los aficionados, ya que requieren al menos un conocimiento de nivel universitario de cálculo y geometría diferencial . [4] [10] El revisor Dustin L. Jones sugiere que los profesores encontrarían sus ejemplos, explicaciones intuitivas y material de antecedentes históricos útiles en el aula. [11]
Aunque el crítico Jeremy L. Martin se queja de que "las generalizaciones del libro sobre la historia y la estética matemática son un poco simplistas o incluso unilaterales", señala un error matemático significativo en la combinación que hace el libro de la dualidad polar con la dualidad de Poincaré , y considera que la actitud del libro hacia la prueba asistida por computadora es "innecesariamente despectiva", no obstante concluye que el contenido matemático del libro "supera estos defectos ocasionales". [7] Dustin Jones evalúa el libro como "una mezcla única de historia y matemáticas... interesante y agradable", [11] y el crítico Bruce Roth lo llama "bien escrito y lleno de ideas interesantes". [6] La crítica Janine Daems escribe: "Fue un placer leer este libro y lo recomiendo a todo aquel que no le tema a los argumentos matemáticos". [8]
{{citation}}: CS1 maint: publicación periódica sin título ( enlace )