inestabilidad modulacional

Fenómeno por el cual las desviaciones de una forma de onda periódica se ven reforzadas por la no linealidad

En los campos de la óptica no lineal y la dinámica de fluidos , la inestabilidad modulacional o inestabilidad de banda lateral es un fenómeno por el cual las desviaciones de una forma de onda periódica se ven reforzadas por la no linealidad, lo que lleva a la generación de bandas laterales espectrales y a la eventual ruptura de la forma de onda en un tren de pulsos . ^{[1] [2] [3]}

Se cree ampliamente que el fenómeno fue descubierto (y modelado) por primera vez para ondas de gravedad superficiales periódicas ( ondas de Stokes ) en aguas profundas por T. Brooke Benjamin y Jim E. Feir, en 1967. ^[4] Por lo tanto, también se lo conoce como La inestabilidad de Benjamin-Feir . Sin embargo, la inestabilidad de la modulación espacial de láseres de alta potencia en disolventes orgánicos fue observada por los científicos rusos NF Piliptetskii y AR Rustamov en 1965, ^[5] y la derivación matemática de la inestabilidad de la modulación fue publicada por VI Bespalov y VI Talanov en 1966. ^[6] La inestabilidad de la modulación es un posible mecanismo para la generación de ondas rebeldes . ^{[7] [8]}

Inestabilidad inicial y ganancia.

La inestabilidad de la modulación sólo ocurre bajo ciertas circunstancias. La condición más importante es la dispersión anómala de la velocidad del grupo , por la cual los pulsos con longitudes de onda más cortas viajan con una velocidad de grupo más alta que los pulsos con longitudes de onda más largas. ^[3] (Esta condición supone una no linealidad de Kerr de enfoque , por lo que el índice de refracción aumenta con la intensidad óptica). ^[3]

La inestabilidad depende en gran medida de la frecuencia de la perturbación. En ciertas frecuencias, una perturbación tendrá poco efecto, mientras que en otras frecuencias, una perturbación crecerá exponencialmente . El espectro de ganancia general se puede derivar analíticamente , como se muestra a continuación. Las perturbaciones aleatorias generalmente contendrán una amplia gama de componentes de frecuencia y, por lo tanto, provocarán la generación de bandas laterales espectrales que reflejan el espectro de ganancia subyacente.

La tendencia de una señal perturbadora a crecer hace que la inestabilidad de la modulación sea una forma de amplificación . Sintonizando una señal de entrada a un pico del espectro de ganancia, es posible crear un amplificador óptico .

Derivación matemática del espectro de ganancia.

El espectro de ganancia se puede derivar ^[3] comenzando con un modelo de inestabilidad de modulación basado en la ecuación no lineal de Schrödinger ^{[ se necesita aclaración ]}

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}=i\gamma |A|^{2}A,}$

que describe la evolución de una envolvente de valores complejos que varía lentamente con el tiempo y la distancia de propagación . La unidad imaginaria satisface El modelo incluye la dispersión de velocidad de grupo descrita por el parámetro y la no linealidad de Kerr con magnitud Se supone una forma de onda periódica de potencia constante . Esto viene dado por la solución. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1.}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle A={\sqrt {P}}e^{i\gamma Pz},}$

donde el factor de fase oscilatoria representa la diferencia entre el índice de refracción lineal y el índice de refracción modificado , planteado por el efecto Kerr. El comienzo de la inestabilidad se puede investigar perturbando esta solución como ${\displaystyle e^{i\gamma Pz}}$

${\displaystyle A=\left({\sqrt {P}}+\varepsilon (t,z)\right)e^{i\gamma Pz},}$

donde está el término de perturbación (que, por conveniencia matemática, se ha multiplicado por el mismo factor de fase que ). Sustituyendo esto nuevamente en la ecuación de Schrödinger no lineal se obtiene una ecuación de perturbación de la forma ${\displaystyle \varepsilon (t,z)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial t^{2}}}=i\gamma P\left(\varepsilon +\varepsilon ^{*}\right),}$

donde se ha supuesto que la perturbación es pequeña, de modo que ahora se puede descubrir la inestabilidad buscando soluciones de la ecuación de perturbación que crezcan exponencialmente . Esto se puede hacer usando una función de prueba de la forma general. ${\displaystyle |\varepsilon |^{2}\ll P.}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{*}.}$

${\displaystyle \varepsilon =c_{1}e^{ik_{m}z-i\omega _{m}t}+c_{2}e^{-ik_{m}^{*}z+i\omega _{m}t},}$

donde y son el número de onda y la frecuencia angular (en valor real) de una perturbación, y y son constantes. La ecuación de Schrödinger no lineal se construye eliminando la onda portadora de la luz que se está modelando, por lo que la frecuencia de la luz perturbada es formalmente cero. Por tanto, y no representan frecuencias absolutas ni números de onda, sino la diferencia entre éstas y las del haz de luz inicial. Se puede demostrar que la función de prueba es válida, proporcionada y sujeta a la condición ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle c_{2}=c_{1}^{*}}$

${\displaystyle k_{m}=\pm {\sqrt {\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}+2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}}.}$

Esta relación de dispersión depende vitalmente del signo del término dentro de la raíz cuadrada, ya que si es positivo, el número de onda será real , correspondiente a meras oscilaciones alrededor de la solución no perturbada, mientras que si es negativo, el número de onda se volverá imaginario , correspondiente a un crecimiento exponencial. y por ende inestabilidad. Por lo tanto, la inestabilidad ocurrirá cuando

${\displaystyle \beta _{2}^{2}\omega _{m}^{2}+2\gamma P\beta _{2}<0,}$  eso es para  ${\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}}.}$

Esta condición describe el requisito de dispersión anómala (tal que sea negativa). El espectro de ganancia se puede describir definiendo un parámetro de ganancia de modo que la potencia de una señal perturbadora crezca con la distancia como La ganancia, por lo tanto, viene dada por ${\displaystyle \gamma \beta _{2}}$ ${\displaystyle g\equiv 2|\Im \{k_{m}\}|,}$ ${\displaystyle P\,e^{gz}.}$

${\displaystyle g={\begin{cases}2{\sqrt {-\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}-2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}},&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\\[2ex]0,&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}\geq -2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\end{cases}}}$

donde, como se señaló anteriormente, es la diferencia entre la frecuencia de la perturbación y la frecuencia de la luz inicial. La tasa de crecimiento es máxima para ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=-\gamma P/\beta _{2}.}$

Inestabilidad de modulación en sistemas blandos.

Se ha observado inestabilidad de la modulación de los campos ópticos en sistemas fotoquímicos, concretamente en medios fotopolimerizables. ^{[9] [10] [11] [12]} La inestabilidad de la modulación se produce debido a la no linealidad óptica inherente de los sistemas debido a los cambios inducidos por la fotorreacción en el índice de refracción. ^[13] La inestabilidad de la modulación de la luz espacial y temporalmente incoherente es posible debido a la respuesta no instantánea de los sistemas fotorreactivos, que en consecuencia responden a la intensidad de la luz en el tiempo promedio, en la que las fluctuaciones de femtosegundos se anulan. ^[14]

Referencias

1. Benjamín, T. Brooke ; Feir, JE (1967). "La desintegración de trenes de olas en aguas profundas. Parte 1. Teoría". Revista de mecánica de fluidos . 27 (3): 417–430. Código bibliográfico : 1967JFM....27..417B. doi :10.1017/S002211206700045X. S2CID  121996479.
2. Benjamín, TB (1967). "Inestabilidad de trenes de ondas periódicas en sistemas dispersivos no lineales". Actas de la Royal Society de Londres . A. Ciencias Matemáticas y Físicas. 299 (1456): 59–76. Código Bib : 1967RSPSA.299...59B. doi :10.1098/rspa.1967.0123. S2CID  121661209.Concluye con una discusión de Klaus Hasselmann .
3. Agrawal, Govind P. (1995). Fibra óptica no lineal (2ª ed.). San Diego (California): Prensa académica. ISBN 978-0-12-045142-5.
4. Yuen, HC; Lago, BM (1980). "Inestabilidades de las olas en aguas profundas". Revisión Anual de Mecánica de Fluidos . 12 : 303–334. Código Bib : 1980AnRFM..12..303Y. doi : 10.1146/annurev.fl.12.010180.001511.
5. Piliptetskii, NF; Rustamov, AR (31 de mayo de 1965). "Observación del autoenfoque de la luz en líquidos". Cartas JETP . 2 (2): 55–56.
6. Bespalov, VI; Talanov, VI (15 de junio de 1966). "Estructura filamentosa de haces de luz en líquidos no lineales". ZhETF Pisma Redaktsiiu . 3 (11): 471–476. Código bibliográfico : 1966ZhPmR...3..471B. Archivado desde el original el 31 de julio de 2020 . Consultado el 17 de febrero de 2021 .
7. Janssen, Peter AEM (2003). "Interacciones no lineales de cuatro ondas y ondas anormales". Revista de Oceanografía Física . 33 (4): 863–884. Código Bib : 2003JPO....33..863J. doi : 10.1175/1520-0485(2003)33<863:NFIAFW>2.0.CO;2 .
8. Disthe, Kristian; Krogstad, Harald E.; Müller, Peter (2008). "Olas rebeldes oceánicas". Revisión Anual de Mecánica de Fluidos . 40 (1): 287–310. Código Bib : 2008AnRFM..40..287D. doi : 10.1146/annurev.fluid.40.111406.102203.
9. Burgess, Ian B.; Shimmell, Whitney E.; Saravanamuttu, Kalaichelvi (1 de abril de 2007). "Formación espontánea de patrones debido a la inestabilidad de la modulación de la luz blanca incoherente en un medio fotopolimerizable". Revista de la Sociedad Química Estadounidense . 129 (15): 4738–4746. doi :10.1021/ja068967b. ISSN  0002-7863. PMID  17378567.
10. Basker, Dinesh K.; Brook, Michael A.; Saravanamuttu, Kalaichelvi (2015). "Aparición espontánea de ondas de luz no lineales y microestructura de guía de ondas autoinscrita durante la polimerización catiónica de epóxidos". La Revista de Química Física C. 119 (35): 20606–20617. doi : 10.1021/acs.jpcc.5b07117.
11. Biria, Said; Malley, Philip PA; Kahan, Tara F.; Hosein, Ian D. (3 de marzo de 2016). "Microestructura y formación de patrones ópticos no lineales sintonizables en sistemas de acrilato reticulado durante la polimerización por radicales libres". La Revista de Química Física C. 120 (8): 4517–4528. doi : 10.1021/acs.jpcc.5b11377. ISSN  1932-7447.
12. Biria, Said; Malley, Phillip PA; Kahan, Tara F.; Hosein, Ian D. (15 de noviembre de 2016). "La autocatálisis óptica establece una nueva dinámica espacial en la separación de fases de mezclas de polímeros durante el fotocurado". Letras de Macro ACS . 5 (11): 1237-1241. doi :10.1021/acsmacrolett.6b00659. PMID  35614732.
13. Kewitsch, Anthony S.; Yariv, Amnón (1 de enero de 1996). "Autoenfoque y autoatrapamiento de haces ópticos tras fotopolimerización" (PDF) . Letras de Óptica . 21 (1): 24–6. Código Bib : 1996OptL...21...24K. doi :10.1364/ol.21.000024. ISSN  1539-4794. PMID  19865292.
14. Solitones espaciales | Stefano Trillo | Saltador.

Otras lecturas

• Zakharov, VE ; Ostrovsky, LA (2009). "Inestabilidad de modulación: el comienzo" (PDF) . Physica D: Fenómenos no lineales . 238 (5): 540–548. Código Bib : 2009PhyD..238..540Z. doi :10.1016/j.physd.2008.12.002.^{[ enlace muerto permanente ]}