La identidad de McShane

En topología geométrica , la identidad de McShane para un toro una vez perforado con una estructura hiperbólica completa de volumen finito está dada por ${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \sum _{\gamma }{\frac {1}{1+e^{\ell (\gamma )}}}={\frac {1}{2}}}$

dónde

• la suma es sobre todas las geodésicas simples cerradas (no orientadas) γ en el toro; y
• ℓ ( γ ) denota la longitud hiperbólica de  γ .

Esta identidad fue generalizada por Maryam Mirzakhani en su tesis doctoral ^[1]

Referencias

1. Mirzakhani, Maryam (2004). Geodésicas simples sobre superficies hiperbólicas y el volumen del espacio de módulos de curvas (Tesis). ProQuest  305191605.

Lectura adicional

• Bronceado, Ser Peow; Wong, Yan Loi; Zhang, Ying (abril de 2006). "Condiciones necesarias y suficientes para la identidad y las variaciones de Mcshane". Geometriae Dedicata . 119 (1): 199–217. arXiv : matemáticas/0411184 . doi :10.1007/s10711-006-9069-9. S2CID  17575980.
• McShane, Greg (8 de mayo de 1998). "Geodésicas simples y una constante en serie sobre el espacio de Teichmuller". Inventiones Mathematicae . 132 (3): 607–632. doi :10.1007/s002220050235. S2CID  16362716.