Hipótesis de Schinzel H

En matemáticas , la hipótesis H de Schinzel es uno de los problemas abiertos más famosos en el tema de la teoría de números. Es una generalización muy amplia de conjeturas ampliamente abiertas como la conjetura de los primos gemelos . La hipótesis lleva el nombre de Andrzej Schinzel .

Declaración

La hipótesis afirma que para cada colección finita de polinomios irreducibles no constantes sobre los números enteros con coeficientes principales positivos, se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}\}}$

1. Hay infinitos números enteros positivos tales que todos son simultáneamente números primos , o ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{1}(n),f_{2}(n),\ldots ,f_{k}(n)}$
2. Hay un número entero (llamado "divisor fijo"), que depende de los polinomios, que siempre divide al producto . (O, de manera equivalente: existe un número primo tal que para cada uno hay un tal que divide ). ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{i}(n)}$

La segunda condición la satisfacen conjuntos como , ya que siempre es divisible por 2. Es fácil ver que esta condición impide que la primera sea verdadera. La hipótesis de Schinzel esencialmente afirma que la condición 2 es la única forma en que la condición 1 puede no cumplirse. ${\displaystyle f_{1}(x)=x+4,f_{2}(x)=x+7}$ ${\displaystyle (x+4)(x+7)}$

No se conoce ninguna técnica eficaz para determinar si la primera condición se cumple para un conjunto dado de polinomios, pero la segunda es sencilla de comprobar: Consideremos y calculemos el máximo común divisor de valores sucesivos de . Se puede ver extrapolando con diferencias finitas que este divisor también dividirá todos los demás valores de too. ${\displaystyle Q(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{k}(x)}$ ${\displaystyle \deg(Q)+1}$ ${\displaystyle Q(n)}$ ${\displaystyle Q(n)}$

La hipótesis de Schinzel se basa en la conjetura anterior de Bunyakovsky , para un solo polinomio, y en las conjeturas de Hardy-Littlewood y la conjetura de Dickson para polinomios lineales múltiples. A su vez, se amplía mediante la conjetura de Bateman-Horn .

Ejemplos

Como ejemplo simple con , ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle x^{2}+1}$

no tiene divisor primo fijo . Por lo tanto esperamos que haya infinitos números primos.

${\displaystyle n^{2}+1}$

Sin embargo, esto no ha sido probado. Fue una de las conjeturas de Landau y se remonta a Euler, quien observó en una carta a Goldbach en 1752 que a menudo es primo hasta 1500. ${\displaystyle n^{2}+1}$ ${\displaystyle n}$

Como otro ejemplo, tomemos con y . La hipótesis implica entonces la existencia de infinitos primos gemelos , un problema abierto básico y notorio. ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle f_{1}(x)=x}$ ${\displaystyle f_{2}(x)=x+2}$

Variantes

Como lo demostraron Schinzel y Sierpiński ^[1] , es equivalente a lo siguiente: si la condición 2 no se cumple, entonces existe al menos un entero positivo tal que todos serán simultáneamente primos, para cualquier elección de polinomios integrales irreducibles con coeficientes principales positivos. . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{i}(n)}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$

Si los coeficientes principales fueran negativos, podríamos esperar valores primos negativos; esta es una restricción inofensiva.

Probablemente no haya una razón real para restringir los polinomios con coeficientes enteros, en lugar de los polinomios con valores enteros (como , que toma valores enteros para todos los números enteros aunque los coeficientes no sean números enteros). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x+1}$ ${\displaystyle x}$

Resultados anteriores

El caso especial de un polinomio lineal único es el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , uno de los resultados más importantes de la teoría de números. De hecho, este caso especial es el único caso conocido de la Hipótesis H de Schinzel. No sabemos si la hipótesis es válida para cualquier polinomio dado de grado mayor que , ni para ningún sistema de más de un polinomio. ${\displaystyle 1}$

Muchos matemáticos han intentado aproximaciones casi primeras a la hipótesis de Schinzel; entre ellos, el más notable es el teorema de Chen que establece que existen infinitos números primos que son primos o semiprimos ^[2] e Iwaniec demostró que existen infinitos números enteros que son primos o semiprimos . ^[3] Skorobogatov y Sofos han demostrado que casi todos los polinomios de cualquier grado fijo satisfacen la hipótesis H de Schinzel. ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}+1}$

Sea un polinomio de valor entero con factor común y sea . Entonces es un polinomio primitivo de valores enteros. Ronald Joseph Miech demostró usando el tamiz Brun que con infinitas frecuencias y, por lo tanto , con infinitas frecuencias, se ejecuta sobre números enteros positivos. Los números y no dependen de , y . Este teorema también se conoce como teorema de Miech. ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Q(x)={\frac {P(x)}{d}}}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle \Omega (Q(n))\leq k}$ ${\displaystyle \Omega (P(n))\leq m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m=k+\Omega (d)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k\leq n\cdot (\ln(n)+2.8)}$

Si existe un tamiz de densidad probabilístico hipotético, utilizando el teorema de Miech se puede probar la hipótesis H de Schinzel en todos los casos por inducción matemática .

Perspectivas y aplicaciones

La hipótesis probablemente no sea accesible con los métodos actuales de la teoría analítica de números , pero ahora se utiliza con bastante frecuencia para probar resultados condicionales , por ejemplo en geometría diofántica . Esta conexión se debe a Jean-Louis Colliot-Thélène y Jean-Jacques Sansuc. ^[5] Para más explicaciones y referencias a este respecto, véanse las notas de Swinnerton-Dyer . ^[6] Siendo el resultado conjetural de naturaleza tan fuerte, es posible que se demuestre que es demasiado esperar.

Ampliación para incluir la conjetura de Goldbach

La hipótesis no cubre la conjetura de Goldbach , pero sí una versión estrechamente relacionada ( hipótesis H _N ). Eso requiere un polinomio adicional , que en el problema de Goldbach sería simplemente , para lo cual ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x}$

norte - F ( norte )

También se requiere que sea un número primo. Esto se cita en Halberstam y Richert, Sieve Methods . La conjetura aquí toma la forma de una afirmación cuando N es suficientemente grande y sujeta a la condición de que

${\displaystyle f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)(N-F(n))}$

no tiene divisor fijo > 1. Entonces deberíamos poder exigir la existencia de n tal que N − F ( n ) sea a la vez positivo y primo; y con todos los f _i ( n ) números primos.

No se conocen muchos casos de estas conjeturas; pero existe una teoría cuantitativa detallada (ver Conjetura de Bateman-Horn ).

Análisis local

La condición de no tener un divisor primo fijo es puramente local (es decir, depende sólo de los números primos). En otras palabras, se conjetura que un conjunto finito de polinomios irreducibles de valores enteros sin obstrucción local para tomar infinitos valores primos toma infinitos valores primos.

Un análogo que falla

La conjetura análoga con los números enteros reemplazados por el anillo polinómico de una variable sobre un campo finito es falsa. Por ejemplo, Swan observó en 1962 (por razones no relacionadas con la Hipótesis H) que el polinomio

${\displaystyle x^{8}+u^{3}\,}$

sobre el anillo F ₂ [ u ] es irreducible y no tiene un divisor polinómico primo fijo (después de todo, sus valores en x = 0 y x = 1 son polinomios relativamente primos), pero todos sus valores cuando x pasan por F ₂ [ u ] son compuestos. Se pueden encontrar ejemplos similares con F ₂ reemplazado por cualquier campo finito; Las obstrucciones en una formulación adecuada de la Hipótesis H sobre F [ u ], donde F es un campo finito , ya no son sólo locales sino que se produce una nueva obstrucción global sin paralelo clásico, asumiendo que la hipótesis H es de hecho correcta.

Referencias

1. Schinzel, A .; Sierpiński, W. (1958). "Sur ciertas hipótesis relativas a los nombres premiers". Acta Aritmética . 4 (3): 185–208. doi :10.4064/aa-4-3-185-208. SEÑOR  0106202.Página 188.
2. Chen, JR (1973). "Sobre la representación de un número entero par mayor como la suma de un primo y el producto de como máximo dos primos". Ciencia. Sínica . 16 : 157-176. SEÑOR  0434997.
3. Iwaniec, H. (1978). "Casi primos representados por polinomios cuadráticos". Invenciones Mathematicae . 47 (2): 171–188. Código Bib : 1978 InMat..47..171I. doi :10.1007/BF01578070. SEÑOR  0485740. S2CID  122656097.
4. Skorobogatov, AN ; Sofos, E. (2022). "Hipótesis de Schinzel sobre puntos medios y racionales". Invenciones Mathematicae . 231 (2): 673–739. arXiv : 2005.02998 . doi : 10.1007/s00222-022-01153-6 . SEÑOR  4542704.
5. Colliot-Thélène, JL ; Sansuc, JJ (1982). "Sur le principe de Hasse et l'approximation faible, et sur une hipothese de Schinzel". Acta Aritmética . 41 (1): 33–53. doi : 10.4064/aa-41-1-33-53 . SEÑOR  0667708.
6. Swinnerton-Dyer, P. (2011). "Temas de ecuaciones diofánticas". Geometría aritmética . Apuntes de clases de matemáticas. vol. 2009. Springer, Berlín. págs. 45-110. SEÑOR  2757628.

• Crandall, Richard ; Pomerancia, Carl B. (2005). Números primos: una perspectiva computacional (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/0-387-28979-8. ISBN 0-387-25282-7. SEÑOR  2156291. Zbl  1088.11001.
• Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (Tercera ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
• Pollack, Paul (2008). "Una aproximación explícita a la hipótesis H para polinomios en un campo finito". En De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrés ; Luca, Florian (eds.). Anatomía de los números enteros. Basado en el taller CRM, Montreal, Canadá, 13 al 17 de marzo de 2006 . Actas de CRM y notas de conferencias. vol. 46. ​​Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl  1187.11046.
• Cisne, RG (1962). "Factorización de polinomios sobre campos finitos". Revista Pacífico de Matemáticas . 12 (3): 1099-1106. doi : 10.2140/pjm.1962.12.1099 .

enlaces externos