La Geometría de los Octoniones es un libro de matemáticas sobre los octoniones , un sistema de números que generaliza los números complejos y los cuaterniones , presentando su material a un nivel adecuado para estudiantes universitarios de matemáticas. Fue escrito por Tevian Dray y Corinne Manogue y publicado en 2015 por World Scientific. El Comité de Lista de Bibliotecas Básicas de la Asociación Matemática de América ha sugerido su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. [1]
El libro se subdivide en tres partes, siendo la segunda parte la más significativa. [2] Su contenido combina un estudio de trabajos anteriores en esta área y gran parte de las investigaciones de sus propios autores. [3]
La primera parte explica la construcción de Cayley-Dickson , [1] [3] que construye los números complejos a partir de los números reales , los cuaterniones a partir de los números complejos y los octoniones a partir de los cuaterniones. También se analizan álgebras relacionadas, incluidos los sedeniones (un álgebra real de 16 dimensiones formada de la misma manera al pasar un paso más allá de los octoniones) y las álgebras de composición unitaria real dividida (también llamadas álgebras de Hurwitz). [2] Aquí nos centramos especialmente en interpretar la operación de multiplicación de estas álgebras de forma geométrica. [4] El crítico Danail Brezov señala con decepción que las álgebras de Clifford , aunque son muy relevantes para este material, no están cubiertas. [3]
La segunda parte del libro utiliza los octoniones y otras álgebras de división asociadas con ellos para proporcionar descripciones concretas de los grupos de Lie de simetrías geométricas. Estos incluyen grupos de rotación , grupos de espín , grupos simplécticos y los excepcionales grupos de Lie , que el libro interpreta como variantes octoniónicas de los grupos de Lie clásicos. [2] [4]
La tercera parte aplica los octoniones en construcciones geométricas incluyendo la fibración de Hopf y sus generalizaciones, el plano de Cayley y la red E 8 . También los conecta con problemas de física relacionados con la ecuación de Dirac de cuatro dimensiones , la mecánica cuántica de fermiones relativistas , espinores y la formulación de la mecánica cuántica utilizando álgebras de Jordan . [2] [3] [4] También incluye material sobre teoría de números octoniónicos , [3] [4] y concluye con un capítulo sobre el cuadrado mágico freudental y construcciones relacionadas. [2]
Aunque se presenta a nivel universitario, La geometría de los octoniones no es un libro de texto: es probable que su material sea demasiado especializado para un curso universitario y carece de ejercicios o material similar que sería necesario para usarlo como libro de texto. [1] Los lectores deben estar familiarizados con el álgebra lineal y también sería útil tener algo de experiencia con grupos de Lie . [2] Los últimos capítulos sobre aplicaciones en física son más pesados y requieren familiaridad con la mecánica cuántica. [1]
El libro evita un estilo formal de escritura matemática con muchas pruebas, [2] hasta el punto de que el crítico Danail Brezov escribe que en algunos puntos "parece carecer de rigor matemático". [3]
Varios revisores sugieren que este trabajo sería una buena introducción a los octoniones, como un trampolín hacia el material más avanzado presentado en otros trabajos sobre el mismo tema. [2] [3] [4] Sus sugerencias incluyen las siguientes: