Esfericidad

Representación esquemática de la diferencia en la forma del grano. Se muestran dos parámetros: esfericidad (vertical) y redondeo (horizontal).

La esfericidad es una medida de qué tan cerca se parece la forma de un objeto a la de una esfera perfecta . Por ejemplo, la esfericidad de las bolas dentro de un rodamiento de bolas determina la calidad del rodamiento, como la carga que puede soportar o la velocidad a la que puede girar sin fallar. La esfericidad es un ejemplo específico de medida de compacidad de una forma . Definida por Wadell en 1935, ^[1] la esfericidad, , de un objeto es la relación entre el área de superficie de una esfera con el mismo volumen y el área de superficie del objeto: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

donde es el volumen del objeto y es el área de la superficie. La esfericidad de una esfera es la unidad por definición y, por la desigualdad isoperimétrica , cualquier forma que no sea una esfera tendrá una esfericidad menor que 1. ${\displaystyle V_{p}}$ ${\displaystyle A_{p}}$

La esfericidad se aplica en tres dimensiones ; su análogo en dos dimensiones , como los círculos de sección transversal a lo largo de un objeto cilíndrico como un eje , se llama redondez .

Objetos elipsoidales

La esfericidad, , de un esferoide achatado (similar a la forma del planeta Tierra ) es: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},}$

donde a y b son los ejes semimayor y semimenor respectivamente.

Derivación

Hakon Wadell definió la esfericidad como el área de superficie de una esfera del mismo volumen que la partícula dividida por el área de superficie real de la partícula.

Primero necesitamos escribir el área de superficie de la esfera, en términos del volumen del objeto que se está midiendo, ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle V_{p}}$

${\displaystyle A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}}$

por lo tanto

${\displaystyle A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}$

por lo que definimos como: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

Esfericidad de objetos comunes.

Ver también

• Diámetro esférico equivalente
• Aplastamiento
• relación isoperimétrica
• Redondeo (sedimento)
• Redondez
• energía willmore

Referencias

1. Wadell, Hakon (1935). "Volumen, forma y redondez de partículas de cuarzo". La Revista de Geología . 43 (3): 250–280. Código Bib : 1935JG.....43..250W. doi :10.1086/624298.

enlaces externos

• Morfología del grano: redondez, características superficiales y esfericidad de los granos