La ecuación de Burgers

Ecuación diferencial parcial

Soluciones de la ecuación de Burgers a partir de una condición inicial gaussiana . ${\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}/2}}$

Soluciones de tipo N-ondas de la ecuación de Burgers, a partir de la condición inicial . ${\displaystyle u(x,0)=e^{-(x-1)^{2}/2}-e^{-(x+1)^{2}/2}}$

La ecuación de Burgers o ecuación de Bateman-Burgers es una ecuación diferencial parcial fundamental y ecuación de convección-difusión ^[1] que aparece en varias áreas de las matemáticas aplicadas , como la mecánica de fluidos , ^[2] la acústica no lineal , ^[3] la dinámica de gases y el flujo de tráfico . ^[4] La ecuación fue introducida por primera vez por Harry Bateman en 1915 ^{[5] [6]} y luego estudiada por Johannes Martinus Burgers en 1948. ^[7] Para un campo y un coeficiente de difusión dados (o viscosidad cinemática , como en el contexto original de la mecánica de fluidos) , la forma general de la ecuación de Burgers (también conocida como ecuación de Burgers viscosa ) en una dimensión espacial es el sistema disipativo : ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

El término también puede reescribirse como . Cuando el término de difusión está ausente (es decir, ), la ecuación de Burgers se convierte en la ecuación de Burgers no viscosa : ${\displaystyle u\partial u/\partial x}$ ${\displaystyle \partial (u^{2}/2)/\partial x}$ ${\displaystyle \nu =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

que es un prototipo de ecuaciones de conservación que pueden desarrollar discontinuidades ( ondas de choque ).

La razón de la formación de gradientes agudos para valores pequeños de se vuelve intuitivamente clara cuando uno examina el lado izquierdo de la ecuación. El término es evidentemente un operador de onda que describe una onda que se propaga en la dirección positiva con una velocidad . Dado que la velocidad de onda es , las regiones que exhiben valores grandes de se propagarán hacia la derecha más rápido que las regiones que exhiben valores más pequeños de ; en otras palabras, si es decreciente en la dirección , inicialmente, entonces los más grandes que se encuentran en el lado posterior alcanzarán a los más pequeños en el lado frontal. El papel del término difusivo del lado derecho es esencialmente evitar que el gradiente se vuelva infinito. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \partial /\partial t+u\partial /\partial x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

La ecuación de Inviscid Burgers

La ecuación de Burgers no viscosa es una ecuación de conservación , más generalmente una ecuación hiperbólica cuasilineal de primer orden . La solución de la ecuación y junto con la condición inicial

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad u(x,0)=f(x)}$

se puede construir por el método de características . Sea el parámetro que caracteriza cualquier característica dada en el plano - , entonces las ecuaciones características están dadas por ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {du}{dt}}=0.}$

La integración de la segunda ecuación nos dice que es constante a lo largo de la característica y la integración de la primera ecuación muestra que las características son líneas rectas, es decir, ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u=c,\quad x=ut+\xi }$

donde es el punto (o parámetro) en el eje x ( t  = 0) del plano x - t desde el que se dibuja la curva característica. Como en el eje se conoce a partir de la condición inicial y el hecho de que no cambia a medida que nos movemos a lo largo de la característica que emana de cada punto , escribimos en cada característica. Por lo tanto, la familia de trayectorias de características parametrizadas por es ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x=\xi }$ ${\displaystyle u=c=f(\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle x=f(\xi )t+\xi .}$

Por lo tanto, la solución viene dada por

${\displaystyle u(x,t)=f(\xi )=f(x-ut),\quad \xi =x-f(\xi )t.}$

Esta es una relación implícita que determina la solución de la ecuación de Burgers no viscosa siempre que las características no se intersequen. Si las características se intersecan, entonces no existe una solución clásica para la EDP y conduce a la formación de una onda de choque . Si las características pueden o no intersecar depende de la condición inicial. De hecho, el tiempo de ruptura antes de que se pueda formar una onda de choque está dado por ^{[8] [9]}

${\displaystyle t_{b}={\frac {-1}{\inf _{x}\left(f^{\prime }(x)\right)}}.}$

Integral completa de la ecuación de Burgers no viscosa

La solución implícita descrita anteriormente que contiene una función arbitraria se denomina integral general. Sin embargo, la ecuación de Burgers no viscosa, al ser una ecuación diferencial parcial de primer orden , también tiene una integral completa que contiene dos constantes arbitrarias (para las dos variables independientes). ^{[10] [ se necesita una mejor fuente ]} Subrahmanyan Chandrasekhar proporcionó la integral completa en 1943, ^[11] que se da por ${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}.}$

donde y son constantes arbitrarias. La integral completa satisface una condición inicial lineal, es decir, . También se puede construir la integral general utilizando la integral completa anterior. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=ax+b}$

Ecuación de Viscous Burgers

La ecuación viscosa de Burgers se puede convertir en una ecuación lineal mediante la transformación de Cole-Hopf , ^{[12] [13] [14]}

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \varphi (x,t),}$

lo que lo convierte en la ecuación

${\displaystyle 2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{\varphi }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right)\right]=0,}$

que se puede integrar con respecto a para obtener ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}=\varphi {\frac {df(t)}{dt}},}$

donde es una función arbitraria del tiempo. Introduciendo la transformación (que no afecta a la función ), la ecuación requerida se reduce a la ecuación del calor ^[15] ${\displaystyle df/dt}$ ${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{f}}$ ${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}.}$

La ecuación de difusión se puede resolver . Es decir, si , entonces ${\displaystyle \varphi (x,0)=\varphi _{0}(x)}$

${\displaystyle \varphi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x')\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}\right]dx'.}$

La función inicial está relacionada con la función inicial por ${\displaystyle \varphi _{0}(x)}$ ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$

${\displaystyle \ln \varphi _{0}(x)=-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x}f(x')dx',}$

donde el límite inferior se elige arbitrariamente. Invirtiendo la transformación de Cole-Hopf, tenemos

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{{\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}}$

lo cual simplifica, al deshacerse del prefactor dependiente del tiempo en el argumento del logaritmo, a

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.}$

Esta solución se deriva de la solución de la ecuación de calor para que decae a cero cuando ; se pueden obtener otras soluciones para a partir de soluciones de que satisface diferentes condiciones de contorno. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi }$

Algunas soluciones explícitas de la ecuación viscosa de Burgers

Existen expresiones explícitas para la ecuación viscosa de Burgers. A continuación se ofrecen algunas de las soluciones físicamente relevantes: ^[16]

Onda viajera que se propaga de manera constante

Si es tal que y y , entonces tenemos una solución de onda viajera (con una velocidad constante ) dada por ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle f(-\infty )=f^{+}}$ ${\displaystyle f(+\infty )=f^{-}}$ ${\displaystyle f'(x)<0}$ ${\displaystyle c=(f^{+}+f^{-})/2}$

${\displaystyle u(x,t)=c-{\frac {f^{+}-f^{-}}{2}}\tanh \left[{\frac {f^{+}-f^{-}}{4\nu }}(x-ct)\right].}$

Esta solución, que fue derivada originalmente por Harry Bateman en 1915, ^[5] se utiliza para describir la variación de la presión a lo largo de una onda de choque débil ^[15] . Cuándo y para ${\displaystyle f^{+}=2}$ ${\displaystyle f^{-}=0}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2}{1+e^{\frac {x-t}{\nu }}}}}$

con . ${\displaystyle c=1}$

Función delta como condición inicial

Si , donde (digamos, el número de Reynolds ) es una constante, entonces tenemos ^[17] ${\displaystyle u(x,0)=2\nu Re\delta (x)}$ ${\displaystyle Re}$

${\displaystyle u(x,t)={\sqrt {\frac {\nu }{\pi t}}}\left[{\frac {(e^{Re}-1)e^{-x^{2}/4\nu t}}{1+(e^{Re}-1)\mathrm {erfc} (x/{\sqrt {4\nu t}})/{\sqrt {2}}}}\right].}$

En el límite , el comportamiento limitante es una expansión difusional de una fuente y, por lo tanto, está dado por ${\displaystyle Re\to 0}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2\nu Re}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\nu t}}\right).}$

Por otra parte, en el límite , la solución se aproxima a la de la solución de onda de choque de Chandrasekhar antes mencionada de la ecuación de Burgers no viscosa y está dada por ${\displaystyle Re\to \infty }$

${\displaystyle u(x,t)={\begin{cases}{\frac {x}{t}},\quad 0<x<{\sqrt {2\nu Re\,t}},\\0,\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

La ubicación de la onda de choque y su velocidad están dadas por y ${\displaystyle x={\sqrt {2\nu Re\,t}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\nu Re/t}}.}$

Solución de ondas N

La solución de onda N comprende una onda de compresión seguida de una onda de rarefacción. Una solución de este tipo viene dada por

${\displaystyle u(x,t)={\frac {x}{t}}\left[1+{\frac {1}{e^{Re_{0}-1}}}{\sqrt {\frac {t}{t_{0}}}}\exp \left(-{\frac {Re(t)x^{2}}{4\nu Re_{0}t}}\right)\right]^{-1}}$

donde puede considerarse como un número de Reynolds inicial en el tiempo y con , puede considerarse como el número de Reynolds variable en el tiempo. ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle Re(t)=(1/2\nu )\int _{0}^{\infty }udx=\ln(1+{\sqrt {\tau /t}})}$ ${\displaystyle \tau =t_{0}{\sqrt {e^{Re_{0}}-1}}}$

Otras formas

Ecuación multidimensional de Burgers

En dos o más dimensiones, la ecuación de Burgers se convierte en

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u\cdot \nabla u=\nu \nabla ^{2}u.}$

También se puede extender la ecuación para el campo vectorial , como en ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} .}$

Ecuación generalizada de Burgers

La ecuación generalizada de Burgers extiende la convección cuasilineal a una forma más generalizada, es decir,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c(u){\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

donde es cualquier función arbitraria de u. La ecuación no viscosa sigue siendo una ecuación hiperbólica cuasilineal para y su solución se puede construir utilizando el método de características como antes. ^[18] ${\displaystyle c(u)}$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle c(u)>0}$

Ecuación estocástica de Burgers

El ruido espacio-temporal añadido , donde es un proceso de Wiener , forma una ecuación de Burgers estocástica ^[19] ${\displaystyle \eta (x,t)={\dot {W}}(x,t)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\lambda {\frac {\partial \eta }{\partial x}}.}$

Esta PDE estocástica es la versión unidimensional de la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang en un campo al sustituir . ${\displaystyle h(x,t)}$ ${\displaystyle u(x,t)=-\lambda \partial h/\partial x}$

Véase también

• La ecuación de Chaplygin
• Ecuación de conservación
• Ecuación de Euler-Tricomi
• Ecuación de Fokker-Planck
• Ecuación de KdV-Burgers

Referencias

1. Misra, Souren; Raghurama Rao, SV; Bobba, Manoj Kumar (1 de septiembre de 2010). "Modelado a escala de subcuadrícula basado en sistemas de relajación para simulación de grandes remolinos de la ecuación de Burgers". Revista internacional de dinámica de fluidos computacional . 24 (8): 303–315. Bibcode :2010IJCFD..24..303M. doi :10.1080/10618562.2010.523518. ISSN  1061-8562. S2CID  123001189.
2. Se relaciona con la ecuación de momento de Navier-Stokes con el término de presión eliminado Ecuación de Burgers (PDF):aquí la variable es la velocidad del flujo y = u
3. Surge de la ecuación de Westervelt con un supuesto de ondas que se propagan estrictamente hacia adelante y el uso de una transformación de coordenadas a un marco de tiempo retardado: aquí la variable es la presión.
4. Musha, Toshimitsu; Higuchi, Hideyo (1978-05-01). "Fluctuación de la corriente de tráfico y la ecuación de Burgers". Revista japonesa de física aplicada . 17 (5): 811. Bibcode :1978JaJAP..17..811M. doi :10.1143/JJAP.17.811. ISSN  1347-4065. S2CID  121252757.
5. Bateman, H. (1915). "Algunas investigaciones recientes sobre el movimiento de fluidos". Monthly Weather Review . 43 (4): 163–170. Bibcode :1915MWRv...43..163B. doi : 10.1175/1520-0493(1915)43<163:SRROTM>2.0.CO;2 .
6. Whitham, GB (2011). Ondas lineales y no lineales (Vol. 42). John Wiley & Sons.
7. Burgers, JM (1948). "Un modelo matemático que ilustra la teoría de la turbulencia". Avances en mecánica aplicada . 1 : 171–199. doi :10.1016/S0065-2156(08)70100-5. ISBN . 9780123745798.
8. Olver, Peter J. (2013). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Textos de pregrado en matemáticas. En línea: Springer. p. 37. doi :10.1007/978-3-319-02099-0. ISBN 978-3-319-02098-3. Número de identificación del sujeto  220617008.
9. Cameron, Maria (29 de febrero de 2024). "Notes on Burger's Equation" (PDF) . Departamento de Matemáticas de la Universidad de Maryland, sitio web personal de Maria Cameron . Consultado el 29 de febrero de 2024 .
10. Forsyth, AR (1903). Tratado sobre ecuaciones diferenciales . Londres: Macmillan.
11. Chandrasekhar, S. (1943). Sobre la desintegración de las ondas de choque planas (Informe). Laboratorios de investigación balística. Informe n.º 423.
12. Cole, Julian (1951). "Sobre una ecuación parabólica cuasi-lineal que ocurre en la aerodinámica". Quarterly of Applied Mathematics . 9 (3): 225–236. doi : 10.1090/qam/42889 . JSTOR  43633894.
13. Eberhard Hopf (septiembre de 1950). "La ecuación diferencial parcial u _t + uu _x = μu _xx ". Communications on Pure and Applied Mathematics . 3 (3): 201–230. doi :10.1002/cpa.3160030302.
14. Kevorkian, J. (1990). Ecuaciones diferenciales parciales: técnicas de solución analítica . Belmont: Wadsworth. págs. 31–35. ISBN. 0-534-12216-7.
15. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: curso de física teórica, volumen 6 (Vol. 6). Elsevier. Páginas 352-354.
16. Salih, A. "La ecuación de Burgers". Instituto Indio de Ciencia y Tecnología Espacial, Thiruvananthapuram (2016).
17. Whitham, Gerald Beresford. Ondas lineales y no lineales. John Wiley & Sons, 2011.
18. Courant, R., y Hilbert, D. Métodos de física matemática. Vol. II.
19. Wang, W.; Roberts, AJ (2015). "Aproximación de difusión para autosimilitud de advección estocástica en la ecuación de Burgers". Communications in Mathematical Physics . 333 (3): 1287–1316. arXiv : 1203.0463 . Código Bibliográfico :2015CMaPh.333.1287W. doi :10.1007/s00220-014-2117-7. S2CID  119650369.

Enlaces externos

• Ecuación de Burgers en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Burgers en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.