La dualidad local de Tate

Dualidad para módulos de Galois para el grupo de Galois absoluto de un cuerpo local no arquimediano

En la cohomología de Galois , la dualidad local de Tate (o simplemente dualidad local ) es una dualidad para los módulos de Galois para el grupo absoluto de Galois de un cuerpo local no arquimediano . Recibe su nombre en honor a John Tate, quien la demostró por primera vez. Muestra que el dual de dicho módulo de Galois es el giro de Tate del dual lineal habitual. Este nuevo dual se denomina dual de Tate ( local ) .

La dualidad local combinada con la fórmula característica de Euler local de Tate proporciona un conjunto versátil de herramientas para calcular la cohomología de Galois de campos locales.

Declaración

Sea K un cuerpo local no arquimediano, sea K ^s una clausura separable de K y sea G _K  = Gal( K ^s / K ) el grupo de Galois absoluto de K .

Caso de módulos finitos

Denotemos por μ el módulo de Galois de todas las raíces de la unidad en K ^s . Dado un G _K -módulo A finito de orden primo a la característica de K , el dual de Tate de A se define como

${\displaystyle A^{\prime }=\mathrm {Hom} (A,\mu )}$

(es decir, es el giro de Tate del dual habitual A ^∗ ). Sea H ⁱ ( K ,  A ) la cohomología de grupo de G _K con coeficientes en A . El teorema establece que el emparejamiento

${\displaystyle H^{i}(K,A)\times H^{2-i}(K,A^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mu )=\mathbf {Q} /\mathbf {Z} }$

dado por el producto de copa se establece una dualidad entre H ⁱ ( K , A ) y H ^{2− i} ( K ,  A ^′ ) para i  = 0, 1, 2. ^[1] Dado que G _K tiene una dimensión cohomológica igual a dos, los grupos de cohomología superiores se desvanecen. ^[2]

Caso depag-representaciones ádicas

Sea p un número primo . Sea Q _p (1) el carácter ciclotómico p -ádico de G _K (es decir, el módulo de Tate de μ). Una representación p -ádica de G _K es una representación continua .

${\displaystyle \rho :G_{K}\rightarrow \mathrm {GL} (V)}$

donde V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números p-ádicos Q _p y GL( V ) denota el grupo de aplicaciones lineales invertibles de V a sí mismo. ^[3] El dual de Tate de V se define como

${\displaystyle V^{\prime }=\mathrm {Hom} (V,\mathbf {Q} _{p}(1))}$

(es decir, es el giro de Tate del dual usual V ^∗  = Hom( V , Q _p )). En este caso, H ⁱ ( K , V ) denota la cohomología de grupo continua de G _K con coeficientes en V . La dualidad de Tate local aplicada a V dice que el producto de copa induce un emparejamiento

${\displaystyle H^{i}(K,V)\times H^{2-i}(K,V^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mathbf {Q} _{p}(1))=\mathbf {Q} _{p}}$

que es una dualidad entre H ⁱ ( K ,  V ) y H ^{2− i} ( K ,  V  ′) para i  = 0, 1, 2. ^[4] Nuevamente, los grupos de cohomología superiores se desvanecen.

Véase también

• Dualidad de Tate , una versión global (es decir, para campos globales )

Notas

1. Serre 2002, Teorema II.5.2
2. Serre 2002, §II.4.3
3. Algunos autores utilizan el término representación p -ádica para referirse a módulos de Galois más generales.
4. Rubin 2000, Teorema 1.4.1

Referencias

• Rubin, Karl (2000), Sistemas de Euler , Conferencias Hermann Weyl, Anales de estudios matemáticos, vol. 147, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05076-8, Sr.  1749177
• Serre, Jean-Pierre (2002), Cohomología de Galois , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42192-4, Sr.  1867431, traducción de Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).