Teorema de Bernstein (polinomios)

Desigualdad matemática

El teorema de Bernstein es una desigualdad que relaciona el módulo máximo de una función polinómica compleja en el disco unitario con el módulo máximo de su derivada en el disco unitario. Fue demostrado por Sergei Bernstein mientras trabajaba en la teoría de la aproximación . ^[1]

Declaración

Denotemos el módulo máximo de una función arbitraria en y denotemos su derivada. Entonces para cada polinomio de grado tenemos ${\displaystyle \max _{|z|=1}|f(z)|}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq n\max _{|z|=1}|P(z)|}$.

La desigualdad es mejor posible si la igualdad se cumple si y sólo si

${\displaystyle P(z)=\alpha z^{n},\ |\alpha |=\max _{|z|=1}|P(z)|}$.

^[2]

Prueba

Sea un polinomio de grado y sea otro polinomio del mismo grado sin ceros . Primero mostramos que si está activado , luego activado . ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q(z)}$ ${\displaystyle |z|\geq 1}$ ${\displaystyle |P(z)|<|Q(z)|}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle |P'(z)|<|Q'(z)|}$ ${\displaystyle |z|\geq 1}$

Según el teorema de Rouché , con tiene todos sus ceros en . En virtud del teorema de Gauss-Lucas , también tiene todos sus ceros . De lo contrario , podríamos elegir un con tal que tenga un cero en . ${\displaystyle P(z)+\varepsilon \ Q(z)}$ ${\displaystyle |\varepsilon |\geq 1}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle P'(z)+\varepsilon \ Q'(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle |P'(z)|<|Q'(z)|}$ ${\displaystyle |z|\geq 1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle |\varepsilon |\geq 1}$ ${\displaystyle P'(z)+\varepsilon Q'(z)}$ ${\displaystyle |z|\geq 1}$

Para un polinomio de grado arbitrario , obtenemos el teorema de Bernstein aplicando el resultado anterior a los polinomios , donde es una constante arbitraria que excede . ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q(z)=Cz^{n}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \max _{|z|=1}|P(z)|}$

La desigualdad de Bernstein

En análisis matemático , la desigualdad de Bernstein establece que en el plano complejo , dentro del disco de radio 1, el grado de un polinomio multiplicado por el valor máximo de un polinomio es un límite superior para el máximo similar de su derivada . Tomando la k- ésima derivada del teorema,

${\displaystyle \max _{|z|\leq 1}(|P^{(k)}(z)|)\leq {\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot \max _{|z|\leq 1}(|P(z)|).}$

Resultados similares

Paul Erdős conjeturó que si no tiene ceros , entonces . Esto fue demostrado por Peter Lax . ^[3] ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq {\frac {n}{2}}\max _{|z|=1}|P(z)|}$

MA Malik demostró que si no hay ceros para un dado , entonces . ^[4] ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle |z|<k}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq {\frac {n}{1+k}}\max _{|z|=1}|P(z)|}$

Ver también

• La desigualdad de los hermanos Markov
• Desigualdad de Remez

Referencias

1. RP Boas, Jr., Desigualdades para las derivadas de polinomios, Math. revista 42 (1969), 165-174.
2. MA Malik, MC Vong, Desigualdades relativas a la derivada de polinomios, Rend. Circo. Estera. Palermo (2) 34 (1985), 422–426.
3. PD Lax, Prueba de una conjetura de P. Erdös sobre la derivada de un polinomio, Bull. América. Matemáticas. Soc. 50 (1944), 509–513.
4. MA Malik, Sobre la derivada de un polinomio J. London Math. Soc (2) 1 (1969), 57–60.

Otras lecturas

• Frappier, Clément (2004). "Nota sobre la desigualdad de Bernstein para la tercera derivada de un polinomio" (PDF) . J. Desigual. Pura aplicación. Matemáticas . 5 (1). Documento No. 7. ISSN  1443-5756. Zbl  1060.30003.
• Natanson, IP (1964). Teoría de funciones constructivas. Volumen I: Aproximación uniforme . Traducido por Alexis N. Obolensky. Nueva York: Frederick Ungar. SEÑOR  0196340. Zbl  0133.31101.
• Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002). Teoría analítica de polinomios . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Series nuevas. vol. 26. Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-853493-0. Zbl  1072.30006.