Constante de recurrencia cuadrática de Somos

Constante matemática

En el análisis matemático y la teoría de números , la constante de recurrencia cuadrática de Somos o simplemente constante de Somos es una constante definida como una expresión de infinitas raíces cuadradas anidadas . Surge al estudiar el comportamiento asintótico de una determinada secuencia ^[1] y también en relación con las representaciones binarias de números reales entre cero y uno . ^[2] La constante lleva el nombre de Michael Somos . Se define por:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {1{\sqrt {2{\sqrt {3{\sqrt {4{\sqrt {5\cdots }}}}}}}}}}}$

lo que da un valor numérico de aproximadamente: ^[3]

${\displaystyle \sigma =1.661687949633594121295\dots \;}$(secuencia A112302 en la OEIS ).

Sumas y productos

La constante de Somos se puede definir alternativamente mediante el siguiente producto infinito :

${\displaystyle \sigma =\prod _{k=1}^{\infty }k^{1/2^{k}}=1^{1/2}\;2^{1/4}\;3^{1/8}\;4^{1/16}\dots }$

Esto se puede reescribir fácilmente en una representación de producto que converge mucho más rápidamente.

${\displaystyle \sigma =\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {3}{2}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/8}\left({\frac {5}{4}}\right)^{1/16}\dots }$

que luego puede representarse de forma compacta en forma de producto infinito mediante:

${\displaystyle \sigma =\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{1/2^{k}}}$

Otra representación del producto viene dada por: ^[4]

${\displaystyle \sigma =\prod _{n=1}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+n}{\binom {n}{k}}}}$

Las expresiones para (secuencia A114124 en la OEIS ) incluyen: ^{[4] [5]} ${\displaystyle \ln \sigma }$

${\displaystyle \ln \sigma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln k}{2^{k}}}}$

${\displaystyle \ln \sigma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{\text{Li}}_{k}\left({\tfrac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \ln {\frac {\sigma }{2}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\left(\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k}}\right)}$

Integrales

Las integrales para se dan por: ^{[4] [6]} ${\displaystyle \ln \sigma }$

${\displaystyle \ln \sigma =\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{(x-2)\ln x}}dx}$

${\displaystyle \ln \sigma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-x}{(2-xy)\ln(xy)}}dxdy}$

Otras fórmulas

La constante surge al estudiar el comportamiento asintótico de la secuencia ^[1] ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle g_{0}=1}$

${\displaystyle g_{n}=ng_{n-1}^{2},\qquad n\geq 1}$

con los primeros términos 1, 1, 2, 12, 576, 1658880, ... (secuencia A052129 en la OEIS ). Se puede demostrar que esta secuencia tiene un comportamiento asintótico como sigue: ^[4]

${\displaystyle g_{n}\sim {\sigma ^{2^{n}}}\left(n+2-n^{-1}+4n^{-2}-21n^{-3}+138n^{-4}+O(n^{-5})\right)^{-1}}$

Guillera y Sondow dan una representación en términos de la derivada del trascendente de Lerch : ^[6] ${\displaystyle \Phi (z,s,q)}$

${\displaystyle \ln \sigma =-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}\!\left(1/2,0,1\right)}$

Si se define la función constante de Euler (que da la constante de Euler para ) como: ${\displaystyle z=1}$

${\displaystyle \gamma (z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$

uno tiene: ^{[7] [8] [9]}

${\displaystyle \gamma ({\tfrac {1}{2}})=2\ln {\frac {2}{\sigma }}}$

Universalidad

Se puede definir una "expansión binaria continua" para todos los números reales del conjunto , de manera similar a la expansión decimal o expansión fraccionaria continua simple . Esto se hace considerando la única representación en base 2 para un número que no contiene una cola infinita de 0 (por ejemplo, escribir la mitad como en lugar de ). Luego, definir una secuencia que dé la diferencia en las posiciones de los 1 en esta representación en base 2. Esta expansión para ahora está dada por: ^[10] ${\displaystyle (0,1]}$ ${\displaystyle x\in (0,1]}$ ${\displaystyle 0.01111..._{2}}$ ${\displaystyle 0.1_{2}}$ ${\displaystyle (a_{k})\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=\langle a_{1},a_{2},a_{3},...\rangle }$

Las medias geométricas de los términos de Pi y e parecen tender a la constante de Somos.

Por ejemplo la parte fraccionaria de Pi tenemos:

${\displaystyle \{\pi \}=0.14159\,26535\,89793...=0.00100\,10000\,11111..._{2}}$(secuencia A004601 en la OEIS )

El primer 1 aparece en la posición 3 después del punto de la base . El siguiente 1 aparece tres lugares después del primero, el tercero aparece cinco lugares después del segundo, etc. Continuando de esta manera, obtenemos:

${\displaystyle \pi -3=\langle 3,3,5,1,1,1,1...\rangle }$(secuencia A320298 en la OEIS )

Esto da una función biyectiva , de modo que para cada número real podemos dar de manera única: ^[10] ${\displaystyle (0,1]\mapsto \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x\in (0,1]}$

${\displaystyle x=\langle a_{1},a_{2},a_{3},...\rangle :\Leftrightarrow x=\sum _{k=1}^{\infty }2^{-(a_{1}+...+a_{k})}}$

Ahora se puede demostrar que para casi todos los números el límite de la media geométrica de los términos converge a la constante de Somos. Es decir, para casi todos los números en ese intervalo tenemos: ^[2] ${\displaystyle x\in (0,1]}$ ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sigma =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}}$

La constante de Somos es universal para la "expansión binaria continua" de números en el mismo sentido que la constante de Khinchin es universal para las simples expansiones fraccionarias continuas de números . ${\displaystyle x\in (0,1]}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Generalizaciones

Las constantes Somos generalizadas pueden darse por:

${\displaystyle \sigma _{t}=\prod _{k=1}^{\infty }k^{1/t^{k}}=1^{1/t}\;2^{1/t^{2}}\;3^{1/t^{3}}\;4^{1/t^{4}}\dots }$

para . ${\displaystyle t>1}$

La siguiente serie es válida:

${\displaystyle \ln \sigma _{t}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln k}{t^{k}}}}$

También tenemos una conexión con la función constante de Euler : ^[8]

${\displaystyle \gamma ({\tfrac {1}{t}})=t\ln \left({\frac {t}{(t-1)\sigma _{t}^{t-1}}}\right)}$

y el siguiente límite, donde es la constante de Euler : ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}t\sigma _{t+1}^{t}=e^{-\gamma }}$

Véase también

• Constante de Euler
• La constante de Khinchin
• Número binario
• Teoría ergódica
• Lista de constantes matemáticas

Referencias

1. Finch, Steven R. (18 de agosto de 2003). Constantes matemáticas. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81805-6.
2. Neunhäuserer, Jörg (13 de octubre de 2020), Sobre la universalidad de la constante Somos, doi :10.48550/arXiv.2006.02882 , consultado el 13 de octubre de 2024
3. Hirschhorn, Michael D. (1 de noviembre de 2011). "Una nota sobre la constante de recurrencia cuadrática de Somos". Journal of Number Theory . 131 (11): 2061–2063. doi :10.1016/j.jnt.2011.04.010. ISSN  0022-314X.
4. Weisstein, Eric W. "Constante de recurrencia cuadrática de Somos". MathWorld .
5. Mortici, Cristinel (1 de diciembre de 2010). "Estimación de la constante de recurrencia cuadrática de Somos". Revista de teoría de números . 130 (12): 2650–2657. doi :10.1016/j.jnt.2010.06.012. ISSN  0022-314X.
6. Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). "Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas mediante continuaciones analíticas del trascendente de Lerch". The Ramanujan Journal . 16 (3): 247–270. doi :10.1007/s11139-007-9102-0. ISSN  1382-4090.
7. Chen, Chao-Ping; Han, Xue-Feng (1 de septiembre de 2016). "Sobre la constante de recurrencia cuadrática de Somos". Revista de teoría de números . 166 : 31–40. doi :10.1016/j.jnt.2016.02.018. ISSN  0022-314X.
8. Sondow, Jonathan; Hadjicostas, Petros (2007). "La función constante de Euler generalizada $\gamma(z)$ y una generalización de la constante de recurrencia cuadrática de Somos". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 332 (1): 292–314. doi :10.1016/j.jmaa.2006.09.081.
9. Pilehrood, Khodabakhsh Hessami; Pilehrood, Tatiana Hessami (1 de enero de 2007). "Propiedades aritméticas de algunas series con coeficientes logarítmicos". Revista matemática . 255 (1): 117–131. doi :10.1007/s00209-006-0015-1. ISSN  1432-1823.
10. Neunhäuserer, Jörg (1 de noviembre de 2011). "Sobre la dimensión de Hausdorff de los fractales dada por ciertas expansiones de números reales". Archiv der Mathematik . 97 (5): 459–466. doi :10.1007/s00013-011-0320-8. ISSN  1420-8938.