En matemáticas , suma de Kummer es el nombre que se le da a ciertas sumas cúbicas de Gauss para un módulo primo p , con p congruente con 1 módulo 3. Llevan el nombre de Ernst Kummer , quien hizo una conjetura sobre las propiedades estadísticas de sus argumentos, como números complejos. . Estas sumas eran conocidas y utilizadas antes de Kummer, en la teoría de la ciclotomía .
Por tanto, una suma de Kummer es una suma finita.
tomado sobre r módulo p , donde χ es un carácter de Dirichlet que toma valores en las raíces cúbicas de la unidad , y donde e ( x ) es la función exponencial exp(2π ix ). Dado p de la forma requerida, existen dos de estos caracteres, junto con el carácter trivial.
La suma exponencial cúbica K ( n , p ) definida por
Se ve fácilmente que es una combinación lineal de las sumas de Kummer. De hecho, es 3 P donde P es uno de los períodos gaussianos para el subgrupo del índice 3 en los residuos mod p , bajo multiplicación, mientras que las sumas de Gauss son combinaciones lineales de P con raíces cúbicas unitarias como coeficientes. Sin embargo, es la suma de Gauss para la que se cumplen las propiedades algebraicas. Estas sumas exponenciales cúbicas ahora también se denominan sumas de Kummer.
Se sabe por la teoría general de las sumas de Gauss que
De hecho , se conoce la descomposición prima de G ( χ ) en el campo ciclotómico en el que se encuentra naturalmente, dando una forma más fuerte. Lo que preocupaba a Kummer era el argumento
de G ( χ ). A diferencia del caso cuadrático, donde se conoce el cuadrado de la suma de Gauss y Gauss determinó la raíz cuadrada precisa, aquí el cubo de G ( χ ) se encuentra en los enteros de Eisenstein , pero su argumento está determinado por el de la división prima de Eisenstein. p , que se divide en ese campo.
Kummer hizo una conjetura estadística sobre θ p y su módulo de distribución 2π (en otras palabras, sobre el argumento de la suma de Kummer en el círculo unitario). Para que esto tenga sentido, hay que elegir entre los dos posibles χ: de hecho, hay una elección distinguida basada en el símbolo del residuo cúbico . Kummer utilizó datos numéricos disponibles para p hasta 500 (esto se describe en el libro Teoría de los números de 1892 de George B. Mathews ). Sin embargo, estaba en vigor una "ley de los números pequeños", lo que significa que la conjetura original de Kummer, de falta de distribución uniforme, adolecía de un sesgo de números pequeños. En 1952, John von Neumann y Herman Goldstine ampliaron los cálculos de Kummer en ENIAC . [1] Los cálculos fueron programados y codificados por Hedvig Selberg, pero su trabajo solo fue reconocido al final del artículo, de manera similar a Mary Tsingou en el problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (anteriormente el problema Fermi-Pasta-Ulam). .
En el siglo XX finalmente se lograron avances en esta cuestión que había permanecido intacta durante más de 100 años. Sobre la base del trabajo de Tomio Kubota , SJ Patterson y Roger Heath-Brown en 1978 refutó la conjetura de Kummer y demostró una forma modificada de la conjetura de Kummer. [2] De hecho, demostraron que había equidistribución del θ p . Este trabajo involucró formas automórficas para el grupo metapléctico y el lema de Vaughan en la teoría analítica de números . En 2000, Heath-Brown logró más mejoras. [3]
JWS Cassels hizo una segunda conjetura sobre las sumas de Kummer , basándose nuevamente en ideas anteriores de Tomio Kubota. Esta era una fórmula de producto en términos de funciones elípticas con multiplicación compleja por los enteros de Eisenstein. [4] La conjetura fue probada en 1978 por Charles Matthews. [5]
En 1978, Patterson conjeturó que θ p estaba equidistribuido con un término de error de orden asintótico en lugar de cuadrático como ocurre con las sumas de Gauss, lo que podría explicar el sesgo inicial observado por Kummer. [6] El año siguiente, su trabajo posterior con Heath-Brown refutando la conjetura de Kummer demostró que, de hecho, estaba equidistribuida, pero se desconocía si el orden de la asintótica era correcto. [7] Más de 20 años después, Heath-Brown cerró el problema, dio un nuevo método de tamiz y conjeturó que podría mejorarse para obtener el orden previsto. [8] En 2021, el problema fue demostrado condicionalmente sobre la hipótesis generalizada de Riemann por Alexander Dunn y Maksym Radziwill , quienes también demostraron que el tamiz de Heath Brown no se podía mejorar como se esperaba. [9] [10]
