En teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el dual de Langlands L G de un grupo algebraico reductivo G (también llamado el L -grupo de G ) es un grupo que controla la teoría de la representación de G. Si G se define sobre un cuerpo k , entonces L G es una extensión del grupo absoluto de Galois de k por un grupo de Lie complejo . También existe una variación llamada forma de Weil del L -grupo , donde el grupo de Galois se reemplaza por un grupo de Weil . Aquí, la letra L en el nombre también indica la conexión con la teoría de las funciones L , particularmente las funciones L automórficas . El dual de Langlands fue introducido por Langlands (1967) en una carta a A. Weil .
El grupo L se utiliza mucho en las conjeturas de Langlands de Robert Langlands . Se utiliza para hacer afirmaciones precisas a partir de ideas de que las formas automorfas son en cierto sentido functoras en el grupo G , cuando k es un cuerpo global . No es exactamente G con respecto a qué formas y representaciones automorfas son functoras, sino L G. Esto da sentido a numerosos fenómenos, como el "elevamiento" de formas de un grupo a otro más grande, y el hecho general de que ciertos grupos que se vuelven isomorfos después de extensiones de cuerpo tienen representaciones automorfas relacionadas.
A partir de un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo separablemente cerrado K podemos construir su dato raíz ( X * , Δ, X * , Δ v ), donde X * es la red de caracteres de un toro maximal, X * la red dual (dada por los subgrupos de 1 parámetro), Δ las raíces y Δ v las co-raíces. Un grupo algebraico reductivo conexo sobre K está determinado de forma única (salvo isomorfismo) por su dato raíz. Un dato raíz contiene ligeramente más información que el diagrama de Dynkin , porque también determina el centro del grupo.
Para cualquier dato raíz ( X * , Δ, X * , Δ v ), podemos definir un dato raíz dual ( X * , Δ v , X * , Δ) intercambiando los caracteres con los subgrupos de 1 parámetro y intercambiando las raíces con las co-raíces.
Si G es un grupo algebraico reductivo conexo sobre el cuerpo algebraicamente cerrado K , entonces su grupo dual de Langlands L G es el grupo reductivo complejo conexo cuyo dato raíz es dual al de G .
Ejemplos : El grupo dual de Langlands L G tiene el mismo diagrama de Dynkin que G , excepto que los componentes de tipo B n se cambian a componentes de tipo C n y viceversa. Si G tiene centro trivial, entonces L G es simplemente conexo, y si G es simplemente conexo, entonces L G tiene centro trivial. El dual de Langlands de GL n ( K ) es GL n ( C ).
Supongamos ahora que G es un grupo reductivo sobre algún cuerpo k con clausura separable K . Sobre K , G tiene un dato raíz, y esto viene con una acción del grupo de Galois Gal ( K / k ). El componente identidad L G o del grupo L es el grupo reductivo complejo conexo del dato raíz dual; este tiene una acción inducida del grupo de Galois Gal ( K / k ). El grupo L completo L G es el producto semidirecto
del componente conectado con el grupo de Galois.
Existen algunas variaciones de la definición del grupo L , como sigue:
Las conjeturas de Langlands implican, de manera muy general, que si G es un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo local o global, entonces existe una correspondencia entre las representaciones "buenas" de G y los homomorfismos de un grupo de Galois (o grupo de Weil o grupo de Langlands ) en el grupo dual de Langlands de G. Una formulación más general de las conjeturas es la functorialidad de Langlands , que dice (aproximadamente) que dado un homomorfismo (bien comportado) entre grupos duales de Langlands, debería haber una función inducida entre las representaciones "buenas" de los grupos correspondientes.
Para hacer explícita esta teoría, debe definirse el concepto de L -homomorfismo de un L -grupo en otro. Es decir, los L -grupos deben convertirse en una categoría , de modo que la 'funtorialidad' tenga sentido. La definición sobre los grupos de Lie complejos es la esperada, pero los L -homomorfismos deben estar 'sobre' el grupo de Weil.