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Kriyakramakari

Kriyakramakari ( Kriyā-kramakarī ) es un comentario elaborado en sánscrito escrito por Sankara Variar y Narayana, dos astrónomos-matemáticos pertenecientes a la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , sobre el conocido libro de texto de matemáticas Lilavati de Bhaskara II . [1] Kriyakramakari ('Técnicas operativas' [2] ), junto con Yuktibhasa de Jyeshthadeva , es una de las principales fuentes de información sobre el trabajo y las contribuciones de Sangamagrama Madhava , el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala . [3] Además, las citas dadas en este tratado arrojan mucha luz sobre las contribuciones de varios matemáticos y astrónomos que habían florecido en una era anterior. Hay varias citas atribuidas a Govindasvami, un astrónomo del siglo IX de Kerala. [4]

Sankara Variar (c. 1500-1560), el primer autor del Kriyakramakari, fue alumno de Nilakantha Somayaji y asistente del templo de profesión. Fue un miembro destacado de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala. Entre sus obras se incluye Yukti-dipika, un extenso comentario sobre el Tantrasangraha de Nilakantha Somayaji. Narayana (c. 1540-1610), el segundo autor, fue un brahmán namputiri perteneciente a la familia Mahishamangalam en Puruvanagrama (Peruvanam en el actual distrito de Thrissur en Kerala ).

Sankara Variar escribió su comentario de Lilavati hasta la estrofa 199. Variar lo completó alrededor de 1540, cuando dejó de escribir debido a otras preocupaciones. En algún momento después de su muerte, Narayana completó el comentario de las estrofas restantes de Lilavati.

Sobre el cálculo de π

Según la edición crítica de KV Sarma de Lilavati [5] basada en Kriyakramakari, la estrofa 199 de Lilavati dice lo siguiente [6] ( se utiliza la convención Harvard-Kyoto para la transcripción de los caracteres indios):

vyAse bha-nanda-agni-hate vibhakte kha-bANa-sUryais paridhis sas sUkSmas/
dvAviMzati-ghne vihRte atha zailais sthUlas atha-vA syAt vyavahAra-yogyas//

Esto podría traducirse de la siguiente manera:

"Multiplica el diámetro por 3927 y divide el producto por 1250; esto da la circunferencia más precisa. O multiplica el diámetro por 22 y divide el producto por 7; esto da la circunferencia aproximada que responde a las operaciones comunes". [7]

Tomando este verso como punto de partida y comentándolo, Sanakara Variar, en su Kriyakrakari, explicó todos los detalles de las contribuciones de Sangamagrama Madhava para obtener valores precisos de π. Sankara Variar comentó lo siguiente:

"El maestro Madhava también mencionó un valor de la circunferencia más cercano [al valor verdadero] que ese: "Dioses [treinta y tres], ojos [dos], elefantes [ocho], serpientes [ocho], fuegos [tres], tres, cualidades [tres], Vedas [cuatro], naksatras [veintisiete], elefantes [ocho], brazos [dos] (2.827.433.388.233) —el sabio dijo que esta es la medida de la circunferencia cuando el diámetro de un círculo es nueve nikharva [10^11]". Sankara Variar dice aquí que el valor de Madhava 2.827.433.388.233 / 900.000.000.000 es más preciso que "eso", es decir, más preciso que el valor tradicional para π". [3]

Sankara Variar cita luego un conjunto de cuatro versos de Madhava que prescriben un método geométrico para calcular el valor de la circunferencia de un círculo . Esta técnica implica calcular los perímetros de sucesivos polígonos regulares circunscritos , comenzando con un cuadrado .

Una serie infinita para π

Luego, Sankara Variar describe un método más sencillo gracias a Madhava para calcular el valor de π.

"Madhava menciona una forma más fácil de obtener la circunferencia. Es decir:
Sumar o restar alternativamente el diámetro multiplicado por cuatro y dividido en orden por los números impares como tres, cinco, etc., al diámetro multiplicado por cuatro y dividido por uno.
Suponiendo que la división se completa dividiendo por un número impar, cualquiera que sea el número par encima [al lado] de ese [número impar], la mitad de ese es el multiplicador del último [término].
El cuadrado de ese número par aumentado en 1 es el divisor del diámetro multiplicado por 4 como antes. El resultado de estos dos (el multiplicador y el divisor) se suma cuando [el término anterior es] negativo, y cuando es positivo se resta.
El resultado es una circunferencia exacta. Si se repite la división muchas veces, se volverá muy exacta”. [3]

Para traducir estos versos a notaciones matemáticas modernas, supongamos que C es la circunferencia y D el diámetro de un círculo . Entonces, el método más fácil de Madhava para encontrar C se reduce a la siguiente expresión para C:

C = 4D/1 - 4D/3 + 4D/5 - 4D/7 + ...

En esencia, se trata de la serie conocida como la serie de Gregory-Leibniz para π. Después de enunciar esta serie, Sankara Variar continúa con una descripción de una lógica geométrica elaborada para la derivación de la serie. [3]

Una serie infinita para el arcotangente

La teoría se desarrolla más en Kriyakramakari. Se plantea el problema de derivar una serie similar para el cálculo de un arco arbitrario de un círculo. Esto produce la expansión en serie infinita de la función arcotangente . Este resultado también se atribuye a Madhava.

"Ahora bien, con el mismo argumento, se puede determinar el arco de un seno deseado. Es decir, de la siguiente manera:
El primer resultado es el producto del seno deseado por el radio dividido por el coseno. Cuando se ha hecho del cuadrado del seno el multiplicador y del cuadrado del coseno el divisor,
Ahora se debe determinar un grupo de resultados a partir de los resultados [anteriores] comenzando por el primero. Cuando estos se dividen en orden por los números impares 1, 3, etc.,
y cuando se ha restado la suma de los resultados pares de la suma de los impares, [ese] debería ser el arco. Aquí, se requiere que el menor de los valores del seno y el coseno se considere como el [seno] deseado.
De lo contrario, no habría terminación de los resultados incluso si se [calcularan] repetidamente". [3]

Las fórmulas anteriores establecen que si para un arco arbitrario θ de un círculo de radio R se conocen el seno y el coseno y suponemos que sen θ < cos θ, entonces tenemos:

θ = (R sen θ)/(1 cos θ) − (R sen 3 θ)/(3 cos 3 θ) + (R sen 5 θ)/(5 cos 5 θ) − (R sen 7 θ)/( 7 cos 7 θ)+ . . .

Véase también

Referencias

  1. ^ Sternbach, Ludwik. "Reseña de Lilavati de Bhaskaracarya con Kriyakramakari" (PDF) . Journal of the American Oriental Society. Archivado desde el original (PDF) el 27 de julio de 2011. Consultado el 5 de marzo de 2011 .
  2. ^ Joseph, George Gheverghese. "El desarrollo de series infinitas en tres culturas: antecedentes y logros internos" . Consultado el 5 de marzo de 2011 .
  3. ^ abcde Plofker, Kim (18 de enero de 2009). Matemáticas en la India . Princeton: Princeton University Press . pp. 221–248. ISBN. 978-0-691-12067-6.
  4. ^ Hayashi, Takao (2000). «Govindasvami's arithmetic rules quoted in Kriyakramakari of Sankara and Narayana» (PDF) . Revista india de historia de la ciencia . 35 (3): 189–231. Archivado desde el original (PDF) el 21 de julio de 2011. Consultado el 5 de marzo de 2011 .
  5. ^ Sarma, KV (1975). Lilavati editó con el comentario Kriyakramakari de Sankara y Narayana . Hoshiarpur: Instituto de Investigación Védica Vishveshvaranand.
  6. ^ Hayashi, Takao. "Texto electrónico del Lilavati de Bhaskara II" . Consultado el 5 de marzo de 2011 .
  7. ^ John, Taylor (1816). Lilawati o un tratado sobre aritmética y geometría. pág. 94.