Teorema de Kramers

Teorema de la mecánica cuántica

En mecánica cuántica , el teorema de degeneración de Kramers establece que para cada estado propio de energía de un sistema simétrico con inversión temporal y espín total semientero , existe otro estado propio con la misma energía relacionado por inversión temporal. En otras palabras, la degeneración de cada nivel de energía es un número par si tiene espín semientero. El teorema recibe su nombre del físico holandés H. A. Kramers .

En física teórica, la simetría de inversión temporal es la simetría de las leyes físicas bajo una transformación de inversión temporal:

${\displaystyle T:t\mapsto -t.}$

Si el operador hamiltoniano conmuta con el operador de inversión temporal, es decir

${\displaystyle [H,T]=0,}$

entonces, para cada estado propio de energía , el estado invertido en el tiempo también es un estado propio con la misma energía. Estos dos estados a veces se denominan par de Kramers . ^[1] En general, este estado invertido en el tiempo puede ser idéntico al original, pero eso no es posible en un sistema de espín semientero: dado que la inversión del tiempo invierte todos los momentos angulares, invertir un espín semientero no puede producir el mismo estado (el número cuántico magnético nunca es cero). ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle T|n\rangle }$

Enunciado matemático y demostración

En mecánica cuántica, la operación de inversión del tiempo se representa mediante un operador antiunitario que actúa sobre un espacio de Hilbert . Si sucede que , entonces tenemos el siguiente teorema simple: ${\textstyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle T^{2}=-1}$

Si es un operador antiunitario que actúa sobre un espacio de Hilbert que satisface y un vector en , entonces es ortogonal a . ${\textstyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle T^{2}=-1}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle Tv}$ ${\textstyle v}$

Prueba

Por la definición de un operador antiunitario, , donde y son vectores en . Reemplazando y y usando que , obtenemos lo que implica que . ${\textstyle \langle Tu,Tw\rangle =\langle w,u\rangle }$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle u=Tv}$ ${\textstyle w=v}$ ${\textstyle T^{2}=-1}$ ${\textstyle -\langle v,Tv\rangle =\langle T^{2}v,Tv\rangle =\langle v,Tv\rangle ,}$ ${\textstyle \langle v,Tv\rangle =0}$

En consecuencia, si un hamiltoniano es simétrico en cuanto a inversión temporal, es decir, conmuta con , entonces todos sus espacios propios de energía tienen degeneración par, ya que al aplicarlo a un estado propio de energía arbitrario se obtiene otro estado propio de energía que es ortogonal al primero. La propiedad de ortogonalidad es crucial, ya que significa que los dos estados propios y representan estados físicos diferentes. Si, por el contrario, fueran el mismo estado físico, entonces para un ángulo , lo que implicaría ${\textstyle H}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle |n\rangle }$ ${\textstyle T|n\rangle }$ ${\textstyle |n\rangle }$ ${\textstyle T|n\rangle }$ ${\displaystyle T|n\rangle =e^{i\alpha }|n\rangle }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle T^{2}|n\rangle =T(e^{i\alpha }|n\rangle )=e^{-i\alpha }e^{i\alpha }|n\rangle =+\,|n\rangle }$

Para completar el teorema de degeneración de Kramer, sólo necesitamos demostrar que el operador de inversión temporal que actúa sobre un espacio de Hilbert de espín de número entero impar medio satisface . Esto se deduce del hecho de que el operador de espín representa un tipo de momento angular , y, como tal, debería invertir la dirección bajo : ${\textstyle T}$ ${\textstyle T^{2}=-1}$ ${\textstyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathbf {S} \to T^{-1}\mathbf {S} T=-\mathbf {S} .}$

Concretamente, un operador que tiene esta propiedad se suele escribir como ${\textstyle T}$

${\displaystyle T=e^{-i\pi S_{y}}K}$

donde es el operador de espín en la dirección y es el mapa de conjugación complejo en la base de espín. ^[2] ${\textstyle S_{y}}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle S_{z}}$

Dado que tiene componentes de matriz reales en la base, entonces ${\textstyle iS_{y}}$ ${\displaystyle S_{z}}$

${\displaystyle T^{2}=e^{-i\pi S_{y}}Ke^{-i\pi S_{y}}K=e^{-i2\pi S_{y}}K^{2}=(-1)^{2S}.}$

Por lo tanto, para espines de medio entero impar , tenemos . Este es el mismo signo menos que aparece cuando se hace una rotación completa en sistemas con espines de medio entero impar , como los fermiones . ${\textstyle S={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},\ldots }$ ${\textstyle T^{2}=-1}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Consecuencias

Los niveles de energía de un sistema con un número total impar de fermiones (como electrones , protones y neutrones ) permanecen al menos doblemente degenerados en presencia de campos puramente eléctricos (es decir, sin campos magnéticos externos ). Fue descubierto por primera vez en 1930 por HA Kramers ^[3] como consecuencia de la ecuación de Breit . Como lo mostró Eugene Wigner en 1932, ^[4] es una consecuencia de la invariancia de inversión temporal de los campos eléctricos , y se desprende de una aplicación del operador T antiunitario a la función de onda de un número impar de fermiones. El teorema es válido para cualquier configuración de campos eléctricos estáticos o variables en el tiempo.

Por ejemplo, el átomo de hidrógeno (H) contiene un protón y un electrón, de modo que el teorema de Kramers no se aplica. De hecho, el nivel de energía más bajo (hiperfino) de H no es degenerado, aunque un sistema genérico podría tener degeneración por otras razones. El isótopo deuterio (D), por otra parte, contiene un neutrón adicional, de modo que el número total de fermiones es tres y el teorema sí se aplica. El estado fundamental de D contiene dos componentes hiperfinos, que son doble y cuádruplemente degenerados.

Véase también

• Degeneración
• Simetría T

Referencias

1. Zhang, Fan; Kane, CL; Mele, EJ (2013-08-02). "Superconductividad topológica invariante en inversión temporal y pares de Majorana Kramers". Physical Review Letters . 111 (5): 056402. arXiv : 1212.4232 . Código Bibliográfico :2013PhRvL.111e6402Z. doi :10.1103/PhysRevLett.111.056402. PMID  23952423. S2CID  31559089.
2. Tasaki, Hal (2020). "2.3: Inversión temporal y degeneración de Kramers". Física y matemáticas de sistemas cuánticos de muchos cuerpos. Cham: Springer. ISBN 978-3-030-41265-4.OCLC 1154567924  .
3. Kramers, HA (1930). "Teoría general de la rotación paramagnétique dans les cristaux" (PDF) . Actas de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos (en francés). 33 (6–10): 959–972.
4. E. Wigner, Über die Operation der Zeitumkehr in der Quantenmechanik, Nachr. Akád. Ges. Wiss. Gotinga 31, 546–559 (1932) http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002509032