Teorema de Cauchy-Kovalevskaya

Teorema de existencia y unicidad para determinadas ecuaciones diferenciales parciales

En matemáticas , el teorema de Cauchy-Kovalevskaya (también escrito como teorema de Cauchy-Kowalevski ) es el principal teorema de existencia local y unicidad para ecuaciones diferenciales parciales analíticas asociadas con problemas de valores iniciales de Cauchy . Augustin Cauchy (1842) demostró un caso especial  y Sofya Kovalevskaya  (1874) demostró el resultado completo.

Teorema de Cauchy-Kovalevskaya de primer orden

Este teorema trata sobre la existencia de soluciones a un sistema de m ecuaciones diferenciales en n dimensiones cuando los coeficientes son funciones analíticas . El teorema y su demostración son válidos para funciones analíticas de variables reales o complejas.

Sea K los cuerpos de números reales o complejos, y sea V  =  K ^m y W  =  K ⁿ . Sean A ₁ , ...,  An ₋₁ funciones analíticas definidas en alguna vecindad de (0, 0) en W  ×  V y tomando valores en las matrices m _× m  ,  y sea b una función analítica con valores en V definido en el mismo barrio. Entonces hay una vecindad de 0 en W en la que se resuelve el problema cuasilineal de Cauchy.

${\displaystyle \partial _{x_{n}}f=A_{1}(x,f)\partial _{x_{1}}f+\cdots +A_{n-1}(x,f)\partial _{x_{n-1}}f+b(x,f)}$

con condición inicial

${\displaystyle f(x)=0}$

en la hipersuperficie

${\displaystyle x_{n}=0}$

tiene una solución analítica única ƒ  :  W  →  V cerca de 0.

El ejemplo de Lewy muestra que el teorema no es válido de manera más general para todas las funciones suaves.

El teorema también se puede expresar en espacios vectoriales abstractos (reales o complejos). Sean V y W espacios vectoriales reales o complejos de dimensión finita, con n  = dim  W . Sean A ₁ , ...,  An ₋₁ funciones analíticas con valores en _End ( V ) y b una función analítica con valores en V , definida en alguna vecindad de (0, 0) en W  ×  V . En este caso se cumple el mismo resultado.

Prueba por mayorización analítica

Ambos lados de la ecuación diferencial parcial se pueden expandir como series de potencias formales y dar relaciones de recurrencia para los coeficientes de la serie de potencias formales para f que determinan de forma única los coeficientes. Los coeficientes de la serie de Taylor de A _i y b están mayorizados en matriz y norma vectorial mediante una función analítica racional escalar simple. El correspondiente problema escalar de Cauchy que involucra esta función en lugar de A _i y b tiene una solución analítica local explícita. Los valores absolutos de sus coeficientes mayorizan las normas de los del problema original; por lo que la solución formal en serie de potencias debe converger donde converge la solución escalar.

Teorema de Cauchy-Kovalevskaya de orden superior

Si F y f _j son funciones analíticas cercanas a 0, entonces el problema no lineal de Cauchy

${\displaystyle \partial _{t}^{k}h=F\left(x,t,\partial _{t}^{j}\,\partial _{x}^{\alpha }h\right),{\text{ where }}j<k{\text{ and }}|\alpha |+j\leq k,}$

con condiciones iniciales

${\displaystyle \partial _{t}^{j}h(x,0)=f_{j}(x),\qquad 0\leq j<k,}$

tiene una solución analítica única cercana a 0.

Esto se desprende del problema de primer orden al considerar las derivadas de h que aparecen en el lado derecho como componentes de una función con valores vectoriales.

Ejemplo

La ecuación del calor.

${\displaystyle \partial _{t}h=\partial _{x}^{2}h}$

con la condición

${\displaystyle h(0,x)={1 \over 1+x^{2}}{\text{ for }}t=0}$

tiene una solución de serie de potencias formal única (ampliada alrededor de (0, 0)). Sin embargo, esta serie de potencias formal no converge para ningún valor de t distinto de cero , por lo que no hay soluciones analíticas en una vecindad del origen. Esto muestra que la condición | α | +  j  ≤  k anterior no se puede eliminar. (Este ejemplo se debe a Kowalevski.)

Teorema de Cauchy-Kovalevskaya-Kashiwara

Existe una amplia generalización del teorema de Cauchy-Kovalevskaya para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes analíticos, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya-Kashiwara, debida a Masaki Kashiwara  (1983). Este teorema implica una formulación cohomológica , presentada en el lenguaje de los módulos D. La condición de existencia implica una condición de compatibilidad entre las partes no homogéneas de cada ecuación y la desaparición de un functor derivado . ${\displaystyle Ext^{1}}$

Ejemplo

Dejar . Colocar . El sistema tiene solución si y sólo si se verifican las condiciones de compatibilidad . Para tener una solución única debemos incluir una condición inicial , donde . ${\displaystyle n\leq m}$ ${\displaystyle Y=\{x_{1}=\cdots =x_{n}\}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{i}}f=g_{i},i=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{i}}g_{j}=\partial _{x_{j}}g_{i}}$ ${\displaystyle f|_{Y}=h}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {C} \{x_{n+1},\ldots ,x_{m}\}}$

Referencias

• Cauchy, Augustin (1842), "Mémoire sur l'emploi du calcul des limites dans l'intégration des équations aux dérivées partielles", Comptes rendus , 15Reimpreso en Oeuvres completes, 1 serie, Tomo VII, páginas 17–58.
• Folland, Gerald B. (1995), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales, Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
• Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, señor  0717035(caso lineal)
• Kashiwara, M. (1983), Sistemas de ecuaciones microdiferenciales , Progress in Mathematics, vol. 34, Birkhäuser, ISBN 0817631380
• von Kowalevsky, Sophie (1875), "Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 80 : 1–32(La ortografía alemana de su apellido se usaba en ese momento).
• Nakhushev, AM (2001) [1994], "Teorema de Cauchy-Kovalevskaya", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

enlaces externos

• planetamatemáticas