problema de cauchy

Clase de problemas para PDE

Un problema de Cauchy en matemáticas pide la solución de una ecuación diferencial parcial que satisfaga ciertas condiciones que se dan en una hipersuperficie en el dominio. ^[1] Un problema de Cauchy puede ser un problema de valor inicial o un problema de valor límite (para este caso, consulte también la condición de límite de Cauchy ). Lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy .

Declaración formal

Para una ecuación diferencial parcial definida sobre R ⁿ⁺¹ y una variedad suave S ⊂ R ⁿ⁺¹ de dimensión n ( S se llama superficie de Cauchy ), el problema de Cauchy consiste en encontrar las funciones desconocidas de la ecuación diferencial con respecto a la variables independientes que satisfacen ^[2] ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{N}}$ ${\displaystyle t,x_{1},\dots ,x_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x_{1},\dots ,x_{n},u_{1},\dots ,u_{N},\dots ,{\frac {\partial ^{k}u_{j}}{\partial t^{k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\dots \right)\\&{\text{for }}i,j=1,2,\dots ,N;\,k_{0}+k_{1}+\dots +k_{n}=k\leq n_{j};\,k_{0}<n_{j}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle t=t_{0}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}=\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dots ,n_{i}-1}$$

donde se dan funciones definidas en la superficie (conocidas colectivamente como los datos de Cauchy del problema). La derivada de orden cero significa que la función en sí está especificada. ${\displaystyle \phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle S}$

Teorema de Cauchy-Kowalevski

El teorema de Cauchy-Kowalevski establece que si todas las funciones son analíticas en alguna vecindad del punto , y si todas las funciones son analíticas en alguna vecindad del punto , entonces el problema de Cauchy tiene una solución analítica única en alguna vecindad del punto ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,\phi _{j,k_{0},k_{1},\dots ,k_{n}}^{0},\dots )}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{(k)}}$ ${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$ ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$ .

Ver también

• Portal de matemáticas

• Condición de frontera de Cauchy
• horizonte de cauchy

Referencias

1. Hadamard, Jacques (1923). Conferencias sobre el problema de Cauchy en ecuaciones diferenciales parciales lineales . New Haven: Prensa de la Universidad de Yale. págs. 4–5. OCLC  1880147.
2. Petrovsky, IG (1991) [1954]. Conferencias sobre ecuaciones diferenciales parciales . Traducido por Shenitzer, A. (Dover ed.). Nueva York: Interciencia. ISBN 0-486-66902-5.

enlaces externos

• Problema de Cauchy en MathWorld .