Función de partición constante

En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, la función de partición de Kostant , introducida por Bertram Kostant  (1958, 1959), de un sistema de raíces es el número de formas en que se puede representar un vector ( peso ) como una combinación lineal entera no negativa de las raíces positivas . Kostant la utilizó para reescribir la fórmula de caracteres de Weyl como una fórmula (la fórmula de multiplicidad de Kostant ) para la multiplicidad de un peso de una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple . Una fórmula alternativa, que es más eficiente computacionalmente en algunos casos, es la fórmula de Freudenthal . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta ^{+}\subset \Delta }$

La función de partición de Kostant también se puede definir para las álgebras de Kac-Moody y tiene propiedades similares.

Ejemplos

A2

La función de partición Kostant para el sistema raíz A2

Valores de la función de partición de Kostant para el sistema raíz . El sistema raíz recibe las coordenadas euclidianas . ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=(1,0),\alpha _{2}=(-1,1)}$

Consideremos el sistema de raíces A2, con raíces positivas , , y . Si un elemento puede expresarse como una combinación lineal entera no negativa de , , y , entonces, dado que , también puede expresarse como una combinación lineal entera no negativa de las raíces simples positivas y : ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}:=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$

con y siendo enteros no negativos. Esta expresión proporciona una forma de escribir como una combinación de enteros no negativos de raíces positivas; se pueden obtener otras expresiones reemplazando con cierta cantidad de veces. Podemos hacer las veces de reemplazo, donde . Por lo tanto, si la función de partición de Kostant se denota por , obtenemos la fórmula ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq \mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p(n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2})=1+\mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$.

Este resultado se muestra gráficamente en la imagen de la derecha. Si un elemento no tiene la forma , entonces . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$ ${\displaystyle p(\mu )=0}$

B2

La función de partición para los otros sistemas raíz de rango 2 es más complicada, pero se conoce explícitamente. ^{[1] [2]}

Para B ₂ , las raíces simples positivas son , y las raíces positivas son las raíces simples junto con y . La función de partición se puede ver como una función de dos números enteros no negativos y , que representan el elemento . Luego, la función de partición se puede definir por partes con la ayuda de dos funciones auxiliares. ${\displaystyle \alpha _{1}=(1,0),\alpha _{2}=(0,1)}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=(1,1)}$ ${\displaystyle \alpha _{4}=(2,1)}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$ ${\displaystyle P(n_{1},n_{2})}$

Si , entonces . Si , entonces . Si , entonces . Las funciones auxiliares se definen para y se dan por y para pares, para impares. ${\displaystyle n_{1}\leq n_{2}}$ ${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=b(n_{1})}$ ${\displaystyle n_{2}\leq n_{1}\leq 2n_{2}}$ ${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})-b(2n_{2}-n_{1}-1)=b(n_{1})-q_{2}(n_{1}-n_{2}-1)}$ ${\displaystyle 2n_{2}\leq n_{1}}$ ${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle q_{2}(n)={\frac {1}{2}}(n+1)(n+2)}$ ${\displaystyle b(n)={\frac {1}{4}}(n+2)^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}(n+1)(n+3)}$ ${\displaystyle n}$

GRAMO2

Para G ₂ , las raíces positivas son y , donde denota la raíz simple corta y denota la raíz simple larga. ${\displaystyle (1,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)}$ ${\displaystyle (3,2)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (0,1)}$

La función de partición se define por partes con el dominio dividido en cinco regiones, con la ayuda de dos funciones auxiliares.

Relación con la fórmula del carácter de Weyl

Invirtiendo el denominador de Weyl

Para cada raíz y cada , podemos aplicar formalmente la fórmula para la suma de una serie geométrica para obtener ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-\alpha (H)}}}=1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+\cdots }$

donde no nos preocupamos por la convergencia, es decir, la igualdad se entiende a nivel de serie de potencias formales . Utilizando la fórmula del denominador de Weyl

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha (H)})},}$

obtenemos una expresión formal para el recíproco del denominador de Weyl: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\end{aligned}}}$

Aquí, la primera igualdad se obtiene tomando un producto sobre las raíces positivas de la fórmula de la serie geométrica y la segunda igualdad se obtiene contando todas las formas en que puede aparecer una exponencial dada en el producto. La función es cero si el argumento es una rotación y uno si el argumento es una reflexión. ${\displaystyle e^{\mu (H)}}$ ${\displaystyle \ell (w)}$

Reescribiendo la fórmula del carácter

Este argumento muestra que podemos convertir la fórmula del carácter de Weyl para la representación irreducible con mayor peso : ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)={\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)} \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}$

de un cociente a un producto:

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left(\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).}$

La fórmula de multiplicidad

Usando la reescritura anterior de la fórmula del carácter, es relativamente fácil escribir el carácter como una suma de exponenciales. Los coeficientes de estos exponenciales son las multiplicidades de los pesos correspondientes. De este modo, obtenemos una fórmula para la multiplicidad de un peso dado en la representación irreducible con el peso más alto : ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \mathrm {mult} (\mu )=\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))}$.

Este resultado es la fórmula de multiplicidad de Kostant .

El término dominante en esta fórmula es el término ; la contribución de este término es , que es simplemente la multiplicidad de en el módulo de Verma con el mayor peso . Si está lo suficientemente dentro de la cámara fundamental de Weyl y está lo suficientemente cerca de , puede suceder que todos los demás términos en la fórmula sean cero. Específicamente, a menos que sea mayor que , el valor de la función de partición de Kostant en será cero. Por lo tanto, aunque la suma es nominalmente sobre todo el grupo de Weyl, en la mayoría de los casos, el número de términos distintos de cero es menor que el orden del grupo de Weyl. ${\displaystyle w=1}$ ${\displaystyle p(\lambda -\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )}$ ${\displaystyle \mu +\rho }$ ${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho )}$

Referencias

1. Tarski, Jan; Universidad de California, Berkeley. (Abril de 1963). "Función de partición para ciertas álgebras de Lie simples". Journal of Mathematical Physics . 4 (4). Fuerza Aérea de los Estados Unidos, Oficina de Investigación Científica: 569–574. doi :10.1063/1.1703992. hdl : 2027/mdp.39015095253541 . Consultado el 4 de junio de 2023 .
2. Capparelli, Stefano (2003). "Calcolo della funzione di partizione di Kostant". Bollettino dell'Unione Matematica Italiana . 6-B (1): 89-110. ISSN  0392-4041.
3. Propuesta 10.27 del Salón 2015
4. Hall 2015 Teorema 10.29

Fuentes

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, JE Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación, Springer, 1972.
• Kostant, Bertram (1958), "Una fórmula para la multiplicidad de un peso", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 44 (6), Academia Nacional de Ciencias: 588–589, Bibcode :1958PNAS...44..588K, doi : 10.1073/pnas.44.6.588 , ISSN  0027-8424, JSTOR  89667, MR  0099387, PMC  528626 , PMID  16590246
• Kostant, Bertram (1959), "Una fórmula para la multiplicidad de un peso", Transactions of the American Mathematical Society , 93 (1), American Mathematical Society: 53–73, doi : 10.2307/1993422 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993422, MR  0109192, PMC  528626