La fórmula de Rossmo

La fórmula de Rossmo es una fórmula de perfil geográfico para predecir dónde vive un delincuente en serie. Se basa en la tendencia de los delincuentes a no cometer delitos cerca de lugares donde podrían ser reconocidos, pero también a no viajar distancias excesivamente largas. La fórmula fue desarrollada y patentada en 1996 ^[1] por el criminólogo Kim Rossmo e integrada en un producto de software de análisis de delitos especializado llamado Rigel. ^[2] El producto Rigel es desarrollado por la empresa de software Environmental Criminology Research Inc. (ECRI), que Rossmo cofundó. ^[3]

Fórmula

Imaginemos un mapa con una cuadrícula superpuesta de pequeños cuadrados llamados sectores. Si este mapa es un archivo de imagen rasterizada en una computadora, estos sectores son píxeles. Un sector es el cuadrado en la fila i y la columna j , ubicado en las coordenadas . La siguiente función proporciona la probabilidad de que la posición del criminal serial resida dentro de un sector (o punto) específico : ^[4] ${\displaystyle S_{i,j}}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{j})}$ ${\displaystyle p_{i,j}}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{j})}$

$${\displaystyle p_{i,j}=k\sum _{n=1}^{T}\left[\underbrace {\frac {\phi _{ij}}{(|X_{i}-x_{n}|+|Y_{j}-y_{n}|)^{f}}} _{1^{\mathrm {st} }\mathrm {\;term} }+\underbrace {\frac {(1-\phi _{ij})(B^{g-f})}{(2B-|X_{i}-x_{n}|-|Y_{j}-y_{n}|)^{g}}} _{2^{\mathrm {nd} }\mathrm {\;term} }\right],}$$dónde: ${\displaystyle \phi _{ij}={\begin{cases}1,&\mathrm {\quad if\;} (|X_{i}-x_{n}|+|Y_{j}-y_{n}|)>B\quad \\0,&\mathrm {\quad else} \end{cases}}}$

Aquí la suma se realiza sobre los delitos pasados ​​ubicados en las coordenadas , , donde es el número de delitos pasados. Además, es una función indicadora que devuelve 0 cuando un punto es un elemento de la zona de amortiguamiento B (el vecindario de una residencia criminal que se extiende por un radio de B desde su centro). El indicador permite que el cálculo alterne entre los dos términos. Si un delito ocurre dentro de la zona de amortiguamiento, entonces y, por lo tanto, el primer término no contribuye al resultado general. Esta es una prerrogativa para definir el primer término en el caso en que la distancia entre un punto (o píxel) se vuelve igual a cero. Cuando , el primer término se utiliza para calcular . ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle n=1,\ldots ,T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi _{ij}}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{j})}$ ${\displaystyle \phi _{ij}}$ ${\displaystyle \phi _{ij}=0}$ ${\displaystyle \phi _{ij}=1}$ ${\displaystyle p_{i,j}}$

${\displaystyle |X_{i}-x_{n}|+|Y_{j}-y_{n}|}$es la distancia de Manhattan entre un punto y el n -ésimo lugar del crimen . ${\displaystyle (X_{i},Y_{j})}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle n=1,\ldots ,T}$

Por último, se selecciona una constante de normalización apropiada para garantizar que . ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}p_{i,j}\leq 1}$

Implementación alternativa

${\displaystyle p_{i,j}}$No es adecuado para el procesamiento de imágenes debido al comportamiento asintótico cerca de las coordenadas del lugar del crimen.

Alternativamente, la función de Rossmo puede utilizar otras funciones de decaimiento de distancia en lugar de . ${\displaystyle {\frac {1}{(\mathrm {Mathattan\;Distance} )^{f}}}}$

Un método sería utilizar una distribución de probabilidad similar a la distribución Gaussiana como función de descomposición de la distancia:

${\displaystyle 1^{\mathrm {st} }\mathrm {\;term} (x,y)=\left\lfloor (\mathrm {number\;of\;colors} )\times \sum _{n=1}^{(\mathrm {total\;crimes} )}{\frac {1}{\sqrt {e^{({|x-C_{n}(x)|}^{2}+{|y-C_{n}(y)|}^{2})}}}}\right\rfloor }$

Si se implementa en una computadora, el valor máximo de p() coincide con el valor máximo de un conjunto de colores que se utilizan para crear la matriz de superficie Jeopardy n por m J. Los elementos de la matriz J pueden representar los valores de píxeles de una imagen.

Dónde: ${\displaystyle J={\begin{bmatrix}p(n,0)&\cdots &\;&p(n,m)\\\vdots &\ddots &\;&\vdots \\p(x,0)&\cdots &p(x,y)&\vdots \\\vdots &\;&\;&\vdots \\p(0,0)&p(1,0)&p(2,0)&\cdots \end{bmatrix}}}$

Explicación

La suma de la fórmula consta de dos términos. El primer término describe la idea de que la probabilidad disminuye a medida que aumenta la distancia . El segundo término se ocupa del concepto de zona de amortiguación . La variable se utiliza para dar más peso a una de las dos ideas. La variable describe el radio de la zona de amortiguación. La constante se determina empíricamente. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

La idea principal de la fórmula es que la probabilidad de que se cometan delitos aumenta primero a medida que uno se aleja de la zona de peligro a través de la zona de amortiguación , pero luego disminuye. La variable se puede elegir de modo que funcione mejor con datos de delitos pasados. La misma idea se aplica a la variable . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

La distancia se calcula con la fórmula de distancia de Manhattan .

Aplicaciones

La fórmula se ha aplicado a campos distintos del forense. ^[5] Debido a la idea de la zona de amortiguación, la fórmula funciona bien para estudios relacionados con animales depredadores como los tiburones blancos. ^[6]

Esta fórmula y las matemáticas detrás de ella se utilizaron en la detección de crímenes en el episodio piloto de la serie de televisión Numb3rs y en el episodio número 100 del mismo programa, llamado " Disturbed ".

Referencias

1. Patente estadounidense 5781704, Rossmo, DK , "Método de sistema experto para realizar análisis del lugar del delito", expedida el 16 de julio de 2002 
2. "Rigel Analyst". Perfiles geográficos: análisis del delito. Environmental Criminology Research Inc. Consultado el 12 de febrero de 2019 .
3. Rich, T.; Shively, M (diciembre de 2004). "Una metodología para evaluar el software de elaboración de perfiles geográficos" (PDF) . Departamento de Justicia de los Estados Unidos. pág. 14.
4. Rossmo, Kim D. (1995). "Perfiles geográficos: patrones de objetivos de los asesinos en serie" (PDF) . Universidad Simon Fraser : 225. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
5. Le Comber, SC; Stevenson (2012). "De Jack el Destripador a la epidemiología y la ecología". Tendencias en ecología y evolución . 27 (6): 307–308. doi :10.1016/j.tree.2012.03.004. PMID  22494610.
6. Martin, RA; Rossmo, DK ; Hammerschlag, N. (2009). "Patrones de caza y perfil geográfico de la depredación del tiburón blanco" (PDF) . Journal of Zoology . 279 (2): 111–118. doi :10.1111/j.1469-7998.2009.00586.x. Archivado desde el original (PDF) el 2010-06-12.

Lectura adicional

• Devlin, Keith J.; Lorden, Gary (2007). Los números detrás de NUMB3RS: resolver crímenes con matemáticas (edición ilustrada). Plumer. pp. 1–12. ISBN 978-0-452-28857-7.

• Rossmo, Kim D. (2000). Perfiles geográficos (edición ilustrada). CRC Press. ISBN 978-0-8493-8129-4.