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Conjetura de Kalman

Fig. 1. Esquema de bloques del sistema de control. G ( s ) – función de transferencia lineal , f ( e ) – función continua, diferenciable y de un solo valor

La conjetura de Kalman o problema de Kalman es una conjetura refutada sobre la estabilidad absoluta de un sistema de control no lineal con una no linealidad escalar, que pertenece al sector de la estabilidad lineal. La conjetura de Kalman es un fortalecimiento de la conjetura de Aizerman y es un caso especial de la conjetura de Markus-Yamabe . Esta conjetura se demostró falsa pero condujo a los criterios suficientes (válidos) sobre la estabilidad absoluta .

Enunciado matemático de la conjetura de Kalman (problema de Kalman)

En 1957 RE Kalman en su artículo [1] afirmó lo siguiente:

Si f ( e ) en la figura 1 se reemplaza por constantes K correspondientes a todos los valores posibles de f '( e ), y se encuentra que el sistema de circuito cerrado es estable para todos esos K , entonces es intuitivamente claro que el sistema debe ser monoestable; es decir, todas las soluciones transitorias convergerán a un único punto crítico estable.

La afirmación de Kalman puede reformularse en la siguiente conjetura: [2]

Considere un sistema con una no linealidad escalar

donde P es una matriz constante n × n , q , r son vectores constantes n -dimensionales, ∗ es una operación de transposición, f ( e ) es una función escalar y f (0) = 0. Supongamos que f ( e ) es una función diferenciable y la siguiente condición

es válido. Entonces la conjetura de Kalman es que el sistema es estable en general (es decir, un único punto estacionario es un atractor global ) si todos los sistemas lineales con f ( e ) =  ke , k  ∈ ( k 1 ,  k 2 ) son asintóticamente estables.

En la conjetura de Aizerman, en lugar de la condición sobre la derivada de la no linealidad se requiere que la no linealidad misma pertenezca al sector lineal.

La conjetura de Kalman es verdadera para n  ≤ 3 y para n  > 3 existen métodos efectivos para la construcción de contraejemplos: [3] [4] la derivada de no linealidad pertenece al sector de la estabilidad lineal, y un único equilibrio estable coexiste con una solución periódica estable ( oscilación oculta ).

En tiempo discreto, la conjetura de Kalman solo es verdadera para n = 1,  se pueden construir contraejemplos para n ≥ 2. [5] [6]

Referencias

  1. ^ Kalman RE (1957). "Mecanismos físicos y matemáticos de inestabilidad en sistemas de control automático no lineal". Transacciones de ASME . 79 (3): 553–566.
  2. ^ Kuznetsov NV (2020). "Teoría de oscilaciones ocultas y estabilidad de sistemas de control" (PDF) . Revista de Ciencias Informáticas y de Sistemas Internacionales . 59 (5): 647–668. doi :10.1134/S1064230720050093. S2CID  225304463.
  3. ^ Bragin VO; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV; Leonov GA (2011). "Algoritmos para encontrar oscilaciones ocultas en sistemas no lineales. Las conjeturas de Aizerman y Kalman y los circuitos de Chua" (PDF) . Revista internacional de ciencias de la computación y sistemas . 50 (5): 511–543. doi :10.1134/S106423071104006X. S2CID  21657305.
  4. ^ Leonov GA; Kuznetsov NV (2013). "Atractores ocultos en sistemas dinámicos. Desde oscilaciones ocultas en problemas de Hilbert-Kolmogorov, Aizerman y Kalman hasta atractores caóticos ocultos en circuitos de Chua". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 23 (1): 1330002–219. Código Bibliográfico :2013IJBC...2330002L. doi :10.1142/S0218127413300024.
  5. ^ Carrasco J.; Heath WP; de la Sen M. (2015). "Contraejemplo de segundo orden de la conjetura de Kalman en tiempo discreto". 2015 European Control Conference (ECC) . pp. 981–985. doi :10.1109/ECC.2015.7330669. ISBN . 978-3-9524269-3-7.S2CID1600711  .​
  6. ^ Heath WP; Carrasco J; de la Sen M. (2015). "Contraejemplos de segundo orden de la conjetura de Kalman en tiempo discreto" (PDF) . Automatica . 60 : 140–144. doi :10.1016/j.automatica.2015.07.005.

Lectura adicional

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