Conjetura de Markus-Yamabe

En matemáticas , la conjetura de Markus-Yamabe es una conjetura sobre la estabilidad asintótica global . Si la matriz jacobiana de un sistema dinámico en un punto fijo es Hurwitz , entonces el punto fijo es asintóticamente estable. La conjetura de Markus-Yamabe pregunta si un resultado similar se cumple globalmente . Precisamente, la conjetura establece que si una función continuamente diferenciable en un espacio vectorial real de dimensión 1 tiene un punto fijo y su matriz jacobiana es en todas partes Hurwitz, entonces el punto fijo es globalmente estable. ${\displaystyle n}$

La conjetura es cierta para el caso bidimensional. Sin embargo, se han construido contraejemplos en dimensiones superiores. Por lo tanto, solo en el caso bidimensional , también se puede denominar teorema de Markus-Yamabe .

Los resultados matemáticos relacionados con la estabilidad asintótica global, que son aplicables en dimensiones superiores a dos, incluyen varios teoremas de convergencia autónoma . Un análogo de la conjetura para el sistema de control no lineal con no linealidad escalar se conoce como conjetura de Kalman .

Enunciado matemático de la conjetura

Sea un mapa con y jacobiano que es estable en Hurwitz para cada . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle Df(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Entonces es un atractor global del sistema dinámico . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$

La conjetura es verdadera para y falsa en general para . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n>2}$

Referencias

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