Hiperrectángulo

Generalización de un rectángulo para dimensiones mayores

Proyecciones de células K sobre el plano (de a ). Solo se muestran los bordes de las células de mayor dimensión. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle 6}$

En geometría , un hiperrectángulo (también llamado caja , hipercaja , -celda u ortótopo ^[2] ), es la generalización de un rectángulo (una figura plana ) y del cuboide rectangular (una figura sólida ) a dimensiones superiores . Una condición necesaria y suficiente es que sea congruente con el producto cartesiano de intervalos finitos . ^[3] Esto significa que un sólido rectangular -dimensional tiene cada una de sus aristas igual a uno de los intervalos cerrados utilizados en la definición. Toda -celda es compacta . ^{[4] [5]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Si todas las aristas tienen la misma longitud, se trata de un hipercubo . Un hiperrectángulo es un caso especial de paraleletopo .

Definición formal

Para cada entero de a , sean y números reales tales que . El conjunto de todos los puntos en cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades es una -celda . ^[6] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}<b_{i}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}}$ ${\displaystyle k}$

Intuición

Una celda de dimensión α es especialmente simple. Por ejemplo, una celda 1 es simplemente el intervalo con α . ​​Una celda 2 es el rectángulo formado por el producto cartesiano de dos intervalos cerrados, y una celda 3 es un sólido rectangular. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\leq 3}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<b}$

Los lados y los bordes de una celda no necesitan ser iguales en longitud (euclidiana); aunque el cubo unitario (que tiene límites de igual longitud euclidiana) es una celda de 3, el conjunto de todas las celdas de 3 con bordes de igual longitud es un subconjunto estricto del conjunto de todas las celdas de 3. ${\displaystyle k}$

Tipos

Un ortotopo de cuatro dimensiones es probablemente un hipercuboide. ^[7]

El caso especial de un ortótopo n -dimensional donde todos los bordes tienen la misma longitud es el n - cubo o hipercubo. ^[2]

Por analogía, el término "hiperrectángulo" puede referirse a productos cartesianos de intervalos ortogonales de otros tipos, como rangos de claves en la teoría de bases de datos o rangos de números enteros , en lugar de números reales . ^[8]

Politopo dual

El politopo dual de un n -ortótopo se ha denominado de diversas formas: n - ortoplex rectangular , n - fusil rómbico o n - rombo . Está formado por 2 n puntos ubicados en el centro de las caras rectangulares del ortótopo.

El símbolo Schläfli de un fusil n se puede representar mediante una suma de n segmentos de línea ortogonales: { } + { } + ... + { } o n { }.

Un 1-fusil es un segmento de línea . Un 2-fusil es un rombo . Sus selecciones transversales planas en todos los pares de ejes son rombos .

Véase también

• Rectángulo delimitador mínimo
• Cuboides
• Cubo de Hilbert

Notas

1. NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter, pág. 251
2. Coxeter, 1973
3. Foran (1991)
4. Rudin (1976:39)
5. Foran (1991:24)
6. Rudin (1976:31)
7. Hirotsu, Takashi (2022). "Hipercuboides de tamaño normal en un hipercubo dado". arXiv : 2211.15342 .
8. Véase, por ejemplo, Zhang, Yi; Munagala, Kamesh; Yang, Jun (2011), "Almacenamiento de matrices en disco: teoría y práctica revisadas" (PDF) , Proc. VLDB , 4 (11): 1075–1086, doi :10.14778/3402707.3402743.

Referencias

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973). Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover. pp. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ortótopo". MathWorld .
• Foran, James (7 de enero de 1991). Fundamentos del análisis real. CRC Press. ISBN 9780824784539. Recuperado el 23 de mayo de 2014 .
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill.