En matemáticas , el álgebra de Iwahori-Hecke , o álgebra de Hecke , llamada así por Erich Hecke y Nagayoshi Iwahori , es una deformación del álgebra de grupos de un grupo de Coxeter .
Las álgebras de Hecke son cocientes de los anillos de grupo de los grupos trenzados de Artin . Esta conexión encontró una aplicación espectacular en la construcción de nuevos invariantes de nudos por parte de Vaughan Jones . Las representaciones de las álgebras de Hecke llevaron al descubrimiento de los grupos cuánticos por parte de Michio Jimbo . Michael Freedman propuso las álgebras de Hecke como base para la computación cuántica topológica .
Comience con los siguientes datos:
El álgebra de Hecke multiparamétrica H R ( W , S , q ) es una R -álgebra unital asociativa con generadores T s para todos los s ∈ S que satisfacen las siguientes relaciones:
Advertencia : en libros y artículos posteriores, Lusztig utilizó una forma modificada de la relación cuadrática que se lee: Después de extender los escalares para incluir las potencias semienteras q±1/2
sEl álgebra de Hecke resultante es isomorfa a la definida previamente (pero la T s aquí corresponde a q-1/2
segundo T s en nuestra notación). Si bien esto no cambia la teoría general, muchas fórmulas parecen diferentes.
El álgebra H A ( W , S , q ) es el álgebra multiparamétrica genérica de Hecke. Esta álgebra es universal en el sentido de que cualquier otra álgebra multiparamétrica de Hecke puede obtenerse a partir de ella mediante el (único) homomorfismo de anillo A → R que asigna el indeterminado q s ∈ A a la unidad q s ∈ R . Este homomorfismo convierte a R en una A -álgebra y la extensión escalar H A ( W , S ) ⊗ A R es canónicamente isomorfa al álgebra de Hecke H R ( W , S , q ) como se construyó anteriormente. A este proceso se le llama especialización del álgebra genérica.
Si uno especializa cada q indeterminado en un único q indeterminado sobre los enteros (o q1/2
segundoa q 1/2 , respectivamente), entonces se obtiene el llamado álgebra de Hecke genérica de un parámetro de ( W , S ).
Dado que en los grupos de Coxeter con diagramas de Dynkin de un solo enlace (por ejemplo, los grupos de Coxeter de tipo A y D) cada par de generadores de Coxeter está conjugado, la restricción antes mencionada de que q s sea igual a q t siempre que s y t estén conjugados en W obliga a que las álgebras de Hecke multiparamétricas y monoparamétricas sean iguales. Por lo tanto, también es muy común considerar únicamente las álgebras de Hecke monoparamétricas.
Si se define una función de peso integral en W (es decir, una función L : W → Z con L ( vw ) = L ( v ) + L ( w ) para todo v , w ∈ W con l ( vw ) = l ( v ) + l ( w )), entonces una especialización común a considerar es la inducida por el homomorfismo q s ↦ q L ( s ) , donde q es un indeterminado único sobre Z .
Si se utiliza la convención con potencias de semienteros, entonces la función de peso L : W → 1/2 También se puede permitir Z. Por razones técnicas, también suele ser conveniente considerar únicamente funciones de peso positivas.
1. El álgebra de Hecke tiene una base sobre A indexada por los elementos del grupo de Coxeter W . En particular, H es un módulo A libre . Si es una descomposición reducida de w ∈ W , entonces . Esta base del álgebra de Hecke a veces se denomina base natural . El elemento neutro de W corresponde a la identidad de H : T e = 1.
2. Los elementos de la base natural son multiplicativos , es decir, T yw = T y T w siempre que l ( yw )= l ( y )+ l ( w ), donde l denota la función de longitud en el grupo de Coxeter W .
3. Los elementos de la base natural son invertibles. Por ejemplo, de la relación cuadrática concluimos que T-1
segundo= q-1
segundo Ts + ( q-1
segundo−1).
4. Supóngase que W es un grupo finito y que el anillo fundamental es el cuerpo C de números complejos . Jacques Tits ha demostrado que si el indeterminado q se especializa en cualquier número complejo fuera de una lista dada explícitamente (que consiste en raíces de la unidad ), entonces el álgebra de Hecke de un parámetro resultante es semisimple e isomorfa al álgebra de grupo complejo C [ W ] (que también corresponde a la especialización q ↦ 1) [ cita requerida ] .
5. De manera más general, si W es un grupo finito y el anillo fundamental R es un cuerpo de característica cero, entonces el álgebra de Hecke de un parámetro es un álgebra asociativa semisimple sobre R [ q ±1 ]. Además, ampliando los resultados anteriores de Benson y Curtis, George Lusztig proporcionó un isomorfismo explícito entre el álgebra de Hecke y el álgebra de grupos después de la extensión de los escalares al cuerpo cociente de R [ q ±1/2 ]
Un gran descubrimiento de Kazhdan y Lusztig fue que un álgebra de Hecke admite una base diferente , que de alguna manera controla la teoría de la representación de una variedad de objetos relacionados.
El álgebra de Hecke multiparamétrica genérica, H A ( W , S , q ), tiene una barra de involución que asigna q 1/2 a q −1/2 y actúa como identidad en Z . Entonces H admite un automorfismo de anillo único i que es semilineal con respecto a la involución de la barra de A y asigna T s a T -1
segundo. Se puede demostrar además que este automorfismo es involutivo (tiene orden dos) y toma cualquier T w como
Teorema de Kazhdan-Lusztig: Para cada w ∈ W existe un elemento único que es invariante bajo la involución i y si uno escribe su expansión en términos de la base natural:
Uno tiene lo siguiente:
- P w , w = 1,
- P y , w en Z [ q ] tiene grado menor o igual a 1/2 ( l ( w ) − l ( y ) − 1) si y < w en el orden de Bruhat ,
- P y , w = 0 si
Los elementos donde w varía con respecto a W forman una base del álgebra H , que se denomina base canónica dual del álgebra de Hecke H . La base canónica { C w | w ∈ W } se obtiene de manera similar. Los polinomios P y , w ( q ) que aparecen en este teorema son los polinomios de Kazhdan–Lusztig .
Las nociones de Kazhdan-Lusztig de células izquierdas, derechas y bilaterales en los grupos de Coxeter se definen a través del comportamiento de la base canónica bajo la acción de H .
Las álgebras de Iwahori–Hecke aparecieron por primera vez como un caso especial importante de una construcción muy general en la teoría de grupos . Sea ( G , K ) un par que consiste en un grupo topológico localmente compacto unimodular G y un subgrupo cerrado K de G . Entonces el espacio de funciones continuas K -biinvariantes de soporte compacto , C c ( K \ G / K ), puede ser dotado con una estructura de un álgebra asociativa bajo la operación de convolución . Esta álgebra se denota por H ( G // K ) y se llama el anillo de Hecke del par ( G , K ).
Ejemplo: Si G = SL( n , Q p ) y K = SL( n , Z p ) entonces el anillo de Hecke es conmutativo y sus representaciones fueron estudiadas por Ian G. Macdonald . De manera más general, si ( G , K ) es un par de Gelfand , entonces el álgebra resultante resulta ser conmutativa.
Ejemplo: Si G = SL(2, Q ) y K = SL(2, Z ) obtenemos el anillo abstracto detrás de los operadores de Hecke en la teoría de formas modulares , que dio el nombre a las álgebras de Hecke en general.
El caso que conduce al álgebra de Hecke de un grupo de Weyl finito es cuando G es el grupo de Chevalley finito sobre un cuerpo finito con p k elementos, y B es su subgrupo de Borel . Iwahori demostró que el anillo de Hecke H ( G // B ) se obtiene a partir del álgebra genérica de Hecke H q del grupo de Weyl W de G especializando la indeterminada q de esta última álgebra en p k , la cardinalidad del cuerpo finito. George Lusztig señaló en 1984 ( Characters of reductive groups over a finite field , xi, nota al pie):
Iwahori y Matsumoto (1965) consideraron el caso cuando G es un grupo de puntos de un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo local no arquimediano K , tal como Q p , y K es lo que ahora se llama un subgrupo de Iwahori de G . El anillo de Hecke resultante es isomorfo al álgebra de Hecke del grupo de Weyl afín de G , o al álgebra de Hecke afín , donde el indeterminado q ha sido especializado a la cardinalidad del cuerpo de residuos de K .
El trabajo de Roger Howe en la década de 1970 y sus artículos con Allen Moy sobre representaciones de GL( n ) p -ádicos abrieron una posibilidad de clasificar representaciones admisibles irreducibles de grupos reductivos sobre cuerpos locales en términos de álgebras de Hecke construidas apropiadamente. (Joseph Bernstein y Andrey Zelevinsky también hicieron contribuciones importantes ). Estas ideas fueron llevadas mucho más allá en la teoría de tipos de Colin Bushnell y Philip Kutzko , lo que les permitió completar la clasificación en el caso lineal general. Muchas de las técnicas se pueden extender a otros grupos reductivos, lo que sigue siendo un área de investigación activa. Se ha conjeturado que todas las álgebras de Hecke que alguna vez se necesitan son generalizaciones suaves de álgebras de Hecke afines.
Del trabajo de Iwahori se desprende que las representaciones complejas de las álgebras de Hecke de tipo finito están íntimamente relacionadas con la estructura de las representaciones de series principales esféricas de los grupos de Chevalley finitos.
George Lusztig llevó esta conexión mucho más lejos y fue capaz de describir la mayoría de las características de los grupos finitos de tipo Lie en términos de la teoría de representación de las álgebras de Hecke. Este trabajo utilizó una mezcla de técnicas geométricas y varias reducciones, lo que condujo a la introducción de varios objetos que generalizaban las álgebras de Hecke y a una comprensión detallada de sus representaciones (para q no es una raíz de la unidad). Las representaciones modulares de las álgebras de Hecke y las representaciones en las raíces de la unidad resultaron estar relacionadas con la teoría de bases canónicas en grupos cuánticos afines y la combinatoria.
La teoría de representación de las álgebras de Hecke afines fue desarrollada por Lusztig con vistas a su aplicación a la descripción de representaciones de grupos p -ádicos. Es diferente en muchos aspectos [ ¿en qué? ] del caso finito. Ivan Cherednik utilizó una generalización de las álgebras de Hecke afines, llamada álgebra de Hecke doblemente afín , en su prueba de la conjetura del término constante de Macdonald .
