En física teórica , la ecuación de Dirac-Kähler , también conocida como ecuación de Ivanenko-Landau-Kähler , es el análogo geométrico de la ecuación de Dirac que se puede definir en cualquier variedad pseudo-riemanniana utilizando el operador de Laplace-de Rham . En el espacio-tiempo plano de cuatro dimensiones , es equivalente a cuatro copias de la ecuación de Dirac que se transforman entre sí bajo transformaciones de Lorentz , aunque esto ya no es cierto en el espacio-tiempo curvo . La estructura geométrica le da a la ecuación una discretización natural que es equivalente al formalismo de fermiones escalonados en la teoría de campos reticulares , lo que convierte a los fermiones de Dirac-Kähler en el límite continuo formal de los fermiones escalonados. La ecuación fue descubierta por Dmitri Ivanenko y Lev Landau en 1928 [1] y luego redescubierta por Erich Kähler en 1962. [2]
En el espacio-tiempo euclidiano de cuatro dimensiones hay campos genéricos de formas diferenciales
se escribe como una combinación lineal de dieciséis formas base indexadas por , que se ejecuta sobre las dieciséis combinaciones ordenadas de índices con . Cada índice va de uno a cuatro. Aquí hay campos tensoriales antisimétricos mientras que son los elementos base de la forma diferencial correspondiente
Utilizando el operador de estrella de Hodge , la derivada exterior está relacionada con la codiferencial a través de . Estos forman el operador de Laplace–de Rham que puede verse como la raíz cuadrada del operador laplaciano ya que . La ecuación de Dirac–Kähler está motivada por notar que esta también es la propiedad del operador de Dirac, lo que produce [3]
Esta ecuación está estrechamente relacionada con la ecuación de Dirac habitual, una conexión que surge de la estrecha relación entre el álgebra exterior de formas diferenciales y el álgebra de Clifford , de la que los espinores de Dirac son representaciones irreducibles . Para que los elementos base satisfagan el álgebra de Clifford , se requiere introducir un nuevo producto de Clifford que actúe sobre los elementos base como
Utilizando este producto, la acción del operador de Laplace-de Rham sobre los elementos base de la forma diferencial se escribe como
Para adquirir la ecuación de Dirac se debe realizar un cambio de base, donde la nueva base se puede empaquetar en una matriz definida utilizando las matrices de Dirac.
La matriz está diseñada para satisfacer , descomponiendo el álgebra de Clifford en cuatro copias irreducibles del álgebra de Dirac . Esto se debe a que en esta base el producto de Clifford solo mezcla los elementos de columna indexados por . Escribiendo la forma diferencial en esta base
transforma la ecuación de Dirac-Kähler en cuatro conjuntos de la ecuación de Dirac indexados por
La ecuación de Dirac-Kähler mínimamente acoplada se obtiene reemplazando la derivada por la derivada covariante que conduce a
Como antes, esto también es equivalente a cuatro copias de la ecuación de Dirac. En el caso abeliano , mientras que en el caso no abeliano hay índices de color adicionales . El fermión de Dirac-Kähler también recoge índices de color, y formalmente corresponde a secciones transversales del producto de Whitney del fibrado de Atiyah-Kähler de formas diferenciales con el fibrado vectorial de espacios de color locales. [4]
Existe una forma natural de discretizar la ecuación de Dirac–Kähler utilizando la correspondencia entre el álgebra exterior y los complejos simpliciales . En un espacio de cuatro dimensiones, una red puede considerarse como un complejo simplicial, cuyos símplex se construyen utilizando una base de hipercubos -dimensionales con un punto base y una orientación determinada por . [5] Entonces, una h-cadena es una combinación lineal formal
Las h-cadenas admiten un operador de contorno definido como el (h-1)-símplex que forma el contorno de la h-cadena. Un operador de co-contorno se puede definir de manera similar para producir una (h+1)-cadena. El espacio dual de cadenas consta de -cocadenas , que son funciones lineales que actúan sobre las h-cadenas y las asignan a números reales. Los operadores de contorno y co-contorno admiten estructuras similares en el espacio dual llamadas contorno dual y co-contorno dual, definidas para satisfacer
En virtud de la correspondencia entre el álgebra exterior y los complejos simpliciales, las formas diferenciales son equivalentes a cocadenas, mientras que la derivada exterior y la codiferencial corresponden a la frontera dual y la cofrontera dual, respectivamente. Por lo tanto, la ecuación de Dirac–Kähler se escribe en complejos simpliciales como [6]
El fermión de Dirac-Kähler discretizado resultante es equivalente al fermión escalonado que se encuentra en la teoría de campos reticulares, lo que se puede ver explícitamente mediante un cambio explícito de base. Esta equivalencia muestra que el fermión de Dirac-Kähler continuo es el límite continuo formal de los fermiones escalonados.
Como se describió anteriormente, la ecuación de Dirac-Kähler en el espacio-tiempo plano es equivalente a cuatro copias de la ecuación de Dirac, a pesar de ser un conjunto de ecuaciones para campos tensoriales antisimétricos . La capacidad de los campos tensoriales de espín entero para describir campos de espín semienteros se explica por el hecho de que las transformaciones de Lorentz no conmutan con la simetría interna de Dirac-Kähler , siendo los parámetros de esta simetría tensores en lugar de escalares . [7] Esto significa que las transformaciones de Lorentz mezclan diferentes espines juntos y los fermiones de Dirac no son, estrictamente hablando, representaciones de espín semientero del álgebra de Clifford. En cambio, corresponden a una superposición coherente de formas diferenciales. En dimensiones superiores, particularmente en superficies dimensionales, la ecuación de Dirac-Kähler es equivalente a las ecuaciones de Dirac. [8]
En el espacio-tiempo curvo, la ecuación de Dirac-Kähler ya no se descompone en cuatro ecuaciones de Dirac. Más bien, es una ecuación de Dirac modificada que se obtiene si el operador de Dirac sigue siendo la raíz cuadrada del operador de Laplace, una propiedad que no comparte la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo . [9] Esto se produce a expensas de la invariancia de Lorentz , aunque estos efectos se suprimen mediante potencias de la masa de Planck . La ecuación también difiere en que siempre se garantiza que sus modos cero en una variedad compacta existen siempre que algunos de los números de Betti se anulen, y se dan por las formas armónicas, a diferencia de la ecuación de Dirac que nunca tiene modos cero en una variedad con curvatura positiva.