Dilatación (morfología)

Operación en morfología matemática.

La dilatación (normalmente representada por ⊕ ) es una de las operaciones básicas en morfología matemática . Desarrollado originalmente para imágenes binarias , se expandió primero a imágenes en escala de grises y luego a redes completas . La operación de dilatación suele utilizar un elemento estructurante para sondear y expandir las formas contenidas en la imagen de entrada.

dilatación binaria

La dilatación de un cuadrado azul oscuro por un disco, lo que da como resultado un cuadrado azul claro con esquinas redondeadas.

En morfología binaria, la dilatación es un operador invariante de desplazamiento ( invariante de traducción ), equivalente a la suma de Minkowski .

Una imagen binaria se ve en morfología matemática como un subconjunto de un espacio euclidiano R ^d o la cuadrícula entera Z ^d , para alguna dimensión d . Sea E un espacio euclidiano o una cuadrícula entera, A una imagen binaria en E y B un elemento estructurante considerado como un subconjunto de R ^d .

La dilatación de A por B está definida por

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b},}$

donde Ab _es la traducción de A por b .

La dilatación es conmutativa, también dada por . ${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}}$

Si B tiene centro en el origen, entonces la dilatación de A por B puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos cubiertos por B cuando el centro de B se mueve dentro de A. La dilatación de un cuadrado de tamaño 10, centrado en el origen, por un disco de radio 2, también centrado en el origen, es un cuadrado de lado 14, con esquinas redondeadas, centrado en el origen. El radio de las esquinas redondeadas es 2.

La dilatación también se puede obtener mediante , donde B ^s denota la simetría de B , es decir, . ${\displaystyle A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}}$ ${\displaystyle B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}}$

Ejemplo

Supongamos que A es la siguiente matriz de 11 x 11 y B es la siguiente matriz de 3 x 3:

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0  0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0  0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Para cada píxel de A que tenga un valor de 1, superponga B, con el centro de B alineado con el píxel correspondiente de A.

Cada píxel de cada B superpuesto está incluido en la dilatación de A por B.

La dilatación de A por B viene dada por esta matriz de 11 x 11.

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0  1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

Propiedades de la dilatación binaria

Estas son algunas propiedades del operador de dilatación binaria.

• Es invariante de traducción .
• Es creciente , es decir, si , entonces . ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$
• Es conmutativo .
• Si el origen de E pertenece al elemento estructurante B , entonces es extensivo , es decir, . ${\displaystyle A\subseteq A\oplus B}$
• Es asociativo , es decir, . ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$
• Es distributivo sobre unión establecida.

Dilatación en escala de grises

En morfología en escala de grises , las imágenes son funciones que asignan un espacio euclidiano o cuadrícula E , donde es el conjunto de reales , es un elemento mayor que cualquier número real y es un elemento menor que cualquier número real. ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Los elementos estructurantes en escala de grises también son funciones del mismo formato, denominadas "funciones estructurantes".

Denotando una imagen por f ( x ) y la función estructurante por b ( x ), la dilatación en escala de grises de f por b viene dada por

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(x-y)],}$

donde "sup" denota el supremo .

Funciones de estructuración plana.

Ejemplo de dilatación sobre una imagen en escala de grises utilizando un elemento estructurante plano de 5x5. La figura superior demuestra la aplicación de la ventana del elemento estructurante a los píxeles individuales de la imagen original. La figura inferior muestra la imagen dilatada resultante.

Es habitual utilizar elementos estructurantes planos en aplicaciones morfológicas. Las funciones de estructuración plana son funciones b ( x ) en la forma

${\displaystyle b(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&x\in B,\\-\infty ,&{\text{otherwise}},\end{array}}\right.}$

dónde . ${\displaystyle B\subseteq E}$

En este caso, la dilatación se simplifica enormemente y viene dada por

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(x-y)]=\sup _{z\in E}[f(x-z)+b(z)]=\sup _{z\in B}[f(x-z)].}$

(Supongamos que x  = ( px ,  qx ), z  = ( pz ,  qz ), entonces x  −  z  = ( px  −  pz ,  qx  −  qz ).)

En el caso discreto y acotado ( E es una cuadrícula y B está acotado), el operador supremo se puede reemplazar por el máximo . Por lo tanto, la dilatación es un caso particular de filtros de estadísticas de orden , que devuelven el valor máximo dentro de una ventana en movimiento (la simetría del soporte de la función estructurante B ).

Dilatación sobre celosías completas.

Las redes completas son conjuntos parcialmente ordenados , donde cada subconjunto tiene un mínimo y un supremo . En particular, contiene un elemento mínimo y un elemento mayor (también denominado "universo").

Sea una red completa, con ínfimo y supremo simbolizados por y , respectivamente. Su universo y su mínimo elemento están simbolizados por U y , respectivamente. Además, sea una colección de elementos de L . ${\displaystyle (L,\leq )}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$

Una dilatación es cualquier operador que se distribuye sobre el supremo y conserva el mínimo elemento. Es decir, lo siguiente es cierto: ${\displaystyle \delta :L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigvee _{i}\delta (X_{i})=\delta \left(\bigvee _{i}X_{i}\right),}$
• ${\displaystyle \delta (\varnothing )=\varnothing .}$

Ver también

• Zona de influencia (SIG)
• Cierre (morfología)
• Erosión (morfología)
• Morfología matemática
• Apertura (morfología)
• Adición de Minkowski

Bibliografía

• Análisis de imágenes y morfología matemática de Jean Serra, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Análisis de imágenes y morfología matemática, volumen 2: avances teóricos de Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Introducción al procesamiento de imágenes morfológicas por Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)