Introducción al análisis infinitorum

Libro de Leonhard Euler

El número e de Euler corresponde al área sombreada igual a 1, introducida en el capítulo VII

Introductio in analysin infinitorum ( latín : ^[1] Introducción al análisis del infinito ) es una obra en dos volúmenes de Leonhard Euler que sienta las bases del análisis matemático . Escrita en latín y publicada en 1748, la Introductio contiene 18 capítulos en la primera parte y 22 capítulos en la segunda. Tiene números de Eneström E101 y E102. ^{[2] [3]}

Contenido

El capítulo 1 trata sobre los conceptos de variables y funciones . El capítulo 4 introduce series infinitas a través de funciones racionales .

Según Henk Bos ,

La Introducción pretende ser un estudio de conceptos y métodos en análisis y geometría analítica preliminar al estudio del cálculo diferencial e integral. [Euler] hizo de esta encuesta un ejercicio magistral al introducir el mayor análisis posible sin utilizar diferenciación o integración. En particular, introdujo las funciones trascendentales elementales, el logaritmo, la función exponencial, las funciones trigonométricas y sus inversas sin recurrir al cálculo integral, lo que no fue poca cosa, ya que el logaritmo estaba tradicionalmente vinculado a la cuadratura de la hipérbola y a la ecuación trigonométrica. funciones a la longitud del arco del círculo. ^[4]

Euler logró esta hazaña introduciendo la exponenciación ax para ^una constante arbitraria a en los números reales positivos . Observó que representar x de esta manera no es una función algebraica , sino más bien una función trascendental . Para a > 1 estas funciones son monótonas crecientes y forman biyecciones de la recta real con números reales positivos. Entonces cada base a corresponde a una función inversa llamada logaritmo en base a , en el capítulo 6. En el capítulo 7, Euler introduce e como el número cuyo logaritmo hiperbólico es 1. La referencia aquí es a Gregoire de Saint-Vincent , quien realizó una cuadratura. de la hipérbola y = 1/ x mediante la descripción del logaritmo hiperbólico. La sección 122 etiqueta el logaritmo en base e como "logaritmo natural o hiperbólico... ya que la cuadratura de la hipérbola se puede expresar a través de estos logaritmos". Aquí también da la serie exponencial:

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z^{3} \over 6}+{z^{4} \over 24}+\cdots }$

Luego, en el capítulo 8, Euler se prepara para abordar las funciones trigonométricas clásicas como "cantidades trascendentales que surgen del círculo". Utiliza el círculo unitario y presenta la fórmula de Euler . El capítulo 9 considera factores trinomiales en polinomios . El capítulo 16 se ocupa de las particiones , un tema de la teoría de números . Las fracciones continuas son el tema del capítulo 18.

Impacto

Las conferencias de Carl Benjamin Boyer en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950 compararon la influencia de la Introductio de Euler con la de los Elementos de Euclides , llamando a los Elementos el libro de texto más importante de la antigüedad y a la Introductio "el libro de texto más importante de los tiempos modernos". ^[5] Boyer también escribió:

El análisis de Euler se acerca a la disciplina ortodoxa moderna, el estudio de funciones mediante procesos infinitos, especialmente a través de series infinitas.

Es dudoso que cualquier otro trabajo esencialmente didáctico incluya una porción tan grande de material original que sobrevive en los cursos universitarios de hoy... Puede ser leído con relativa facilidad por el estudiante moderno... El prototipo de los libros de texto modernos.

Traducciones al inglés

La primera traducción al inglés fue la de John D. Blanton, publicada en 1988. ^[6] La segunda, de Ian Bruce, está disponible en línea. ^[7] V. Frederick Rickey ha recopilado una lista de las ediciones de Introductio . ^[8]

Primeras menciones

Página de Introductio in analysin infinitorum , 1748

• JC Scriba (2007) revisión de la reimpresión de 1983 de la edición alemana de 1885 MR 715928

Reseñas de la traducción de Blanton 1988

• Doru Stefanescu señor 1025504
• Marco Panza (2007) señor 2384380
• Ricardo Quintero Zazueta (1999) Señor 1823258
• Ernst Hairer y Gerhard Wanner (1996) Análisis por su historia , capítulo 1, págs. 1 a 79, Textos de pregrado en matemáticas #70, ISBN 978-0-387-77036-9 MR 1410751 

Referencias

1. En latín, análisis era un préstamo neolatino del griego, y la forma de la palabra analysin usa el acusativo griego. Calinger, Ronald (2016). Leonhard Euler: genio matemático en la Ilustración. Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 287–288. ISBN 978-0-691-11927-4.
2. "E101 - Introductio in analysin infinitorum, volumen 1". El Archivo Euler . Consultado el 15 de octubre de 2020 .
3. "E102 - Introductio in analysin infinitorum, volumen 2". El Archivo Euler . Consultado el 15 de octubre de 2020 .
4. HJM Bos (1980) "Newton, Leibnitz y la tradición leibniziana", capítulo 2, páginas 49 a 93, cita de la página 76, en Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910: una historia introductoria , editado por Ivor Grattan-Guinness , Patoworth ISBN 0-7156-1295-6 
5. Carl Boyer (abril de 1951). "El libro de texto más importante de los tiempos modernos". Mensual Matemático Estadounidense . 58 (4). Asociación Matemática de América: 223–226. doi :10.2307/2306956. JSTOR  2306956.
6. Leonhard Euler; JD Blanton (traducción) (1988). Introducción al análisis del infinito, Libro 1. Springer. ISBN 978-0-387-96824-7.
7. Introductio in analysin infinitorum.
8. V. Frederick Rickey Una guía del lector sobre la introducción de Euler