Introducción al empaquetamiento de círculos: la teoría de funciones analíticas discretas es una monografía matemática sobre sistemas de círculos tangentes y el teorema de empaquetamiento de círculos . Fue escrita por Kenneth Stephenson y publicada en 2005 por Cambridge University Press .
Los empaquetamientos de círculos, como se estudia en este libro, son sistemas de círculos que se tocan en puntos tangentes pero no se superponen, de acuerdo con un patrón combinatorio de adyacencias que especifica qué pares de círculos deben tocarse. El teorema de empaquetamiento de círculos establece que existe un empaquetamiento de círculos si y solo si el patrón de adyacencias forma un grafo planar ; fue demostrado originalmente por Paul Koebe en la década de 1930 y popularizado por William Thurston , quien lo redescubrió en la década de 1970 y lo conectó con la teoría de mapas conformes y geometría conforme . [1] Como tema, esto debe distinguirse del empaquetamiento de esferas , que considera dimensiones superiores (aquí, todo es bidimensional) y se centra más en la densidad de empaquetamiento que en patrones combinatorios de tangencia. [2] [3]
El libro está dividido en cuatro partes, en niveles progresivos de dificultad. [4] La primera parte presenta el tema visualmente, animando al lector a pensar en los empaquetamientos no sólo como objetos estáticos sino como sistemas dinámicos de círculos que cambian de formas predecibles cuando cambian las condiciones bajo las que se forman (sus patrones de adyacencia). La segunda parte se ocupa de la prueba del teorema de empaquetamiento de círculos en sí, y del teorema de rigidez asociado : cada grafo planar maximalista puede asociarse con un empaquetamiento de círculos que es único hasta las transformaciones de Möbius del plano. [1] [3] De manera más general, el mismo resultado se cumple para cualquier variedad triangulada , con un empaquetamiento de círculos en una superficie de Riemann topológicamente equivalente que es único hasta la equivalencia conforme. [5]
La tercera parte del libro trata de los grados de libertad que surgen cuando el patrón de adyacencias no está completamente triangulado (es un grafo plano, pero no un grafo plano maximal). En este caso, diferentes extensiones de este patrón a grafos planos maximal mayores conducirán a diferentes empaquetamientos, que pueden mapearse entre sí mediante círculos correspondientes. El libro explora la conexión entre estos mapeos, que llama funciones analíticas discretas, y las funciones analíticas del análisis matemático clásico . La parte final del libro trata de una conjetura de William Thurston, demostrada por Burton Rodin y Dennis Sullivan , que hace que esta analogía sea concreta: los mapeos conformes de cualquier disco topológico a un círculo pueden aproximarse llenando el disco con un empaquetamiento hexagonal de círculos unitarios, encontrando un empaquetamiento de círculos que agregue a ese patrón de adyacencias un solo círculo exterior y construyendo la función analítica discreta resultante. Esta parte también incluye aplicaciones a la teoría de números y la visualización de la estructura cerebral. [1] [3]
Stephenson ha implementado algoritmos para el empaquetamiento de círculos y los ha utilizado para construir las numerosas ilustraciones del libro, [5] dando a gran parte de este trabajo el sabor de las matemáticas experimentales , aunque también es matemáticamente riguroso. [4] Los problemas sin resolver se enumeran a lo largo del libro, que también incluye nueve apéndices sobre temas relacionados, como el lema del anillo y las espirales de Doyle . [1] [3]
El libro presenta matemáticas de nivel de investigación y está dirigido a matemáticos profesionales interesados en este tema y otros relacionados. El crítico Frédéric Mathéus describe el nivel del material del libro como "matemáticamente riguroso y accesible para el matemático novato", presentado en un estilo accesible que transmite el amor del autor por el material. [6] Sin embargo, aunque el prefacio del libro afirma que no se necesitan conocimientos previos y que el libro puede ser leído por no matemáticos o utilizado como libro de texto de pregrado, la crítica Michele Intermont no está de acuerdo, señalando que no tiene ejercicios para estudiantes y escribiendo que "los no matemáticos no se sentirán más que frustrados con este libro". [2] De manera similar, el crítico David Mumford considera que los primeros siete capítulos (parte I y gran parte de la parte II) son de nivel de pregrado, pero escribe que "en general, el libro es adecuado para estudiantes de posgrado en matemáticas". [4]