Un conjunto de dados es intransitivo (o no transitivo) si contiene tres dados, A , B y C , con la propiedad de que A tira más que B más de la mitad de las veces, y B tira más que C más de la mitad de las veces. pero donde no es cierto que A obtenga resultados más altos que C más de la mitad de las veces. En otras palabras, un juego de dados es intransitivo si la relación binaria ( X lanza un número mayor que Y más de la mitad de las veces) sobre sus elementos no es transitiva . Más simplemente, A normalmente vence a B , B normalmente vence a C , pero A normalmente no vence a C.
Es posible encontrar conjuntos de dados con la propiedad aún más fuerte de que, por cada dado del conjunto, hay otro dado que arroja un número mayor que él más de la mitad de las veces. Esto es diferente en que en lugar de sólo " A normalmente no vence a C ", ahora es " C normalmente vence a A ". Usando un juego de dados de este tipo, se pueden inventar juegos que estén sesgados de maneras que las personas no acostumbradas a los dados intransitivos no esperarían (ver Ejemplo). [1] [2] [3] [4]
Considere el siguiente juego de dados.
La probabilidad de que A obtenga un número mayor que B , la probabilidad de que B obtenga un resultado mayor que C y la probabilidad de que C obtenga un resultado mayor que A son todas5/9, entonces este conjunto de dados es intransitivo. De hecho, tiene la propiedad aún más fuerte de que, por cada dado del conjunto, hay otro dado que arroja un número mayor que él más de la mitad de las veces.
Ahora, considere el siguiente juego, que se juega con un juego de dados.
Si este juego se juega con un conjunto transitivo de dados, es justo o está sesgado a favor del primer jugador, porque el primer jugador siempre puede encontrar un dado que no será superado por ningún otro dado más de la mitad de las veces. Sin embargo, si se juega con el juego de dados descrito anteriormente, el juego está sesgado a favor del segundo jugador, porque el segundo jugador siempre puede encontrar un dado que supere al dado del primer jugador con probabilidad.5/9. Las siguientes tablas muestran todos los resultados posibles para los tres pares de dados.
Los dados de Efron son un conjunto de cuatro dados intransitivos inventados por Bradley Efron . [5]
Los cuatro dados A, B, C, D tienen en sus seis caras los siguientes números:
Cada dado es superado por el dado anterior en la lista con envolvente, con probabilidad2/3. C vence a A con probabilidad5/9, y B y D tienen las mismas posibilidades de vencer al otro. [5] Si cada jugador tiene un juego de dados de Efron, hay un continuo de estrategias óptimas para un jugador, en el que elige su dado con las siguientes probabilidades, donde 0 ≤ x ≤3/7: [5]
Los dados de Miwin fueron inventados en 1975 por el físico Michael Winkelmann.
Considere un conjunto de tres dados, III, IV y V tales que
Entonces:
Se sabe que Warren Buffett es un fanático de los dados intransitivos. En el libro Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System that Beat the Casinos and Wall Street, se describe una discusión entre él y Edward Thorp . Buffett y Thorp discutieron su interés compartido en los dados intransitivos. "Se trata de una curiosidad matemática, un tipo de dado 'truco' que confunde las ideas de la mayoría de la gente sobre la probabilidad".
Buffett intentó una vez ganar un juego de dados con Bill Gates usando dados intransitivos. "Buffett sugirió que cada uno de ellos eligiera uno de los dados y luego descartara los otros dos. Apostarían a quién sacaría el número más alto con mayor frecuencia. Buffett se ofreció a dejar que Gates eligiera su dado primero. Esta sugerencia despertó instantáneamente la curiosidad de Gates. Pidió examinar los dados, después de lo cual exigió que Buffett eligiera primero". [6]
En 2010, la revista Wall Street Journal citó a Sharon Osberg, compañera de bridge de Buffett, diciendo que cuando ella visitó su oficina por primera vez 20 años antes, él la engañó para que jugara un juego con dados intransitivos que no se podía ganar y "pensó que era divertidísimo". [7]
Varias personas han introducido variaciones de dados intransitivos en las que uno puede competir contra más de un oponente.
Oskar van Deventer introdujo un juego de siete dados (todas las caras con probabilidad1/6) de la siguiente manera: [8]
Se puede verificar que A vence a {B,C,E}; B vence a {C,D,F}; C vence a {D,E,G}; D vence a {A,E,F}; E vence a {B,F,G}; F vence a {A,C,G}; G vence a {A,B,D}. En consecuencia, por dos dados elegidos arbitrariamente hay un tercero que gana a ambos. A saber,
Independientemente de lo que elijan los dos oponentes, el tercer jugador encontrará uno de los dados restantes que supere a los dados de ambos oponentes.
El Dr. James Grime descubrió un juego de cinco dados de la siguiente manera: [9] [10]
Se puede verificar que, cuando el juego se juega con un juego de dados Grime:
Sin embargo, cuando el juego se juega con dos de estos conjuntos, entonces la primera cadena sigue siendo la misma, excepto que D vence a C, pero la segunda cadena se invierte (es decir, A vence a D vence a B vence a E vence a C vence a A). En consecuencia, sean cuales sean los dados que elijan los dos oponentes, el tercer jugador siempre puede encontrar uno de los dados restantes que los derrote a ambos (siempre que al jugador se le permita elegir entre la opción de un dado y la opción de dos dados):
Aún no se ha descubierto un set para cuatro jugadores, pero se demostró que para ello se necesitarían al menos 19 dados. [9] [11]
Los tetraedros se pueden utilizar como dados con cuatro resultados posibles .
P(A > B) = P(B > C) = P(C > A) =9/dieciséis
Las siguientes tablas muestran todos los resultados posibles:
En "A versus B", A gana en 9 de 16 casos.
En "B versus C", B gana en 9 de 16 casos.
En "C versus A", C gana en 9 de 16 casos.
P(A > B) = P(B > C) =10/dieciséis, P(C > A) = 9/16
En analogía con los dados intransitivos de seis caras, también existen dodecaedros que sirven como dados intransitivos de doce caras . Los puntos de cada uno de los dados dan como resultado la suma de 114. No hay números repetitivos en cada uno de los dodecaedros.
Los dodecaedros de Miwin (set 1) ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 35:34.
Los dodecaedros de miwin (conjunto 2) ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 71:67.
Serie 1:
Conjunto 2:
También es posible construir conjuntos de dodecaedros intransitivos de modo que no haya números repetidos y todos los números sean primos. Los dodecaedros intransitivos de números primos de Miwin ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 35:34.
Conjunto 1: Los números suman 564.
Conjunto 2: Los números suman 468.
