La paradoja de los números interesantes es una paradoja humorística que surge del intento de clasificar cada número natural como "interesante" o "no interesante". La paradoja afirma que todo número natural es interesante. [1] La " prueba " es por contradicción : si existe un conjunto no vacío de números naturales no interesantes, habría un número no interesante más pequeño, pero el número no interesante más pequeño es en sí mismo interesante porque es el número no interesante más pequeño, lo que produce una contradicción .
"Interesante" en relación con los números no es un concepto formal en términos normales, pero una noción innata de "interesante" parece prevalecer entre algunos teóricos de los números . Es famoso que en una discusión entre los matemáticos GH Hardy y Srinivasa Ramanujan sobre números interesantes y no interesantes, Hardy comentó que el número 1729 del taxi en el que había viajado parecía "bastante aburrido", y Ramanujan respondió inmediatamente que es interesante, siendo el Número más pequeño que es la suma de dos cubos de dos formas diferentes . [2] [3]
Intentar clasificar todos los números de esta manera conduce a una paradoja o una antinomia [4] de definición. Cualquier partición hipotética de números naturales en conjuntos interesantes y no interesantes parece fracasar. Dado que la definición de interesante suele ser una noción subjetiva e intuitiva, debe entenderse como una aplicación semihumorística de autorreferencia para obtener una paradoja.
La paradoja se alivia si se define objetivamente "interesante": por ejemplo, el número natural más pequeño que no aparece en una entrada de la Enciclopedia en línea de secuencias enteras (OEIS) fue originalmente 11630 el 12 de junio de 2009. [5] El número que se ajusta a esta definición pasó a ser 12407 desde noviembre de 2009 hasta al menos noviembre de 2011, luego 13794 a partir de abril de 2012, hasta que apareció en la secuencia OEIS : A218631 a partir del 3 de noviembre de 2012. Desde noviembre de 2013, ese número fue 14228, al menos hasta el 14 de abril de 2014. [5] En mayo de 2021, el número era 20067. (Esta definición de poco interesante solo es posible porque la OEIS enumera solo un número finito de términos para cada entrada. [6] Por ejemplo, OEIS : A000027 es la secuencia de todos los números naturales , y si continúa indefinidamente contendría todos los números enteros positivos. Tal como está, la secuencia se registra en su entrada sólo hasta 77.) Dependiendo de las fuentes utilizadas para la lista de números interesantes, una variedad de otros números se puede caracterizar de la misma manera como poco interesantes. [7] Por ejemplo, el matemático y filósofo Alex Bellos sugirió en 2014 que un candidato para el número más bajo y poco interesante sería 224 porque era, en ese momento, "el número más bajo que no tenía su propia página en [el periódico en inglés]. versión de] Wikipedia ". [8] [nota 1]
Sin embargo, como hay muchos resultados significativos en matemáticas que hacen uso de la autorreferencia (como los teoremas de incompletitud de Gödel ), la paradoja ilustra parte del poder de la autorreferencia [nb 2] y, por lo tanto, toca cuestiones serias en muchos campos. de estudio. La paradoja puede relacionarse directamente con los teoremas de incompletitud de Gödel si se define un número "interesante" como aquel que puede calcularse mediante un programa que contiene menos bits que el número mismo. [9] De manera similar, en lugar de tratar de cuantificar el sentimiento subjetivo de interés, se puede considerar la longitud de una frase necesaria para especificar un número. Por ejemplo, la frase "el menor número no expresable en menos de once palabras" parece que debería identificar un número único, pero la frase en sí contiene sólo diez palabras, por lo que el número identificado por la frase tendría una expresión en menos de once palabras. once palabras después de todo. Esto se conoce como la paradoja de Berry . [10]
En 1945, Edwin F. Beckenbach publicó una breve carta en The American Mathematical Monthly sugiriendo que
Se podría conjeturar que existe un hecho interesante respecto de cada uno de los números enteros positivos. He aquí una "prueba por inducción" de que tal es el caso. Ciertamente, 1, que es factor de cada entero positivo, califica, al igual que 2, el primo más pequeño; 3, el primo impar más pequeño; 4, el número de Bieberbach; etc . Supongamos que el conjunto S de números enteros positivos respecto de cada uno de los cuales no hay ningún hecho interesante no es vacío, y sea k el miembro más pequeño de S. Pero éste es un hecho muy interesante respecto a k ! Por tanto, S no tiene miembro más pequeño y, por tanto, es vacío. ¿Es válida la prueba? [11]
Constance Reid incluyó la paradoja en la primera edición de 1955 de su popular libro de matemáticas From Zero to Infinity , pero la eliminó de ediciones posteriores. [12] Martin Gardner presentó la paradoja como una "falacia" en su columna de Scientific American en 1958, incluyéndola con otras seis "afirmaciones sorprendentes" cuyas supuestas pruebas también eran sutilmente erróneas. [1] Una carta de 1980 a The Mathematics Teacher menciona una prueba jocosa de que "todos los números naturales son interesantes" que se había discutido tres décadas antes. [13] En 1977, Greg Chaitin se refirió a la declaración de la paradoja de Gardner y señaló su relación con una paradoja anterior de Bertrand Russell sobre la existencia de un ordinal indefinible más pequeño (a pesar de que todos los conjuntos de ordinales tienen un elemento más pequeño y que "el ordinal indefinible más pequeño" parecería ser una definición). [4] [14]
En The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (1987), David Wells comentó que 39 "parece ser el primer número poco interesante", hecho que lo hacía "especialmente interesante" y, por tanto, 39 debe ser a la vez interesante y aburrido. [15]