Integral de funciones inversas

Teorema matemático, utilizado en cálculo.

En matemáticas , las integrales de funciones inversas se pueden calcular mediante una fórmula que expresa las antiderivadas de la inversa de una función continua e invertible , en términos de y una antiderivada de . Esta fórmula fue publicada en 1905 por Charles-Ange Laisant . ^[1] ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Enunciado del teorema

Sean y dos intervalos de . Supongamos que es una función continua e invertible. Del teorema del valor intermedio se deduce que es estrictamente monótona . En consecuencia, aplica intervalos a intervalos, por lo que es una función abierta y, por lo tanto, un homeomorfismo. Dado que y la función inversa son continuas, tienen antiderivadas por el teorema fundamental del cálculo . ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I_{1}\to I_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}:I_{2}\to I_{1}}$

Laisant demostró que si es una antiderivada de , entonces las antiderivadas de son: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle \int f^{-1}(y)\,dy=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C,}$

donde es un número real arbitrario. Nótese que no se supone que sea diferenciable. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

Ilustración del teorema

En su artículo de 1905, Laisant dio tres pruebas.

Primera prueba

En primer lugar, bajo la hipótesis adicional de que es diferenciable , se puede diferenciar la fórmula anterior, lo que completa la prueba inmediatamente. ${\displaystyle f^{-1}}$

Segunda prueba

Su segunda demostración fue geométrica. Si y , el teorema puede escribirse: ${\displaystyle f(a)=c}$ ${\displaystyle f(b)=d}$

${\displaystyle \int _{c}^{d}f^{-1}(y)\,dy+\int _{a}^{b}f(x)\,dx=bd-ac.}$

La figura de la derecha es una prueba sin palabras de esta fórmula. Laisant no analiza las hipótesis necesarias para que esta prueba sea rigurosa, pero se puede demostrar si se supone que es estrictamente monótona (pero no necesariamente continua, y mucho menos diferenciable). En este caso, tanto y son integrables por Riemann y la identidad se deduce de una biyección entre las sumas Darboux inferior/superior de y las sumas Darboux superior/inferior de . ^{[2] [3]} La versión antiderivada del teorema se deduce entonces del teorema fundamental del cálculo en el caso en que también se supone que es continua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Tercera prueba

La tercera prueba de Laisant utiliza la hipótesis adicional de que es diferenciable. A partir de , se multiplica por e integra ambos lados. El lado derecho se calcula mediante la integración por partes para que sea , y se aplica la fórmula. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\textstyle xf(x)-\int f(x)\,dx}$

Detalles

También se puede pensar de la siguiente manera cuando es diferenciable. Como es continua en cualquier , es diferenciable en absoluto por el teorema fundamental del cálculo. Como es invertible, su derivada se anularía en como máximo un número contable de puntos. Ordena estos puntos por . Como es una composición de funciones diferenciables en cada intervalo , se podría aplicar la regla de la cadena para ver que es una antiderivada para . Afirmamos que también es diferenciable en cada uno de y no se vuelve ilimitada si es compacta. En tal caso es continua y acotada. Por continuidad y el teorema fundamental del cálculo, donde es una constante, es una extensión diferenciable de . Pero es continua ya que es la composición de funciones continuas. Por lo tanto, lo es por diferenciabilidad. Por lo tanto, . Ahora se puede utilizar el teorema fundamental del cálculo para calcular . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F:=\int _{0}^{x}f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ...<t_{-1}<t_{0}<t_{1}<...}$ ${\displaystyle g(y):=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C}$ ${\displaystyle (t_{i},t_{i+1})}$ ${\displaystyle g'(y)=f^{-1}(y)+y/f'(y)-f\circ f^{-1}(y).1/f'(y)+0=f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle \left.g\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$ ${\displaystyle \left.f\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle G(y):=C+\int _{0}^{y}f^{-1}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=g}$ ${\displaystyle \int _{I_{2}}f^{-1}}$

Sin embargo, se puede demostrar que este teorema se cumple incluso si o no es diferenciable: ^{[3] [4]} basta, por ejemplo, utilizar la integral de Stieltjes en el argumento anterior. Por otra parte, aunque las funciones monótonas generales son diferenciables casi en todas partes, la demostración de la fórmula general no se sigue, a menos que sea absolutamente continua . ^[4] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

También es posible comprobar que para cada en , la derivada de la función es igual a . ^{[ cita requerida ]} En otras palabras: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle y\mapsto yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle \forall x\in I_{1}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)f(x+h)-xf(x)-\left(F(x+h)-F(x)\right)}{f(x+h)-f(x)}}=x.}$

Para ello, basta aplicar el teorema del valor medio entre y , teniendo en cuenta que es monótona. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+h}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos

1. Supongamos que , por lo tanto . La fórmula anterior da inmediatamente ${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=\ln(y)}$ $${\displaystyle \int \ln(y)\,dy=y\ln(y)-\exp(\ln(y))+C=y\ln(y)-y+C.}$$
2. De manera similar, con y , ${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=\arccos(y)}$ $${\displaystyle \int \arccos(y)\,dy=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C.}$$
3. Con y , ${\displaystyle f(x)=\tan(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=\arctan(y)}$ $${\displaystyle \int \arctan(y)\,dy=y\arctan(y)+\ln \left|\cos(\arctan(y))\right|+C.}$$

Historia

Al parecer, este teorema de integración fue descubierto por primera vez en 1905 por Charles-Ange Laisant , ^[1] quien "no podía creer que este teorema fuera nuevo", y esperaba que su uso se extendiera a partir de entonces entre estudiantes y profesores. Este resultado fue publicado de forma independiente en 1912 por un ingeniero italiano, Alberto Caprilli, en un opúsculo titulado "Nuove formole d'integrazione". ^[5] Fue redescubierto en 1955 por Parker, ^[6] y por varios matemáticos que lo siguieron. ^[7] Sin embargo, todos ellos suponen que f o f ⁻¹ es diferenciable . La versión general del teorema , libre de este supuesto adicional, fue propuesta por Michael Spivak en 1965, como un ejercicio de cálculo , ^[2] y una demostración bastante completa siguiendo las mismas líneas fue publicada por Eric Key en 1994. ^[3] Esta demostración se apoya en la propia definición de la integral de Darboux , y consiste en mostrar que las sumas Darboux superiores de la función f están en correspondencia 1-1 con las sumas Darboux inferiores de f ⁻¹ . En 2013, Michael Bensimhoun, estimando que el teorema general era todavía insuficientemente conocido, dio otras dos demostraciones: ^[4] La segunda demostración, basada en la integral de Stieltjes y en sus fórmulas de integración por partes y de cambio homeomorfo de variables , es la más adecuada para establecer fórmulas más complejas.

Generalización a funciones holomorfas

El teorema anterior se generaliza de la manera obvia a las funciones holomorfas: sean y dos conjuntos abiertos y simplemente conexos de , y supongamos que es un biholomorfismo . Entonces y tienen antiderivadas, y si es una antiderivada de , la antiderivada general de es ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle G(z)=zf^{-1}(z)-F\circ f^{-1}(z)+C.}$

Como todas las funciones holomorfas son diferenciables, la prueba es inmediata mediante diferenciación compleja.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Integración por partes
• Transformación de Legendre
• Desigualdad de Young para productos

Referencias

1. Laisant, C.-A. (1905). "Intégración de funciones inversas". Nouvelles annales de mathématiques, revista de candidatos a escuelas politécnicas y normales . 5 (4): 253–257.
2. Michael Spivak , Cálculo (1967), cap. 13, págs. 235.
3. Key, E. (marzo de 1994). "Discos, capas e integrales de funciones inversas". The College Mathematics Journal . 25 (2): 136–138. doi :10.2307/2687137. JSTOR  2687137.
4. Bensimhoun, Michael (2013). "Sobre la antiderivada de funciones inversas". arXiv : 1312.3839 [math.HO].
5. Leer en línea
6. Parker, FD (junio-julio de 1955). "Integrales de funciones inversas". The American Mathematical Monthly . 62 (6): 439–440. doi :10.2307/2307006. JSTOR  2307006.
7. Es igualmente posible que algunos o todos ellos simplemente recordaran este resultado en su artículo, sin hacer referencia a autores anteriores.

• Staib, JH (septiembre de 1966). "La integración de funciones inversas". Revista de matemáticas . 39 (4): 223–224. doi :10.2307/2688087. JSTOR  2688087.