Indicador de Frobenius-Schur

En matemáticas , y especialmente en la disciplina de la teoría de la representación , el indicador de Schur , llamado así por Issai Schur , o indicador de Frobenius-Schur, describe qué formas bilineales invariantes tiene una representación irreducible dada de un grupo compacto en un espacio vectorial complejo . Puede utilizarse para clasificar las representaciones irreducibles de grupos compactos en espacios vectoriales reales .

Definición

Si una representación continua de dimensión finita de un grupo compacto G tiene carácter χ, su indicador de Frobenius-Schur se define como

${\displaystyle \int _{g\in G}\chi (g^{2})\,d\mu }$

Para la medida de Haar μ con μ( G ) = 1. Cuando G es finito se da por

${\displaystyle {1 \over |G|}\sum _{g\in G}\chi (g^{2}).}$

Si χ es una representación irreducible compleja, entonces su indicador de Frobenius-Schur es 1, 0 o −1. Proporciona un criterio para decidir si una representación irreducible real de G es real, compleja o cuaterniónica , en un sentido específico definido a continuación. Gran parte del contenido a continuación analiza el caso de grupos finitos, pero el caso compacto general es análogo.

Representaciones reales irreducibles

Hay tres tipos de representaciones reales irreducibles de un grupo finito en un espacio vectorial real V , ya que el lema de Schur implica que el anillo de endomorfismo que conmuta con la acción del grupo es un álgebra de división asociativa real y, por el teorema de Frobenius, solo puede ser isomorfo a los números reales, a los números complejos o a los cuaterniones.

• Si el anillo son los números reales, entonces V ⊗ C es una representación compleja irreducible con indicador de Schur 1, también llamada representación real.
• Si el anillo son los números complejos, entonces V tiene dos estructuras complejas conjugadas diferentes, dando dos representaciones complejas irreducibles con indicador de Schur 0, a veces llamadas representaciones complejas .
• Si el anillo son los cuaterniones , entonces elegir un subanillo de los cuaterniones isomorfo a los números complejos convierte a V en una representación compleja irreducible de G con indicador de Schur −1, llamada representación cuaterniónica .

Además, cada representación irreducible en un espacio vectorial complejo puede construirse a partir de una única representación irreducible en un espacio vectorial real de una de las tres maneras anteriores. Por lo tanto, conocer las representaciones irreducibles en espacios complejos y sus indicadores de Schur permite leer las representaciones irreducibles en espacios reales.

Las representaciones reales se pueden complejizar para obtener una representación compleja de la misma dimensión y las representaciones complejas se pueden convertir en una representación real del doble de dimensión tratando los componentes reales e imaginarios por separado. Además, dado que todas las representaciones complejas de dimensión finita se pueden convertir en una representación unitaria , para las representaciones unitarias la representación dual también es una representación conjugada (compleja) porque la norma del espacio de Hilbert da una función biyectiva antilineal de la representación a su representación dual.

La representación irreducible compleja autodual corresponde a una representación irreducible real de la misma dimensión o a representaciones irreducibles reales del doble de la dimensión llamadas representaciones cuaterniónicas (pero no ambas) y la representación irreducible compleja no autodual corresponde a una representación irreducible real del doble de la dimensión. Nótese que para el último caso, tanto la representación irreducible compleja como su dual dan lugar a la misma representación irreducible real. Un ejemplo de una representación cuaterniónica sería la representación irreducible real de cuatro dimensiones del grupo de cuaterniones Q ₈ .

Definición en términos del cuadrado simétrico y alterno

Si V es el espacio vectorial subyacente de una representación de un grupo G , entonces la representación del producto tensorial se puede descomponer como la suma directa de dos subrepresentaciones , el cuadrado simétrico , denotado (también a menudo denotado por o ) y el cuadrado alterno , (también a menudo denotado por , , o ). ^[1] En términos de estas representaciones cuadradas, el indicador tiene la siguiente definición alternativa: ${\displaystyle V\otimes V}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}(V)}$ ${\displaystyle V\otimes _{S}V}$ ${\displaystyle V\odot V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}(V)}$ ${\displaystyle \wedge ^{2}V}$ ${\displaystyle V\otimes _{A}V}$ ${\displaystyle V\wedge V}$

${\displaystyle \iota \chi _{V}={\begin{cases}1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ is a subrepresentation of }}\operatorname {Sym} ^{2}(V)\\-1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ is a subrepresentation of }}\operatorname {Alt} ^{2}(V)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

¿Dónde está la representación trivial? ${\displaystyle W_{\text{triv}}}$

Para ver esto, note que el término surge naturalmente en los caracteres de estas representaciones; es decir, tenemos ${\displaystyle \chi (g^{2})}$

${\displaystyle \chi _{V}(g^{2})=\chi _{V}(g)^{2}-2\chi _{\wedge ^{2}V}(g)}$

y

${\displaystyle \chi _{V}(g^{2})=2\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}(g)-\chi _{V}(g)^{2}}$. ^[2]

Sustituyendo cualquiera de estas fórmulas, el indicador de Frobenius-Schur adquiere la estructura del producto interno natural G -invariante en funciones de clase :

${\displaystyle \iota \chi _{V}={\begin{cases}1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}\rangle =1\\-1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Alt} ^{2}(V)}\rangle =1\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

El producto interno cuenta las multiplicidades de los sumandos directos ; la equivalencia de las definiciones se sigue inmediatamente.

Aplicaciones

Sea V una representación compleja irreducible de un grupo G (o equivalentemente, un irreducible - módulo , donde denota el anillo del grupo ). Entonces ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$

1. Existe una forma bilineal G -invariante distinta de cero en V si y sólo si ${\displaystyle \iota \chi \neq 0}$
2. Existe una forma bilineal simétrica G -invariante distinta de cero en V si y sólo si ${\displaystyle \iota \chi =1}$
3. Existe una forma bilineal antisimétrica G -invariante distinta de cero en V si y sólo si . ^[3] ${\displaystyle \iota \chi =-1}$

Lo anterior es una consecuencia de las propiedades universales del álgebra simétrica y del álgebra exterior , que son los espacios vectoriales subyacentes del cuadrado simétrico y alterno.

Además,

1. ${\displaystyle \iota \chi =0}$si y sólo si no tiene valor real (estas son representaciones complejas), ${\displaystyle \chi }$
2. ${\displaystyle \iota \chi =1}$si y sólo si se puede realizar (estas son representaciones reales), y ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle \iota \chi =-1}$si y sólo si es real pero no puede realizarse (estas son representaciones cuaterniónicas). ^[4] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Indicadores Frobenius-Schur más altos

Al igual que para cualquier representación compleja ρ,

${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho (g)}$

es un autoentrelazante, para cualquier entero n ,

${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho (g^{n})}$

es también un autoentrelazador . Por el lema de Schur, este será un múltiplo de la identidad para representaciones irreducibles. La traza de este autoentrelazador se llama n- ^ésimo indicador de Frobenius-Schur .

El caso original del indicador de Frobenius-Schur es aquel para n = 2. El indicador cero es la dimensión de la representación irreducible, el primer indicador sería 1 para la representación trivial y cero para las demás representaciones irreducibles.

Se parece a los invariantes de Casimir para las representaciones irreducibles del álgebra de Lie . De hecho, dado que cualquier representación de G puede considerarse como un módulo de C [ G ] y viceversa, podemos observar el centro de C [ G ]. Esto es análogo a observar el centro del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie. Es sencillo comprobar que

${\displaystyle \sum _{g\in G}g^{n}}$

pertenece al centro de C [ G ], que es simplemente el subespacio de funciones de clase en G .

Referencias

• Portal de matemáticas

1. Serre 1977, págs. 9.
2. Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Axler, S.; Gehring, F. W.; Ribet, K. (eds.). Teoría de la representación: un primer curso . Springer Graduate Texts in Mathematics 129. Nueva York: Springer. pp. 13. ISBN. 3-540-97527-6.
3. James 2001, págs. 274, Teorema 23.16.
4. James 2001, págs. 277, Corolario 23.17.

• G.Frobenius & I.Schur, Über die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen (1906), Frobenius Gesammelte Abhandlungen vol.III, 354-377.
• Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.OCLC 2202385  .
• James, Gordon Douglas (2001). Representaciones y caracteres de los grupos . Liebeck, Martin W. (2.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pp. 272–278. ISBN. 052100392X.OCLC 52220683  .